2017-2018学年高一数学北师大版必修4学业分层测评：第

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系式是I ＝5 sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫100πt ＋π3，则当t ＝1200时，
电流I 为( )
A ．5
B ．5
2
C ．2
D ．－5
【解析】 t ＝1200代入I ＝5 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝5
2，故选B.
【答案】 B
2．某城市6月份的平均气温最高，为29.45°C ；12月份平均气温最低，为18.35°C ．若x 月份的平均气温为y °C ，满足条件的一个模拟函数可以是( )
A ．y ＝23.9－5.55sin π
6x B ．y ＝23.9－5.55cos π
6x
C ．y ＝23.9－5.55tan π
6x D ．y ＝23.9＋5.55cos π
6x
【解析】 将x ＝6，x ＝12分别代入验证可知，只有B 符合要求，故选B. 【答案】 B
3．如图1-9-6是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过1
2周期后，乙的位置将移至( )
图1-9-6
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【解析】 因为相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，所
以乙的位置将移至丙处．
【答案】 C
4．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝
⎛
⎭
⎪⎫
g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于( )
A ．g π
B ．g 2π
C ．g π2
D ．g 4π2 【解析】 ∵T ＝
2π
g l
，∴g l ＝2πT ＝2π，∴l ＝g 4π2.
【答案】 D
5．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F (t )＝50＋4sin t
2(0≤t ≤20)给出，F (t )的单位是辆/分，t 的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )
A ．[0,5]
B ．[5,10]
C ．[10,15]
D ．[15,20]
【解析】 由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π
2，得4k π－π≤t ≤4k π＋π(k ∈Z )，由于0≤t ≤20，所以0≤t ≤π或3π≤t ≤5π，从而车流量在时间段[10,15]内是增加的．
【答案】 C 二、填空题
6．如图1-9-7，点P 是半径为r 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式为
．
图1-9-7
【解析】 当质点P 从P 0转到点P 位置时，点P 转过的角度为ωt ，则∠POx ＝ωt ＋φ，由任意角的三角函数定义知P 点的纵坐标y ＝r sin(ωt ＋φ)．
【答案】 y ＝r sin(ωt ＋φ)
7．某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8等量，最高亮度距平均亮度0.2等量，则可近似地描述此星星亮度与时间关系的一个三角函数式为 ．
【解析】 假设三角函数模型为y ＝A sin ωt ＋b ， 由题意知，A ＝0.2，b ＝3.8，T ＝10， ∴ω＝2π10＝π5，∴y ＝0.2sin π
5t ＋3.8(t >0)． 【答案】 y ＝0.2sin π
5
t ＋3.8(t >0)(答案不唯一)
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为
28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为 ℃.
【导学号：66470034】
【解析】 由题意可知，A ＝28－18
2＝5， a ＝
28＋18
2＝23.
从而，y ＝5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6(x －6)＋23，
故10月份的平均气温值为 y ＝5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6×4＋23＝20.5 ℃.
【答案】 20.5 三、解答题
9．如图1-9-8所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心O 高度相同)时开始计时(按逆时针方向转)．
图1-9-8
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．【解】(1)以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立平面直角坐标系(略)，
设摩天轮上某人在Q处，则在t秒内OQ转过的角为2π
20t，所以t秒时，Q点的纵
坐标为10·sin 2π
20·t，故在t秒时此人相对于地面的高度为
y＝10sin π
10t＋12(米)．
(2)令y＝10sin π
10t＋12≤10，则sin
π
10t≤－
1
5，
因为0≤t≤20，所以10.64≤t≤19.36，故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米．
10．如图1-9-9为一辆观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面的距离为h.
图1-9-9
(1)求h与θ之间的函数解析式；
(2)设从OA开始转动，经过t s到达OB，求h与t之间的函数解析式，并求首次到达最高点所用的时间．
【解】(1)由题意可作图，过点O作地面的平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M.
当θ>π2时，∠BOM ＝θ－π2.
h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－π2；
当0≤θ≤π
2时，上述解析式也适合， 即h 与θ之间的函数解析式为 h ＝5.6＋4.8 sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ－π2.
(2)点在⊙O 上逆时针运动的角速度是π
30， ∴t s 转过的弧度数为π
30t ，
∴h ＝4.8sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
30t －π2＋5.6，t ∈[0，＋∞)．
当h ＝10.4时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
30t －π2＝1，即π30t －π2＝π2＋2k π(k ∈Z )，
t ＝30(2k ＋1)(k ∈Z )．即首次到达最高点所用的时间为30 s.
[能力提升]
1．一半径为10的水轮，水轮的圆心到水面的距离为7，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面距离y 与时间x (秒)满足函数关系式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋7，则( )
A ．ω＝2π
15，A ＝10 B ．ω＝15
2π，A ＝10 C ．ω＝2π
15，A ＝17
D ．ω＝ 15
2π，A ＝17
【解析】 T ＝604＝15，ω＝2π
15，A ＝10. 【答案】 A
2．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 s 旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，32，则当0≤t ≤12时，动点A
的纵坐标y 关于t (单位：s)的函数的单调递增区间是( )
A ．[0,1]
B ．[1,7]
C ．[7,12]
D ．[0,1]和[7,12]
【解析】 由已知可得该函数的最小正周期为T ＝12， 则ω＝2πT ＝π6，
又当t ＝0时，A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，32，
∴此函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6t ＋π3，t ∈[0,12]．
可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]． 【答案】 D
3．已知某游乐园内摩天轮的中心点O 距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速运动，摩天轮上的一点P 自最低点A 起，经过t min 后，点P 的高度h ＝40sin ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
π6t －π2＋50(单位：m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P 的高度在距地面70 m 以上的时间将持续 分钟.
【导学号：66470035】
【解析】 依题意，知40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6t －π2＋50≥70，
即cos π6t ≤－1
2，
从而在一个周期内持续的时间为 2π3≤π6t ≤4π
3，4≤t ≤8， 即持续时间为4分钟． 【答案】 4
4．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h ，低潮时水的深度为8.4 m ，高潮时为16 m ，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d ＝A sin(ωt ＋φ)＋h (A >0，ω>0)．
(1)若从10月10日0：00开始计算时间，求该港口的水深d (m)和时间t (h)满足的函数关系式；
(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(保留一位小数)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3 m? 【解】 (1)依题意知T ＝2π
ω＝12， 故ω＝π
6，h ＝8.4＋162＝12.2， A ＝16－12.2＝3.8， 所以d ＝3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6t ＋φ＋12.2.
又因为t ＝4时，d ＝16， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
4π6＋φ＝1，
所以φ＝－π
6，
所以d ＝3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6t －π6＋12.2.
(2)t ＝17时，
d ＝3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
17π6－π6＋12.2
＝3.8sin
2π
3
＋12.2≈15.5(m)． 即10月10日17：00该港口水深约为15.5 m. (3)令3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6t －π6＋12.2<10.3，
有sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6t －π6<－12，
因此2k π＋7π6<π6t －π6<2k π＋11π
6，k ∈Z ， 所以2k π＋4π3<π
6t <2k π＋2π，k ∈Z ， 所以12k ＋8<t <12k ＋12. 令k ＝0，得t ∈(8,12)； 令k ＝1，得t ∈(20,24)．
故这一天该港口共有8小时水深低于10.3 m ．。