广东省佛山市2020届高三数学教学质量检测(二) 理

2020年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）数学(理科)
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知全集{}1,2,3,4,U =，集合{}{}2,3,4,1,2P Q ==，则()
U P Q =I ð A ．∅ B. {}1 C. {}2 D. {}1,2
2．若将复数
12i
i
+表示为(,a bi a b +∈R ，i 是虚数单位)的形式,则ab 的值为 A ．-2 B ．2
1- C ．2 D ．21
3．在正项等比数列{}n a 中，若232a a +=，458a a +=，则56a a +=
A.16
B. 32
C. 36
D. 64
4．已知1x >，则1
1
y x x =+
-的最小值为 A.1 B. 2 C. 22 D. 3
5．已知()(0,1)x
f x a a a =>≠，()
g x 为()f x 的反函数.若(2)(2)0f g -⋅<，那么()f x 与
()g x 在同一坐标系内的图像可能是
A B C D
6．设,x y 满足约束条件2602600x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数z x y =+的最大值是 A ．4 B ．6 C ．8 D ．10
7．设Rt △ABC 的三边长分别为a ，b ，c （c b a <<），则“::3:4:5a b c =”是“a ，b ，c 成等差数列”的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件
8．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数： sin()y A x b ωϕ=++．则中午12点时最接近的温度为
A ．26C o
B ．27
C o C ．28C o
D ．29C o
二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分） (一)必做题(9～13题)
9.已知2,0
(),0x x f x x x >⎧=⎨≤⎩
，则[(1)]f f -= ．
10. 某品牌平板电脑的采购商指导价为每台2000元，若一次
采购数量达到一定量，还可享受折扣. 右图为某位采购商根据 折扣情况设计的算法程序框图，若一次采购85台该平板电脑， 则S = 元.
11.某射击爱好者一次击中目标的概率为p ，在某次射击训练中向
目标射击3次，记X 为击中目标的次数，且3
4DX =，则p =________. 12.已知双曲线22
1x y -=的一条渐近线与曲线313y x a =+相切，则a 的值为 ___.
13. 如右数表，为一组等式：某学生猜测
221(21)()n S n an bn c -=-++，老师回答正确，则3a b += ． (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)
14.（坐标系与参数方程）已知⊙O 的方程为
22cos 22sin x y θθ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩（θ为参数），则⊙O 上的点到直线11x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）的距离的最大值为 ．
15.（几何证明选讲）如图，已知PA 是圆O 的切线， 切点为A ，直线PO 交圆O 于,B C 两点， 2AC =,
120PAB ∠=o ，则圆O 的面积为 ．
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）（第一问5分，第二问7分）
已知平面直角坐标系上的三点(0 1)A ，，(2 0)B -，，(cos sin )C θθ，（(0,)θπ∈），且BA u u u r
与OC u u u r
共线.
（1）求tan θ； （2）求sin(2)4
π
θ-
的值.
17．（本题满分12分）（第一问5分，第二问5分，第三问2分）
123451,
235,
45615,
7891034,
111213141565,
s s s s s ==+==++==+++==++++=L L L L L L L
为提高广东中小学生的健康素质和体能水平，广东省教育厅要求广东各级各类中小学每年都要在体育教学中实施“体能素质测试”，测试总成绩满分为100分.根据广东省标准，体能素质测试成绩在[85,100]之间为优秀;在[75,85)之间为良好；在[65,75)之间为合格；在
(0,60)之间，体能素质为不合格.
现从佛山市某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下:
（1）在答题卷上完成频率分布表和频率分布直方图,并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数；
（2）在上述抽取的30名学生中任取2名，设ξ为体能素质为优秀的学生人数，求ξ的分布列和数学期望（结果用分数表示）；
（3）请你依据所给数据和上述广东省标准，对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价.
18．（本题满分14分）（第一问8分，第二问6分）
如图，已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正 六边形、侧面全为正方形的棱柱，上部是一个侧面全为 13 （1）证明：1DF ⊥平面11PA F ；
（2）求异面直线1DF 与11B C 所成角的余弦值． 19．（本题满分14分）（第一问5分，第二问9分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点(0,1)，且离心率为3.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）,A B 为椭圆C 的左右顶点，点P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP BP 分别交直线:22l x =,E F 两点.
