高考数学知识模块复习能力训练——直线与平面
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（1）求直线 D′ B 与平面 ABCE所成的角的正切值； （2）求证： AD′⊥ BE； （3）求四棱锥 D′— ABCE的体积； （4）求异面直线 AD′与 BC所成的角。
用心 爱心 专心
参考答案 【综合能力训练】 1.C 2.B 3.D 4.C 5.D 6.C 7.C 8.A 9.D 10.B 11.C 12.A
13.
3
3
14.arccos
3
15.截面 AB1D1，或截面 ACD1，或截面 AB1C
16.①ABCD 是正方形； ② ABCD是圆的外切四边形； ③ ABCD是菱形； ④ AB=BC=CD=DA等。 17.解 （ 1）由已知 PA⊥平面 ABC， PA=AC=1，
得△ PAC为等腰直角三角形， PC=CB= 2 。
C.cosθ · cosα=cosβ
D.cosθ · sinα=cosβ
二、填空题 13.将正方形 ABCD沿对角线 AC 折成直二面角后，异面直线
。
AB 与 CD所成角的大小是
用心 爱心 专心
14.在平面 α 内有一个正三角形 到△ A′ BC，当 θ =
ABC，以 BC边为轴把△ ABC旋转 θ 角， θ ∈（ 0， ），得
10.过正方形 ABCD的顶点 A 作线段 A′ A⊥平面 ABCD。若 A′ A=AB，则平面 A′ AB 与平
面 A′ CD 所成角的度数是（
）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
11.已知相交直线 l、m 都在平面 α 内，并且都不在平面 β 内，若命题 p：l、m 中至少有一
条与 β相交；命题 q: α与 β 相交，则 p 是 q 的（
在 Rt△ PAB中，∠ PBA=30°， ∴PB=2， ∴△ PCB为等腰直角三角形。 ∵PA⊥平面 ABC， ∴AC⊥ BC，又 AC∩ PC=C， PC⊥ BC， ∴BC⊥平面 PAC，
∵BC 平面 PBC， ∴平面 PBC⊥平面 PAC。
1
3
（2 ）三个侧面及底面都是直角三角形， 求得侧面 PAC的面积为 ，侧面 PAB面积值为
∵平面 PAC⊥平面 ABC且相交于 AC， ∴MD ⊥平面 PAC。 过 D 作 DE⊥ PC，垂足为 E，连结 ME，则 DE是 ME 在平面 PBC上的射影， ∵DE⊥ PC，∴ ME⊥ PC， ME 的长度即是 M 到 PC的距离。
1
2
2
在 Rt△ ABC中 ,∵MD ∥BC，∴ MD= BC= 。在等腰 Rt△ PAC中， DE=DCsin45° = ，
，则在
空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与两个平面所成的
角相等）
用心 爱心 专心
试根据上述定理， 在 AB=4，AD=3，AA1=5 时，求平面 AEF与平面 D1B1BD 所成的角的大小。 （用反三角函数值表示）
19.已知边长为 a 的正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G（如图 7-28），将此三 角形沿 DE 折成二面角 A′— DE— B。
2
时，△ A′BC 在平面 α内的射影是直角三角形。
15.已知，正方体 ABCD—— A1B1C1D1，过点 A 作截面，使正方体的 12 条棱所在直线与截 面所成的角皆相等，试写出满足这样条件的一个截面
（注：只需任意写一个） 。
16.如图 7-25，P 是四边形 ABCD所在平面外一点， O 是 AC 与 BD 的交点，且 PO⊥平面 ABCD。
∴PE=PDsin60° = 3 ·
锥的五个面中，互相垂直的平面共有（
）
A.3 对
B.4 对
C.5 对
D.6 对
8.设有不同的直线 a、 b 和不同的平面 α 、 β、 γ ，给出下列三个命题：
①若 a∥ α,b∥ α ,则 a∥ b。
