维数基坐标PPT课件

例4（1）证明：线性空间P[x]n是n 维的，
且
1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．
（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 也为P[x]n的一组基．
§6.3 维数 基 坐标
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证:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是线性无关的．
其次， f ( x) a0 a1x an1xn1 P[ x]n f ( x)可经 1，x，x2，…，xn－1线性表出．
x1 x2 x3 x4 1
x1 x1 x1
x2 x2 x2
x3 x3 x3
x4 x4 x4
2 1 1
解之得,
5
1
1
1
x1 4 , x2 4 , x3 4 , x4 4 ．
∴ 在基
1
,
2
,
3
,
下的坐标为
4
(5,1, 1, 1) ． 44 4 4
§6.3 维数 基 坐标
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例1 数域P上的向量空间Pn 的维数等于n,
即dimPn=n. 例2 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x] 是无
限维的. 因为对任意的正整数 n，都有 n 个线性无关的 向量 1，x，x2，…，xn-1.
§6.3 维数 基 坐标
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2、基
在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
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例3 求Pn的下列子空间的维数和一组基：
(1) W1 {( x1, x2, , xn ) x1 x2 xn 0, xi P}
(2) W2 {( x1, x2, , xn1,0) xi P, i 1,2, , n 1}
解： (1) W1 是n元齐次线性方程组
§6.3 维数 基 坐标
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∴方程组②只有零解：
故 E , A线, A性2无关.
又由①知，任意f(A)均可表成
k1 k2 k3 0 的线性组E合，, A, A2
所以V为三维线性空间，
就是VE的, 一A组, A基2.
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三、线性子空间的几个结果
§6.3 维数 基 坐标
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4、线性空间的基与维数的确定
定理：若线性空间V中的向量组
ⅰ） 1 ,2 ,线性,无关n；
满足 1,2 , ,n
ⅱ） V可经,
则V是n 维线性空间，
线1性,表2出, , ,n 是1V,的一2组, 基．,n
§6.3 维数 基 坐标
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又对 f ( x) P[ x]n， 按泰勒展开公式有 f ( x) f (a) f (a)( x a) f (n1)(a) ( x a)n1
(n 1)!
即,f(x)可经1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1线性表出.
∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1为P[x]n的一组基．
2、有关结论
（1）单个向量 线性相关
0.
单个向量 线性无关
0
向量组 1 ,2 ,线性相,关 r
, , , 1 2
r 中有一个向量可由其余向量线性表出．
§6.3 维数 基 坐标
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（2）若向量组
1 ,线性2 ,无关,，且r可被
向量组 1 , 2 ,线性表, 出，s
1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0), , n (0, ,0,1)
就 Pn 的一组基．称为Pn的标准基.
§6.3 维数 基 坐标
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注意： ① n 维线性空间 V 的基不是唯一的，
线性无关的向量都是V的一组基． ② 任意两组基向量是等价的．
V中任意 n个
若把C看成是实数域R上的线性空间呢？
解： 复数域C上的线性空间C是1维的，数1就是它的
一组基；
而实数域R上的线性空间C为2维的，
数1，i 就是
它的一组基．
注：任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的，
数1就是它的一组基.
维数与所考虑的数域有关.
§6.3 维数 基 坐标
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P 例6 求数域P上的线性空间 的维数和一组基2．2
k1, k2 , , kr P，使得
k11 k22 krr 0
则称向量组
1 ,线2性, 相关,. r
§6.3 维数 基 坐标
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（4）如果向量组
不1 ,是线2性, 相关,的r，即
k11 k22 krr 0
只有在 k1 k2 时才k成r立，0
则称 1 ,2 ,线性,无关r ．
则 rs ;
若 1 ,2 , 与 ,r 1为,两个2 线, 性无, 关的s
等价向量组，则
r s.
（3）若向量组
1 ,线性2 ,无关，,但r向量组
1 , 2 , 1 , 2 ,
, , 线性相关，则 可被向量组 r
,线性r表出，且表法是唯一的．
§6.3 维数 基 坐标
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二、线性空间的维数、基与坐标
引入
问题Ⅰ
（基的问题）
如何把线性空间的全体元素表示出来？ 这些元素之间的关系又如何呢？
即线性空间的结构如何？
问题Ⅱ
（坐标问题）
线性空间是抽象的，如何使其元素与具体的东西
— 数发生联系,
使其能用比较具体的数学式子来表达？
怎样才能便于运算？
§6.3 维数 基 坐标
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一、线性空间中向量之间的线性关系
1 , 2 , , n 称为 V 的一组基；
3、坐标
, , , 设
为线性空间 V 的一组基，
12
n
V ,
若 a11 a2 2 an n , a1,a2 , ,an P
则数组 a1 , a2，, 就称,为an 在基
1,2, ,n
下的坐标，记为
(a1,a2 , ,an ).
§6.3 维数 基 坐标
则称向量 可由向量组
线性1表,出2., ,r
§6.3 维数 基 坐标
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若向量组
1
,
, , 中每一向量皆可由向量组
2
s
1 , 2 ,
, 线性表出， 则称向量组 r
可由向量组
1 ,线2性, 表出,.r
若两向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组
为等价的．
1,2, ,s
（3） 1 ,2 , ,r V ， 若存在不全为零的数
2
,
1 i 3
2
§6.3 维数 基 坐标
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§260./336维数 基 坐标
1 解: 数1是R＋的零元素.