证明：以线段EF 为直径的圆恒过x 轴上的定点.
20．（本题满分14分）（第一问5分，第二问4分，第三问5分）
已知数列{}n a ，{}n b 中，对任何正整数n 都有：
65,84,76,70,56,81,87,83,91,75,81,88,80,82,93, 85,90,77,86,81,83,82,82,64,79,86,68,71,89,96.
11223311(1)21n n n n n a b a b a b a b a b n --+++++=-⋅+L ．
（1）若数列{}n b 是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是否为等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由； （3）求证：113
2n
i i i
a b =<∑．
21．（本题满分14分）（第一小题8分，第二小题6分）
（1）定理：若函数()f x 的图像在区间[,]a b 上连续，且在(,)a b 内可导，则至少存在一点
(,)a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立.
应用上述定理证明：
①1ln ln 1(0)x y
y x x y y x
-
<-<-<<； ②12111
ln (1)n
n k k n n k k
-==<<>∑∑
. （2）设*
()()n f x x n N =∈.若对任意的实数,x y ， ()()()()2
x y
f x f y f x y +'-=-恒成立，求n 所有可能的值.
2020年佛山市普通高中高三教学质量检测（二）
数学试题（理科）参考答案和评分标准
二、填空题（每题5分，共30分）
9．1 10．153000 11．
12 12．23或2
3
-（注：正确写出两个才得满分） 13．4 14． 15．4π
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）
解：（1）解法1：由题意得：(2,1)BA =u u u r ，(cos ,sin )OC θθ=u u u r ， (2)
分
∵//BA OC u u u r u u u r
，∴2sin cos 0θθ-=， (4)
分 ∴1
tan 2
θ=. ……………………………5分
解法2：由题意得：(2,1)BA =u u u r ，(cos ,sin )OC θθ=u u u r
，……………………………2分
∵//BA OC u u u r u u u r ，∴BA OC λ=u u u r u u u r ，∴2cos 1sin λθλθ
=⎧⎨=⎩， ……………………………4分
∴1
tan 2
θ=
……………………………5分 解法3：由题意知，点C 为单元圆上的点，如图所示，
∵//BA OC u u u r u u u r
，∴//BA OC ，则BA OC k k =，………………3分
∴1
tan 2
OC BA k k θ===；……………………………5分 （2）∵1tan 02θ=
>，[0,)θπ∈，∴(0,)2
πθ∈， 由
22sin 1cos 2
sin cos 1θθθθ⎧=⎪
⎨⎪+=⎩
，
解
得
5sin θ=
，
25
cos θ=
， ……………………………8分 ∴
5254sin 22sin cos 2555
θθθ==⨯
⨯=；
22413
cos 2cos sin 555
θθθ=-=
-=；…………10分 ∴
42322
sin(2)sin 2cos cos 2sin 444525210
πππθθθ-=-=⨯-⨯=． ………
…12分
17．（本题满分12分） 解：(1)
分组
频数 频率
[65,70) 2 230 [85,90)
6
630
评分说明：正确填表2分；正确完成频率分布直方图2分. 说明：频率分布表对1个、2个、3个给1分；对4个给2分. 频率分布直方图对一个给1分；对2个给2分.
根据抽样,估计该校高一学生中体能素质为优秀的有10
90030030
⨯=人 ………5分
(2) ξ的可能取值为
0,1,2. …………6分
211220*********
30303038409
(0),(1),(2).878787
C C C C P P P C C C ξξξ⋅========= …………8分
（上述3个对一个给1分） ∴ξ分布列为：
…
……9分
所以，数学期望
38409582()012878787873
E ξ=⨯
+⨯+⨯==. ……10分 （3）答对下述三条中的一条即可给2分：
①估计该校高一学生中体能素质为优秀有1090030030
⨯=人，占总人数的1
3，体能素
质为良好的有1490042030⨯=人，占总人数的7
15
，体能素质为优秀或良好的共有
2490072030
⨯=人，占总人数的4
5，说明该校高一学生体能素质良好.
