《离散型随机变量的方差》示范公开课教案【高中数学北师大】

《离散型随机变量的方差》教案
1.通过实例，理解离散型随机变量方差的含义，通过比较了解随机变量的方差与样本方差的区别与联系；
2.能计算简单离散型随机变量的方差；
3.体会均值与方差是从不同角度刻画随机变量的重要指标，并能利用他们解决一些实际问题．
教学重点：对离散型随机变量的方差的概念和求法的理解．
教学难点：利用离散型随机变量的方差解释随机现象，解决实际问题．
一、情境导入
有A 、B 两种不同类型的灯泡，通过抽样，获得了他们的“寿命”分别为X 、Y （单位：h ），已知X 、Y 的分布列如下表：
X 950 1000 1050 Y 700 1000 1300 P
1
6
23
16
P
16
23
16
问题1：该情境中，两类灯泡的“寿命”X 、Y 均是离散型随机变量，你能结合上节课所学的随机变量均值的知识来简单比较两类灯泡之类的好坏吗？
答案：离散型随机变量的均值，反映了随机变量取值的平均水平，在该问题中，均值越大，则灯泡的平均“寿命”越长，均值越小，则灯泡的平均“寿命”越短．根据离散型随机变量均值的计算公式为EX =x 1p 1+x 2p 2+⋯x n p n 计算可得：
EX =950×1
6
+1000×2
3
+1050×1
6
=1000 h ，
EY =700×16
+1000×23
+1300×1
6
=1000 h ．
因为EX = EY ，两个均值相等，也就是说这两种灯泡的平均寿命都是1000 h ，那么我们仅通过均值就无法来比较两种灯泡的质量好坏．
问题2：那能否由EX = EY 判定两类灯泡寿命数据无差别呢？也就是说，是不是可以由均值相等，说明两类灯泡质量相同？
◆教学目标
◆教学重难点
◆教学过程
答案：进一步观察数据，我们可以发现，A 类灯泡的寿命介于950 h~1050 h ，B 类灯泡的寿命介于700 h~1300 h ，直观上看，A 类灯泡的寿命时长要分布更为集中一些，即X 与其均值的偏离程度要小一些．即，虽然均值相同，但是两个变量X 、Y 的取值却存在较大的差异．也就是说，并不能直接由均值相等就判定两个变量取值无差异．
二、新知探究
问题3：基于以上问题，我们为了判断灯泡质量的好坏，还需要进一步考查灯泡寿命X 与其均值EX 的偏离程度．若偏离程度小，则灯泡的寿命比较稳定；若偏离程度大，则灯泡寿命的稳定性比较差．
那么，怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度呢？
答案：我们知道，在统计中，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的．比如，一组样本数据x 1，x 2，…，xn ，设其均值为x̅， 则其方差即为(x 1−x̅)2，(x 2−x̅)2，…，(x n −x̅)2的平均值，即
s 2=1
n ((x 1−x̅)2+(x 2−x̅)2+…+(x n −x̅)2)．
一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值“偏差平方的平均值”来度量呢？
设离散型随机变量X 的分布列如下表所示：
考虑X 所有可能取值x i 与EX 的偏差的平方(x 1−E (X ))2
，(x 2−E (X ))2
，…，(x n −E (X ))2
就描述了x i 与EX 的偏离程度．因为X 取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来刻画随机变量X 取值与其均值EX 的平均偏离程度．
我们称DX =E (x i −EX )2=(x 1−EX )2p 1+(x 2−EX )2p 2+⋯+(x n −EX )2p n =∑n
i=1(x i −EX )2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根√DX 为随机变量X 的标准差，记
为σX ．
这样，随机变量的方差和标准差都可以反映随机变量取值与其均值的偏离程度．方差（标准差）越小，随机变量偏离于均值的平均程度越小，取值越集中；方差（标准差）越大，随机变量偏离于均值的平均程度越大，取值越分散．．
问题4：根据以上方差的知识，来评价一下情境中两类灯泡的质量吧． 答案：根据数据，EX = EY =1000 h ，则A 类型灯泡的方差和标准差分别为 DX =E(X −EX)2=(−50)2×1
6
+02×2
3
+502×1
6
=
25003
，σX =
50√33
；
B 类型灯泡的方差和标准差分别为
DY =E(Y −EY)2=(−300)2×1
6
+02×2
3
+3002×1
6
=30000，σY =100√3．
因为DX <DY （等价地，σX <σY ），所以A 类型灯泡的方差要小，质量比较好． 问题5：观察随机变量方差的表达式，尝试一下能否进行简化？ 答案：DX =∑n
i=1(x i −EX )2
P i =∑n
i=1
(x i 2−2EXx i +(EX)2)P i
=
∑n
i=1
x i 2p i
−2EX ∑n i=1
x i p i +(EX)2
∑n i=1
p i =∑n
i=1
x i 2p i −2(EX)2+(EX)2
=∑n
i=1
x i 2p i −(EX)2
在以上的式子中，∑n
i=1
x i 2p i 即为X 2的均值，(EX)2为X 均值的平方，所以，该式表明“随
机变量X 的方差就等于X 2的均值减去X 均值的平方”．在方差的计算中，利用该结论经常可以使计算简化．
问题6：离散型随机变量的学习中，我们经常会见到aX +b 这样的变量，它与变量X 存在线性关系，那么它的方差又与X 的方差有何关系？这种关系与两者期望的关系有什么不同？
答案：这个问题我们分三个层次来探究．
①离散型随机变量X 加上一个常数b ，仅仅使X 的值产生一个平移，不改变X 与其均值的离散程度，故方差保持不变，即D(X +b)=DX ；
②离散型随机变量X 乘以一个常数a ，则 D (aX )=∑n
i=1
(ax i )2
p i −(E (aX ))2
=
∑n
i=1
a 2x i 2p i −(aE(X))2
=a 2∑n
