圆定理证明

圆幂定理
定义
圆幂=PO^2-R^2 (该结论为欧拉公式)
所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A、B;C、D, 则有PA ·PB=PC ·PD。

统一归纳：过任意不在圆上的一点P 引两条直线L1、L2,L1 与圆交于A、B(可重合，即切线),L2 与圆交于C、D(可重合),则有PA ·PB=PC ·PD。

相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等)
相交弦说明
几何语言：
若弦AB 、CD 交于点P
则PA ·PB=PC ·PD (相交弦定理)
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分
直径所成的两条线段的例中项
几何语言：
若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P, 则PC^2=PA ·PB (相交弦定理推论)
相
交弦定理
C
A
D
P
o°
B
⊙O中，AB、
CD 为弦，交
于P
PA ·PB=PC·PD连结AC、BD,证
：△APC△DPB
切割线定理
定义
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

是圆幂定理的一种。

几何语言：
∵PT 切⊙O于点T,PBA 是⊙O的割线
∴PT 的平方=PA ·PB (切割线定理)推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：
∵PT是⊙O切线，P BA,PDC 是⊙O的割线
∴PD·PC=PA ·PB (切割线定理推论)(割线定理)
由上可知：PTA2 (平方)=PA ·PB=PC ·PD
证明
切割线定理证明：
设ABP 是⊙O的一条割线，PT 是⊙O的一条切线，切点为T, 则
PT^2=PA ·PB
证明：连接AT,BT
∵∠PTB=∠PAT (弦切角定理)
∠P=∠P(公共角)
∴△PBTO△PTA (两角对应相等，两三角形相似)
则PB:PT=PT:AP
即：PT^2=PB ·PA
割线定理
定义
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线
与圆交点的距离的积相等。

从圆外一点L 引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 LA ·LB=LC ·LD。

如下图所示。

(LT 是切线)
证明
如图直线ABP 和CDP 是自点P 引的⑨O的两条割线，则PA ·PB=PC ·PD
证明：连接AD、BC
∵∠A和∠C都对弧BD
∴由圆周角定理，得∠A=∠C
又∵∠APD=∠CPB
∴△ADP △CBP
∴AP:CP=DP:BP,也就是AP ·BP=CP·DP
切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何语言：∵1⊥OA, 点A 在⊙O上
∴直线1是⊙O 的切线(切线判定定理)
切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言：∵OA 是⊙O的半径，直线1切⑨O于点A
∴1⊥OA (切线性质定理)
推论1经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言：∵直线PA、PB 分别切⊙O于 A、B两点
∴PA=PB, ∠APO= ∠BPO ( 切线长定理)
证明：连结OA、OB
∵直线PA、PB 分别切⊙O于 A、B 两点
∴OA ⊥AP、OB ⊥PB
∴∠OAP= ∠OBP=90°
在△OPA和△OPB中：
∠OAP= ∠OBP
OP=0P
OA=0B=r
∴△OPA ≌△OPB(HL)∴PA=PB, ∠APO= ∠BPO
弦切角定理
弦切角(即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角 [注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC]
几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC ∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC 的度数(弦切角定理)
推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言：∵∠1 所夹的是弧MN,∠2所夹的是PQ , 弧 MN = 弧PQ
∴∠1=∠2
证明：作AD⊥EC
∵∠ADC=90°
∴∠ACD+ ∠CAD=90°
∵ED与◎O切于点C
∴OC ⊥ED
∴∠OCD= ∠OCA+ ∠ACD=90°
图7-139 ∴∠OCA= ∠CAD
∵OC=0A=r
∴∠OCA= ∠OAC
∴∠COA=180°- ∠OCA- ∠OAC=180°-2 ∠CAD
又∵∠ACD=90°- ∠CAD
∴∠ACDC=1/2 ∠COA
∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2 AC 的度数
垂径定理
如图 DC 为直径 AB 垂直于DC 则AE=EB 弧AC 等于弧B C
圆周角定理：
(1) 定义(2) 图 2
(3)
:顶点在圆上 ， 且两边与圆还有另一个交点 。

圆 周 角 定 理
:同弧所对圆周角是圆心角的一半.
证明略(分类思想，3种，半径相等)
圆
幂
定
理
⊙O中，割线PB 交⊙O于A,CD 为弦 P℃ ·P'D=r²-op² PA ·PB=Op²-r² r 为⊙O的半径 延长PO 交⊙O于 M,延长OP'交⊙O 于N,用相交弦定理 证；过P 作切线用 切割线定
理勾股定 理证
8. 圆幂定理：过一定点P 向 ⊙O 作任一直线，交⊙O 于两点，则自定点P 到两交点的两条
线段之积为常数[OP ²-R ² | (R 为圆半径),因为Op ²-R ² 叫做点对于OO 的幂，所以将
上述定理统称为圆幂定理。

D P° B C 0 A。