②估计该校高一学生中体能素质为不合格的有1900330⨯=人，占总人数的1
30
，体能素质仅为合格的有
590015030
⨯=人，占总人数的1
6，体能素质为不合格或仅为合格的共有690018030⨯=人，占总人数的1
5，说明该校高一学生体能素质有待进一步提高，需积极参
加体育锻炼.
③根据抽样,估计该校高一学生中体能素质为优秀有
10
90030030
⨯=人，占总人数的
13
， 体能素质为良好的有1490042030⨯=人，占总人数的7
15
，体能素质为优秀或良好的共有2490072030⨯=人，占总人数的45，但体能素质为不合格或仅为合格的共有6
900180
30
⨯=人，占总人数的1
5
，说明该校高一学生体能素质良好,但仍有待进一步提高，还需积极参加体
育锻炼. 18．（本题满分14分）
解：（1）∵侧面全为矩形，∴1AF FF ⊥；
在正六边形ABCDEF 中，AF DF ⊥， ………1分 又1DF FF F =I ，∴AF ⊥平面1DFF ； …………………………2分 ∵11//AF A F ，∴11A F ⊥平面1DFF ；
又1DF ⊂平面1DFF ，∴111A F DF ⊥；……………………………5分 （注：也可以由勾股定理得到，利用勾股定理求得垂直关系2分） 在1DFF ∆中，12FF =，23DF =，∴14DF =， 又1113PF PD ==；
∴在平面11PA ADD 中，如图所示，225229PD =+=，
∴222
11DF PF PD +=，故11DF PF ⊥； ……………………………
7分
又1111A F PF F =I ，∴1DF ⊥平面11PA F ． ……………………………8分
（说明1：在上述证明线面垂直的过程中，如果缺了1DF FF F =I ，1DF ⊂平面1DFF ，
1111A F PF F =I 三个条件中的任意两个本问扣掉3分，如果三个条件都缺，则本题最多只能
得4分）
（2）解法1：∵在正六边形111111A B C D E F 中1111//B C F E ，
∴异面直线1DF 与11B C 所成角为11E F D ∠（或其补角）； ……………………………10分
在11DF E ∆中，14DF =，112E F =，122DE =， ……………………………11分
∴2221111111141683
cos 22244
E F DF DE E F D E F DF +-+-∠===⋅⋅⨯⨯， ……………………………
13分
∴异面直线1DF 与11B C 所成角的余弦值为
3
4
． ……………14分 解法2：以底面正六边形ABCDEF 的中心为坐标原点O ， 以OD 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵(0,2,0)D ，1(3,1,2)B -，1(3,1,2)C ，1(3,1
,2)F --， ∴11(0,2,0)BC =u u u u r ，1(3,3,2)DF =--u u u u r ，……………… 11分
设异面直线1DF 与11B C 所成角为θ，则(0,]2
π
θ∈，
∴
11111111163
cos |cos ,|244
||||B C DF B C DF B C DF θ⋅-=<>===⨯⋅u u u u r u u u u r
u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ， ……………………………13分 ∴
异
面
直
线
1
DF 与
11
B C 所成角的余弦值为
3
4
． ……………14分
（说明1：坐标法，建系1分，写出四个坐标共2分，错一个或2个扣1分）
19．（本题满分14分） 解：（1）由题意可知，1b =， ……………1分 而
3c a =， ……………2分 且
222a b c =+. ………
……3分
解
得
2a =， ……………4分 所以，椭圆的方程为
2
214
x y +=. ……………5分 （
2
）
由
题
可
得
(2,0),(2,0)
A B -.设00(,)P x y ， ……………6分 直线AP
的方程为
0(2)2
y y x x =++， ……………7分
令
x =，
则
02)2
y y x =
+，
即
002)2y E x ⎛⎫ ⎪ ⎪+⎝⎭； ……………8分 直线BP
的方程为
0(2)2
y y x x =--， ……………9分
令
x =，
则
02)2
y y x =
-，
即
002)2y F x ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭
； ……………10分 证法一：设点(,0)M m 在以线段EF 为直径的圆上，则0ME MF ⋅=u u u r u u u r