②若 a∥ α,a∥ β ，则 α ∥β 。
③若 α ⊥ γ， β ⊥ γ，则 α ∥ β。
其中正确的个数是（
2
2
4
∴ME= MD 2
DE 2 = 1
1
=
10 ，即点 M 到 PC的距离为
28 4
10 。 4
18（. 1 ）证：因为 CB⊥平面 A1B，所以 A1C 在平面 A1B 上的射影为 A1B，由 A1B⊥ AE，AE A1B， 得 A1C⊥AE。
同理可证 A1C⊥ AF。因为 A1C⊥AF， A1C⊥ AE 又 AF∩AE=A，所以 A1C⊥平面 AEF。 （2）解 过 A 作 BD 的垂线交 CD于 G， 因为 D1D⊥ AG，所以 AG⊥平面 D1B1BD。 设 AG 与 A1C 所成的角为 α，则由定理知 α 即为平面 AEF 与平面 D1B1BD 所成的角。
4.a、 b 是异面直线，以下面四个命有一个平面平行于 b
②过 a 至少有一个平面垂直于 b
③至多有一条直线与 a、 b 都垂直 ④至少有一个平面分别与 a、 b 都平行
A.0
B.1
C.2
D.3
5.对于已知直线 a，如果直线 b 同时满足下列三个条件： （ 1）与 a 是异面直线； （ 2）与 a 所成的角为定值 θ；（ 3）与 a 的距离为定值 d。那么，这样的直线 b 有（ ）
（1）求证：平面 PBC⊥平面 PAC； （2）比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小； （3）求 AB 的中点 M 到直线 PC的距离。
18.如图 7-27，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，点 E、F 分别在 BB1、 DD1 上，且 AE⊥ A1B，
AF⊥A1D。
（1）求证： A1C⊥平面 AEF； （ 2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）
∴PB2=PD2+BD2，故得 PD⊥ BD。 又 PD∩ AD=D，∴ BD⊥平面 PAD。
（2）∵ BD⊥平面 PAD， BD 平面 ABCD，
∴平面 PAD⊥平面 ABCD。
作 PE⊥ AD 于 E，又 PE 平面 PAD，∴ PE⊥平面 ABCD， ∴∠ PDE 是 PD 与底面 BCD所成的角，∴∠ PDE=60°，
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.无数条
6.如图 7-22，点 P 在正方形 ABCD所在的平面外， PD⊥平面 ABCD， PD=AD，则 PA与 BD
所成角的度数为（
）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
用心 爱心 专心
7.如图 7-23 ，四棱锥 P— ABCD的底面 ABCD是一个正方形， PD垂直于 ABCD，则这个四棱
）
A.0
B.1
C.2
D.3
9.若有平面 α与 β ，且 α∩ β = l, α ⊥β ，P∈ α ，P l，则下列命题中的假命题为 （ ）
A.过点 P 且垂直于 α 的直线平行于 β
B.过点 P 且垂直于 l 的平面垂直于 β
C.过点 P 且垂直于 β的直线在 α 内
D.过点 P 且垂直于 l 的直线在 α 内
（1）证明∠ MDC 是二面角 M —AB— C 的平面角； （2）当∠ MDC=∠ CVN 时，证明 VC⊥平面 AMB； （3）若∠ MDC=∠ CVN=θ （ 0<θ < ），求四面体 MABC 的体积。
2
22.如图 7-31，已知矩形 ABCD，AB=2AD=2a,E是 CD边的中点，以 AE 为棱，将△ DAE 向上 折起，将 D 变到 D′的位置，使面 D′ AE 与面 ABCE成直二面角（图 7-32）。
a
∵AD=DE=AE= ，
2
3
1
3
∴A′G=AG= a,HG= AG= a。
4
3 12
用心 爱心 专心
HG 1
在 Rt△ A′ HG 中， cos∠ A′ GH=
=.