i=1
x i 2p i −a 2(EX)2
=a 2(∑n
i=1
x i 2p i −(EX)2)=a 2DX
即，D (aX )=a 2DX ，aX 的方差是原X 方差的a 2倍．
③类似于上面的，可以证明D (aX +b )=a 2DX ，即与离散型随机变量X 存在线性依赖关系的变量aX +b 的方差，就等于原X 方差的a 2倍．
三、应用举例
例1 抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X 的方差和标准差． 解：掷出点数X 的分布列如下：
E (X )=1×16
+2×16
+3×16
+4×16
+5×16
+6×16
=3.5； DX =∑6
k=1(i −3.5)2×1
6=35
12≈2.92；
σX =√DX ≈1.71．
例2 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，设ξ，η分别表示甲、乙两人所加工出的次品件数，且ξ，η的分布列如下表：
试比较这两名工人谁的技术水平更高． 解：因为Eξ=0×3
5+1×
110
+2×
310
=0.7，
Eη=0×12
+1×
310
+2×1
5
=0.7，
即Eξ=Eη，说明甲、乙两名工人所加工出的平均次品件数相同，可以认为他们的技术水平相当．
又因为Dξ=(0−0.7)2×3
5
+(1−0.7)2×
110
+(2−0.7)2×
310
=0.81，
Dη=(0−0.7)2×1
2+(1−0.7)2×3
10+(2−0.7)2×1
5=0.61， 所以Dξ>Dη，说明工人乙的技术比较稳定．
例 3 医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入人体的平均体温为X ℃（摄氏度），医学统计发现，X 的分布列如下：
（1）求出EX ，DX ；
（2）已知人体体温为X ℃时，相当于Y =1.8X +32℃（华氏度），求E (Y )，D(Y)．
解：（1）EX =37×0.1+38×0.5+39×0.3+40×0.1=38.4， 根据DX =∑n
i=1
(x i −EX )2P i =∑n
i=1
x i 2p i −(EX)2，则
DX =372×0.1+382×0.5+392×0.3+402×0.1−38.42=0.64． （2）EY =E (1.8X +32)=1.8EX +32=101.12， DY =D (1.8X +32)=1.82DX =3.24×0.64=2.0736． 思考：随机变量的均值、方差与分布列有何关系？
答案：随机变量的分布列全面刻画了随机变量取值的统计规律，随机变量的均值和方差从不同的角度刻画了随机变量的特征，反映了随机变量的重要信息．分布列确定了，均值和方差也就确定了；但是反过来，仅仅知道均值或方差等数字特征，并不能完全确定随机变量的分布列．因此，均值、方差与分布列是部分和整体的关系．
四、课堂练习
1.设随机变量X 服从参数为p 的两点分布，求DX ． 解：依题意，随机变量X 的分布列如下表：
EX =1⋅p +0⋅(1−p )=p ，
DX =(1−p )2⋅p +(0−p )2⋅(1−p )=p (1−p )=p −p 2． 2.已知随机变量X 的分布列如下表，求DX 和σX ．
解：因为EX =0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1=2，
所以DX =(0−2)2×0.1+(1−2)2×0.2+(2−2)2×0.4+(3−2)2×0.2+(4−2)2×0.1=1.2，（或DX =EX 2−(EX )2=02×0.1+12×0.2+22×0.4+32×0.2+42×0.1−22=1.2）.
所以σX =
√30
5
． 3.投资A 、B 两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示．
（1）投资哪种股票的期望收益大？ （2）投资哪种股票的风险较高？
分析：股票投资收益是随机变量，期望收益就是随机变量的均值，投资风险是指收益的不确定性，在两种股票期望收益相差不大的情况下，可以用收益的方差来度量它们的投资风险高低，方差越大风险越高，方差越小风险越低．
解：（1）股票A 的投资收益期望为EX =(−1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1， 股票B 的投资收益期望为EY =0×0.3+1×0.4+2×0.3=1． 因为EX >EY ，所以投资股票A 的期望收益较大．
（2）股票A 的投资收益方差为DX =(−1)2×0.1+02×0.3+22×0.6−1.12=1.29； 股票B 的投资收益方差为DY =02×0.3+12×0.4+22×0.3−12=0.6． 因为EX 和EY 相差不大，且DX >DY ，所以投资股票A 比投资股票B 的风险高． 说明：在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小． 五、梳理小结
问题1：我们是如何定量的刻画一个离散型随机变量取值的稳定性的？ 答案：我们通过离散型随机变量的方差和标准差来刻画其取值的稳定性．
离散型随机变量X 的方差的定义是：其每个取值与均值的差的平方的均值，即DX =∑n
i=1
(x i −EX )2P i ．
离散型随机变量的标准差指的方差的算术平方根，即σX =√DX ．
离散型随机变量的方差（或标准差）越小，变量取值的偏离于均值的平均程度就越小；方差（或标准差）越大，则随机变量取值的取值就越分散．
问题2：关于方差的计算，你得到了哪些结论？
答案：①D(X)=∑n
i=1
(x i −EX )2P i =∑n
i=1
x i 2p i −(EX)2，即随机变量X 的方差就等于X 2的
均值减去X 均值的平方，该式在实际计算中使用较为方便．
②存在线性依赖关系的两个离散型随机变量的方差也有关系，即：
D(X +b)=DX ，D (aX )=a 2DX ，D (aX +b )=a 2DX ，这也是离散型随机变量方差的基本性质．
六、布置作业
教材P 201，习题6-3A 组2,3,4.。