， ……………11分
即
2
2
2
02)(04
y m x -+=-， ……………12分
2
2
2
4(4y m x ∴-=-， 而22
0014
x y +=，即220044y x =-，
2(1m ∴-=
，
1
m ∴=
或
1m =. ……………13分
所以以线段EF 为直径的圆必过x 轴上的定
点1,0)
或1,0). ……………14分 证法二：以线段EF 为直径的圆为
200002)2)(022y y x y y x x ⎡⎤⎡⎤
-+-⋅-=⎢⎥⎢⎥++⎣
⎦⎣⎦ …
…………11分
令0
y=，
得
2
20
2
2)
(0
4
y
x
x
-+=
-
，……………12分
∴
2
20
2
4
(
4
y
x
x
-=
-
，
而
2
2
1
4
x
y
+=，即22
00
44
y x
=-，
∴2
(1
x-=
，1
x
∴=
或1
x=. ……………13分
所以以线段EF为直径的圆必过x轴上的定
点1,0)
或1,0). ……………14分
解法3：令(0,1)
P，则:1
21
AP
x y
l+=
-
，
令x=，
得E+……………6分
同理
，E. ……………7分
∴以EF为直径的圆
为22
((1)2
x y
-+-=……………8分
当0
y=
时，1
x=+
或1
x=-
∴圆
过1,0),1,0)
A B……………9分
令
00
(,)
P x y，
直线AP的方程为0
(2)
2
y
y x
x
=+
+
，
令x=，
则
y=，
即
2)
2
y
E
x
⎛⎫
⎪
⎪
+
⎝⎭
；……………10分
直线BP的方程为0
(2)
2
y
y x
x
=-
-
，
令x=，
则0
2)
2
y
y
x
=
-
，
即
2)
2
y
F
x
⎛⎫
⎪
⎪
-
⎝⎭
；……………11分
∵
2
2
4
1
4
AE AF
y
k k
x
⋅
⋅==-
-
………
……13分
∴A 在以EF 为直径的圆上.
同理，可知B 也在EF 为直径的圆上. ∴定点
为
1,0),1,0)A B (14)
分 20．（本题满分14分）
解：方法一、（1）依题意，数列{}n b 的通项公式为12n n b -=， ……………
1分
由11223311(1)21n
n n n n a b a b a b a b a b n --+++++=-⋅+L ， 可得1
11223311(2)21n n n a b a b a b a b n ---++++=-⋅+L ()2n ≥，
两式相减可得
1
2n n n a b n -⋅=⋅，即
n a n =. ……………3分
当
111
n a ==时，，从而对一切
n N *
∈，都有
n a n =. ……………4分
所
以
数
列
{}
n a 的通项公式是
n a n =. ……………5分
方
法
二
、
（
猜
想
归
纳
法
）
求
出
11a = ……………1分
猜
想
出
n a n = (2)
分 正确使用数学归纳法证
明 ……………5分 （2）法1：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-. 由
（1）得，
1
1
122,(1)n n n n n n a b n b a n d
--⋅⋅=⋅=+-即()2n ≥ ……………6分
11
1122()n n n n b a d a d nd d
n
--⋅=--++＝ …
…………7分
要使
1n n
b b +是一个与
n
无关的常数，当且仅当
10a d =≠ ……………8分
即：当等差数列{}n a 的满足10a d =≠时，数列{}n b 是等比数列，其通项公式是1
2n n b d
-=；
当等差数列{}n a 的满足1a d ≠时，数列{}n b 不是等比数
列． ……………9分
法2：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-. 由
（1）得，
1
1
122,(1)n n n n n n a b n b a n d --⋅⋅=⋅=+-即()2n ≥ ……………6分
若数列{}n b 是等比数列，则21112
12[()]
n n b dn a n a d b dn a n
+++-=+ ……………7分 要使上述比值是一个与n 无关的常数，须且只需10a d =≠.
即：当等差数列{}n a 的满足10a d =≠时，数列{}n b 是等比数列，其通项公式是
1
2n n b d
-=；…………8分
当等差数列{}n a 的满足1a d
≠时，数列{}n b 不是等比数
列． ……………9分
（3）证法1：由（1）知1
2n n n a b n -=⋅.