A'G 3
∵∠ A′ GF =π-∠ A′ GH,
∴cos∠ A′ GF= -1 ， 3 1
∴∠ A′ GF=arcos(- )，
3 即当∠ A′ GF=arcos(- 1 )时， A′ E⊥BD。
与 BD1 的关系是（
）
A.异面直线
B.平行
C.相交且垂直
D.相交且不垂直
3.有三个命题： ①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面 α的一条斜线 l 有且仅有一个平面与 α垂直；
③异面直线 a、 b 不垂直，那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直。
其中正确命题的个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
9
由已知，计算得 DG= ，
4
如图建立直角坐标系，则得点及向量：
用心 爱心 专心
9
9
A(0,0,0),G( ， 3，0)，A1(0,0,5),C(4,3,0), AG =（ ,3,0） ,
4
4
所成的角为 α ，
A1C =（ 4,3,-5）。因为 AG 与 A1C
所以 cosα =
AG A1C
12
=
3
20.解 （ 1）由已知 AB=4， AD=2，∠ BAD=60°， 得 BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos60°
1
=4+16-2× 2× 4× =12。
2
∴AB2 =AD2+BD2，
∴△ ABD 是直角三角形，∠ ADB=90°，
即 AD⊥ BD。
在△ PDB 中， PD= 3 ， PB= 15 ，BD= 12 ，
高考数学知识模块复习能力提升综合训练
——直线与平面
1.如图 7-20 ，点 P、Q、 R、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线
PQ
与 RS是异面直线的一个图是（
）
2.如图 7-21，正方体 ABCD— A1B1C1D1 中， EF 为异面直线 A1D 和 AC 的公垂线，则直线 EF
当四边形 ABCD具有条件
时，点 P 到四边形
四条边的距离相等。 （注：填上你认为正确的一种．条．件．． 即可。不必考虑所有可能的情况。 ）
三、解答题 17.在如图 7-26 所示的三棱锥 P— ABC 中， PA⊥平面 ABC， PA=AC=1，PC=BC， PB 和平面 ABC所成的角为 30°。
，
2
2
侧面 PCB面积值为 1，底面积值为 2 。 2
三个侧面面积的算术平均数为
3 3。 6
∵3
3 23
-=
62
3 3 2， 6
用心 爱心 专心
其中 3+ 3 - 3 2 =（3-2 2 ）+（ 3 - 2 ） =（ 9 - 8 ） +（ 3 - 2 ） >0,
∴三个侧面面积的算术平均数大于底面积的数值。 （3）如图，过 M 作 MD ⊥AC，垂足为 D。
（1）求证：平面 A′ GF⊥平面 BCED； （2）当二面角 A′— DE— B 为多大时，异面直线 A′ E 与 BD 互相垂直？证明你的结论。 20.如图 7-29，在四棱锥 P— ABCD中，底面 ABCD是平行四边形， ∠ BAD=60°，AB=4，AD=2，
侧棱 PB= 15 ，PD= 3 。
（1）求证： BD⊥平面 PAD； （2）若 PD 与底面 ABCD成 60°的角，试求二面角 P— BC— A 的大小。
用心 爱心 专心
21.如图 7-30，已知 VC 是△ ABC所在平面的一条斜线，点 N 是 V 在平面 ABC上的射影， 且 N 位于△ ABC的高 CD 上。 AB=a,VC与 AB 之间的距离为 h， M ∈ VC。
）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.不充分也不必要条件
12.如图 7-24，PA⊥⊙ O 所在平面， AB 为底面圆的直径， C 为下底面圆周上一点，∠ CAB=
α ，∠ PBA=θ ，∠ CPB=β ，则（
）
A.cosθ · sinα=sinβ
B.sinθ · sinβ =sinα
1
∴DE∥ BC。
2
∴AF⊥ DE，又 AF∩ DE=G， ∴A′G⊥ DE， GF⊥ DE， ∴DE⊥平面 A′ FG，
又 DE 平面 BCED，
∴平面 A′ FG⊥平面 BCED。
（2）∵ A′ G⊥ DE， GF⊥ DE， ∴∠ A′ GF 是二面角 A′— DE— B 的平面角。 ∵平面 A′ GF∩平面 BCED=AF， 作 A′H⊥ AG 于 H ， ∴A′H⊥平面 BCED。 假设 A′ E⊥ BD，连 EH 并延长 AD 于 Q， 则 EQ⊥ AD。 ∵AG⊥ DE， ∴H 是正三角形 ADE的重心，也是中心。
2
12
,α =arccos
2。
| AG | | A1C | 25
25
即平面 AEF与平面 CEF所成角的大小为 arccos12 2 。 25
注：本题也可利用“平行转移法”求 AG 与 A1C 所成的角。 19.解 （ 1）∵△ ABC是正三角形， AF 是 BC边的中线， ∴AF⊥ BC。 又 D、 E 分别是 AB、 AC 的中点，
用心 爱心 专心
参考答案 【综合能力训练】 1.C 2.B 3.D 4.C 5.D 6.C 7.C 8.A 9.D 10.B 11.C 12.A
13.