( x R , x 1 x1 x).
任取R＋中的一个数 a , 且
a 1 ，则a是线性无关的.
又x R , 有k logax R, 使k a ak alogax x.
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练
1.已知全体正实数R＋对于加法与数量乘法：
习
a b ab, k a ak a, b R ,k R
构成实数域R上的线性空间，求R＋的维数与一组基.
2.求实数域R上的线性空间V的维数与一组基.这里
1 0 0
V
f
( A)
f
(x)
R[ x], A
0 0
0
0
的解空间.
x1 x2 xn 0 ①
所以，dimW1 ＝n－1，①的一个基础解系
1 (1, 1,0, ,0), 2 (1,0, 1,0, ,0),
,
n1 (1,0, ,0, 1) 就是W1 的一组基.
(2) dimW3 ＝n－1，
i (0,
, 0,1, 0 i
aij Eij
§6.3 维数 基 坐标
i1 i1
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P 例7 在线性空间 中求向量 4
在基 (1,2,1,1)
1 , 2 , 3 , 4 下的坐标，其中
1 (1,1,1,1), 2 (1,1,1,1), 3 (1,1,1,1), 4 (1,1,1,1) 解：设 x11 x2 2 x3 3 x4 4 ，则有线性方程组
设V是数域P上的线性空间， ① 线性子空间也有基与维数的概念.
W是V 的一个线性子空间
② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.
例1 P[x]n是P[x]的线性子空间， 例2 n元齐次线性方程组 AX=0解空间的维数
维数等于n.
方程组的一个基础解系就是解空间的一组基.
=n-R(A)，
§6.3 维数 基 坐标
1、维数
若在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是
任意 n＋1 个向量都是线性相关的，则称 V 是一个
n 维线性空间，常记作 dimV＝ n . 若线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量，
则称 V 是无限维线性空间．
注：零空间的维数定义为0.
dimV＝ 0 V＝{0}
§6.3 维数 基 坐标
即 x 可由 a 线性表出.
故R＋是一维的，任一正实数
就是R＋的a一(组基1. )
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2 解:
2 1 i 3 , 3 1,
2
1
n
2
n 3k n 3k 1 n 3k 2
kZ
1 0 0
A2
0 0
2
0
0
,
1 0 0
A3
0 0
1 0
0 1
E,
E n 3k
An
解：令
E11
1 0
0 0
,
E12
0 0
1 0
,
E21
0 1
0 0
,
E22
0 0
0 1
则 E11 , E12 , E21 , E22 是线性无关的．
事实上,由
aE11 bE12 cE21 dE22 0，即
有 a b c d 0.
又对
A
a11 a21
a12 a22
1、有关定义
设V 是数域 P 上的一个线性空间
（1） 1,2 , ,r V (r 1), k1, k2 , , kr P, 和式
称为向量组
k11 k22 krr
1 , 2 ,
, 的一个线性组合． r
（2） 1,2 , ,r , V，若存在 k1 , k2 , , kr P
使 k11 k22 krr
A
n 3k 1
kZ
①
A2 n 3k 2
§6.3 维数 基 坐标
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下证 E , A线,性A无2关. 设
得齐次线性方程组
k1E k2 A k3 A2 0,
k1
k1
k2
k2
k3
2k3
0
0
②
k1 2k2 k3 0
其系数行列式
11 1
1 2 ( 1)( 2 1)( 2 ) 0 1 2
P
22
，有
a b
cd
0
A a11E11 a12 E12 a21E21 a22E22 ∴ E11 , E12 , E21 , E22 是 P 的2一2 组基， 是4维的P．22
§6.3 维数 基 坐标
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注：
矩阵
A
a1在1 基a12 a21 a22
E下11的, E12 , E21, E22
坐标就是 (a11, a12 , a21, a22 ).
一般地，数域P上的全体 矩阵构成m的线性n空间
P mn 是 m 维n的，
矩阵单位
0
0
Eij
01 0
第i行 i 1, 2, , m
j 1,2, ,n
0
0
P 就是 的m一n组基．
第j列
mn
A (aij ) Pmn , 有 A
注： 此时， f ( x) a0 a1 x an1 xn1
在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐标是
( f (a), f (a),
f (n1) (a)
,
)
(n 1)!
§6.3 维数 基 坐标
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例5 求全体复数的集合C看成复数域C上的线性 空间的维数与一组基；
例3 3 维几何空间R3＝
{( x, y, z) x, y, z R}
1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)是R3的一组基； 1 (1,1,1),2 (1,1,0),3 (1,0,0)也是R3的一组基．
一般地，向量空间
P n {(a1,a2 , ,an ) ai P, i 1, 2, , n}为n维的，
∴ 1，x，x2，…，xn－1为P[x]n的一组基，
从而，P[x]n是n维的.
注： 此时， f ( x) a0 a1x
在基1，x，x2，…，xn－1下的坐标就是
an1 xn1
(a0 ,a1, ,an1 )
§6.3 维数 基 坐标
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（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是线性无关的．
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a11 a2 2 an n
有时也形式地记作
(1, 2 ,
注意：
a1
,
n
)
a2
an
向量 的坐标
(a1 , a2 , , an )是被向量 和基
1,2,
, 唯一确定的．即向量 n
在基
下的坐标是唯一的.
1,2, ,n
在不同基下 的坐标一般是不同的．