2311111111112232422n
n i i i
a b n -==+++++⨯⨯⨯⨯⨯∑L 2311
1
11111
1122222222
n
n i i i
a b
-=<
+++++⨯⨯⨯⨯⨯∑L ()3n ≥ ……………12分
2
11()1112114812
n --=++⨯
- ……………13分
1113
1442
≤++= ……………14分 证法
2：证明其加强命题：
1131
22n
n i i i
a b =≤-∑ ……………11分 证明：①1n =时，左边=1，右边=1，不等式成立； ②假设n k =时，不等式成立.则1n k =+时， 1111
1113112(1)222(1)2k k
k k k k i i i i a b k k k +-===+≤-+⋅++∑∑
1
31131
222222k k k +≤
-+=-
⋅； ……………13分
由①②知，对一切正整数，不等式113122n
n i i i
a b =≤-∑成立. 综
上
，
知
113
2n
i i i
a b =<∑ ……………14分
证法3：由（1）知1
2n n n a b n -=⋅.
当3n ≥时，01101
22()222n n n n n n n n n C C C C C C n n -=++++≥+=+>L ，
∴
12n n -> ………
……11分 ∴122
11
22
n n n --<⋅ ∴
当
3
n ≥时，46221111111114341142223214
n
n
n i i i
a b -=-=+++++=
=<-∑L . ……………13分 又当1n =时，
1113
12a b =<， 当2n =时，
1122111531442
a b a b +=+=<， 综
上，对一切自然数
n
，都有
1132n
i i i
a b =<∑. ……………………………………14分
21．（本题满分14分） 证明：①()ln ,f x x =1
()f ξξ
'=
，x y ξ<< ……………………………………
1分
（注1：只要构造出函数()ln f x x =即给1分） 故
ln ln ,
y x
y x ξ
--=
又
y x y x y x
y x
ξ---<<……
*（） ……………………………………2分 即
1ln ln 1(0)x y
y x x y y x
-
<-<-<< ……………………………………3分
②证明：由*（）
式可得2121
ln 2ln121
--<-<
3232
ln 3ln 222(1)(1)
ln ln(1)1
n n n n n n n n --<-<----<--<-L
…………………………………
…6分 上
述不等式相加，得
1
21
11ln (1)n
n k k n n k k -==<<>∑∑ ……………………………………8分 （注：能给出叠加式中的任何一个即给1分，能给出一般式
(1)(1)
ln ln(1)1
n n n n n n n n ----<--<
-，给出2分） （2）解法一、当1n =时，()()()()2
x y
f x f y f x y +'-=-显然成立. ………………………
9分 当
2
n =时，
22()()2()()()()22
x y x y
f x f y x y x y f x y ++'-=-=-=-.……………………10分
下证当3n ≥时，等式()()()()2
x y
f x f y f x y +'-=-不恒成立.
（注：能猜出3n ≥时等式不恒成立即给1分） 不妨设0x y <<.
设1
()()()
2n n n x y F x x y n x y -+=--⋅-.
则 ………………………11分
121
()(1)(
)()()222
n n n x y x y x y F x nx n n n ---+-+'=---
12121222
22(1)(1)()()
222(2)()
22
(2)()
22[()]
2
()0
n n n n n n n n n n x y n x n y x y
nx n x y n x ny
nx n x y n x nx
nx n x y nx x nx x x ----------+---+=--+--=-+-->-+=->-= ………………
………13分
所以函数()F x 单调在(0,)y 上单调递增，所以()()0F x F y <=，即()F x 不恒为零.
故n 的所有可能值为1
和2. ………………………14分
解
法
二
、
当
1
n =时，
()()(
)()2
x y
f x f y f x y +'-=-显
然
成立. ………………………9分 当2
n =时
，
22()()2(
)()()()22
x y x y
f x f y x y x y f x y ++'-=-=-=-. ………………………10分 下证当3n ≥时，等式()()()()2
x y
f x f y f x y +'-=-不恒成立.
不妨设2,0
x y ==，则已知条件化为：12n n -= ………………………11分
当3n ≥时，11011
1112(11)n n n n n n C C C ------=+=+++L 1
121n C n n -≥+=+> ……………
…………13分
因此，3n ≥时方程1
2n n -=无解.
故n 的所有可能值为1
和
2. ………………………14分。