3
3
14.arccos
3
15.截面 AB1D1，或截面 ACD1，或截面 AB1C
16.①ABCD 是正方形； ② ABCD是圆的外切四边形； ③ ABCD是菱形； ④ AB=BC=CD=DA等。 17.解 （ 1）由已知 PA⊥平面 ABC， PA=AC=1，
得△ PAC为等腰直角三角形， PC=CB= 2 。
C.cosθ · cosα=cosβ
D.cosθ · sinα=cosβ
二、填空题 13.将正方形 ABCD沿对角线 AC 折成直二面角后，异面直线
。
AB 与 CD所成角的大小是
用心 爱心 专心
14.在平面 α 内有一个正三角形 到△ A′ BC，当 θ =
ABC，以 BC边为轴把△ ABC旋转 θ 角， θ ∈（ 0， ），得
10.过正方形 ABCD的顶点 A 作线段 A′ A⊥平面 ABCD。若 A′ A=AB，则平面 A′ AB 与平
面 A′ CD 所成角的度数是（
）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
11.已知相交直线 l、m 都在平面 α 内，并且都不在平面 β 内，若命题 p：l、m 中至少有一
条与 β相交；命题 q: α与 β 相交，则 p 是 q 的（
在 Rt△ PAB中，∠ PBA=30°， ∴PB=2， ∴△ PCB为等腰直角三角形。 ∵PA⊥平面 ABC， ∴AC⊥ BC，又 AC∩ PC=C， PC⊥ BC， ∴BC⊥平面 PAC，
∵BC 平面 PBC， ∴平面 PBC⊥平面 PAC。
1
3
（2 ）三个侧面及底面都是直角三角形， 求得侧面 PAC的面积为 ，侧面 PAB面积值为
∵平面 PAC⊥平面 ABC且相交于 AC， ∴MD ⊥平面 PAC。 过 D 作 DE⊥ PC，垂足为 E，连结 ME，则 DE是 ME 在平面 PBC上的射影， ∵DE⊥ PC，∴ ME⊥ PC， ME 的长度即是 M 到 PC的距离。
1
2
2
在 Rt△ ABC中 ,∵MD ∥BC，∴ MD= BC= 。在等腰 Rt△ PAC中， DE=DCsin45° = ，
，则在
空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与两个平面所成的
角相等）
用心 爱心 专心
试根据上述定理， 在 AB=4，AD=3，AA1=5 时，求平面 AEF与平面 D1B1BD 所成的角的大小。 （用反三角函数值表示）
19.已知边长为 a 的正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G（如图 7-28），将此三 角形沿 DE 折成二面角 A′— DE— B。
2
时，△ A′BC 在平面 α内的射影是直角三角形。
15.已知，正方体 ABCD—— A1B1C1D1，过点 A 作截面，使正方体的 12 条棱所在直线与截 面所成的角皆相等，试写出满足这样条件的一个截面
（注：只需任意写一个） 。
16.如图 7-25，P 是四边形 ABCD所在平面外一点， O 是 AC 与 BD 的交点，且 PO⊥平面 ABCD。
∴PE=PDsin60° = 3 ·
锥的五个面中，互相垂直的平面共有（
）
A.3 对
B.4 对
C.5 对
D.6 对
8.设有不同的直线 a、 b 和不同的平面 α 、 β、 γ ，给出下列三个命题：
①若 a∥ α,b∥ α ,则 a∥ b。
②若 a∥ α,a∥ β ，则 α ∥β 。
③若 α ⊥ γ， β ⊥ γ，则 α ∥ β。
其中正确的个数是（
2
2
4
∴ME= MD 2
DE 2 = 1
1
=
10 ，即点 M 到 PC的距离为
28 4
10 。 4
18（. 1 ）证：因为 CB⊥平面 A1B，所以 A1C 在平面 A1B 上的射影为 A1B，由 A1B⊥ AE，AE A1B， 得 A1C⊥AE。
同理可证 A1C⊥ AF。因为 A1C⊥AF， A1C⊥ AE 又 AF∩AE=A，所以 A1C⊥平面 AEF。 （2）解 过 A 作 BD 的垂线交 CD于 G， 因为 D1D⊥ AG，所以 AG⊥平面 D1B1BD。 设 AG 与 A1C 所成的角为 α，则由定理知 α 即为平面 AEF 与平面 D1B1BD 所成的角。
4.a、 b 是异面直线，以下面四个命有一个平面平行于 b
②过 a 至少有一个平面垂直于 b
③至多有一条直线与 a、 b 都垂直 ④至少有一个平面分别与 a、 b 都平行
A.0
B.1
C.2
D.3
5.对于已知直线 a，如果直线 b 同时满足下列三个条件： （ 1）与 a 是异面直线； （ 2）与 a 所成的角为定值 θ；（ 3）与 a 的距离为定值 d。那么，这样的直线 b 有（ ）
（1）求证：平面 PBC⊥平面 PAC； （2）比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小； （3）求 AB 的中点 M 到直线 PC的距离。
18.如图 7-27，在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，点 E、F 分别在 BB1、 DD1 上，且 AE⊥ A1B，
AF⊥A1D。
（1）求证： A1C⊥平面 AEF； （ 2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）
∴PB2=PD2+BD2，故得 PD⊥ BD。 又 PD∩ AD=D，∴ BD⊥平面 PAD。
（2）∵ BD⊥平面 PAD， BD 平面 ABCD，
∴平面 PAD⊥平面 ABCD。
作 PE⊥ AD 于 E，又 PE 平面 PAD，∴ PE⊥平面 ABCD， ∴∠ PDE 是 PD 与底面 BCD所成的角，∴∠ PDE=60°，
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.无数条
6.如图 7-22，点 P 在正方形 ABCD所在的平面外， PD⊥平面 ABCD， PD=AD，则 PA与 BD
所成角的度数为（
）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
用心 爱心 专心
7.如图 7-23 ，四棱锥 P— ABCD的底面 ABCD是一个正方形， PD垂直于 ABCD，则这个四棱
）
A.0
B.1
C.2
D.3
9.若有平面 α与 β ，且 α∩ β = l, α ⊥β ，P∈ α ，P l，则下列命题中的假命题为 （ ）
A.过点 P 且垂直于 α 的直线平行于 β
B.过点 P 且垂直于 l 的平面垂直于 β
C.过点 P 且垂直于 β的直线在 α 内
D.过点 P 且垂直于 l 的直线在 α 内
（1）证明∠ MDC 是二面角 M —AB— C 的平面角； （2）当∠ MDC=∠ CVN 时，证明 VC⊥平面 AMB； （3）若∠ MDC=∠ CVN=θ （ 0<θ < ），求四面体 MABC 的体积。
2
22.如图 7-31，已知矩形 ABCD，AB=2AD=2a,E是 CD边的中点，以 AE 为棱，将△ DAE 向上 折起，将 D 变到 D′的位置，使面 D′ AE 与面 ABCE成直二面角（图 7-32）。
a
∵AD=DE=AE= ，
2
3
1
3
∴A′G=AG= a,HG= AG= a。
4
3 12
用心 爱心 专心
HG 1
在 Rt△ A′ HG 中， cos∠ A′ GH=
=.
A'G 3
∵∠ A′ GF =π-∠ A′ GH,
∴cos∠ A′ GF= -1 ， 3 1
∴∠ A′ GF=arcos(- )，
3 即当∠ A′ GF=arcos(- 1 )时， A′ E⊥BD。
与 BD1 的关系是（
）
A.异面直线
B.平行
C.相交且垂直
D.相交且不垂直
3.有三个命题： ①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面 α的一条斜线 l 有且仅有一个平面与 α垂直；
③异面直线 a、 b 不垂直，那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直。
其中正确命题的个数为（
）
A.0
B.1
C.2
D.3
9
由已知，计算得 DG= ，
4
如图建立直角坐标系，则得点及向量：
用心 爱心 专心
9
9
A(0,0,0),G( ， 3，0)，A1(0,0,5),C(4,3,0), AG =（ ,3,0） ,
4
4
所成的角为 α ，
A1C =（ 4,3,-5）。因为 AG 与 A1C
所以 cosα =
AG A1C
12
=
3
20.解 （ 1）由已知 AB=4， AD=2，∠ BAD=60°， 得 BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos60°
1
=4+16-2× 2× 4× =12。
2
∴AB2 =AD2+BD2，
∴△ ABD 是直角三角形，∠ ADB=90°，
即 AD⊥ BD。
在△ PDB 中， PD= 3 ， PB= 15 ，BD= 12 ，
高考数学知识模块复习能力提升综合训练
——直线与平面
1.如图 7-20 ，点 P、Q、 R、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线
PQ
与 RS是异面直线的一个图是（
）
2.如图 7-21，正方体 ABCD— A1B1C1D1 中， EF 为异面直线 A1D 和 AC 的公垂线，则直线 EF
当四边形 ABCD具有条件
时，点 P 到四边形
四条边的距离相等。 （注：填上你认为正确的一种．条．件．． 即可。不必考虑所有可能的情况。 ）
三、解答题 17.在如图 7-26 所示的三棱锥 P— ABC 中， PA⊥平面 ABC， PA=AC=1，PC=BC， PB 和平面 ABC所成的角为 30°。
，
2
2
侧面 PCB面积值为 1，底面积值为 2 。 2
三个侧面面积的算术平均数为
3 3。 6
∵3
3 23
-=
62
3 3 2， 6
用心 爱心 专心
其中 3+ 3 - 3 2 =（3-2 2 ）+（ 3 - 2 ） =（ 9 - 8 ） +（ 3 - 2 ） >0,
∴三个侧面面积的算术平均数大于底面积的数值。 （3）如图，过 M 作 MD ⊥AC，垂足为 D。
（1）求证：平面 A′ GF⊥平面 BCED； （2）当二面角 A′— DE— B 为多大时，异面直线 A′ E 与 BD 互相垂直？证明你的结论。 20.如图 7-29，在四棱锥 P— ABCD中，底面 ABCD是平行四边形， ∠ BAD=60°，AB=4，AD=2，
侧棱 PB= 15 ，PD= 3 。
（1）求证： BD⊥平面 PAD； （2）若 PD 与底面 ABCD成 60°的角，试求二面角 P— BC— A 的大小。
用心 爱心 专心
21.如图 7-30，已知 VC 是△ ABC所在平面的一条斜线，点 N 是 V 在平面 ABC上的射影， 且 N 位于△ ABC的高 CD 上。 AB=a,VC与 AB 之间的距离为 h， M ∈ VC。
）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.不充分也不必要条件
12.如图 7-24，PA⊥⊙ O 所在平面， AB 为底面圆的直径， C 为下底面圆周上一点，∠ CAB=
α ，∠ PBA=θ ，∠ CPB=β ，则（
）
A.cosθ · sinα=sinβ
B.sinθ · sinβ =sinα
1
∴DE∥ BC。
2
∴AF⊥ DE，又 AF∩ DE=G， ∴A′G⊥ DE， GF⊥ DE， ∴DE⊥平面 A′ FG，
又 DE 平面 BCED，
∴平面 A′ FG⊥平面 BCED。
（2）∵ A′ G⊥ DE， GF⊥ DE， ∴∠ A′ GF 是二面角 A′— DE— B 的平面角。 ∵平面 A′ GF∩平面 BCED=AF， 作 A′H⊥ AG 于 H ， ∴A′H⊥平面 BCED。 假设 A′ E⊥ BD，连 EH 并延长 AD 于 Q， 则 EQ⊥ AD。 ∵AG⊥ DE， ∴H 是正三角形 ADE的重心，也是中心。
2
12
,α =arccos
2。
| AG | | A1C | 25
25
即平面 AEF与平面 CEF所成角的大小为 arccos12 2 。 25
注：本题也可利用“平行转移法”求 AG 与 A1C 所成的角。 19.解 （ 1）∵△ ABC是正三角形， AF 是 BC边的中线， ∴AF⊥ BC。 又 D、 E 分别是 AB、 AC 的中点，