离散数学图论-图的基本概念
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假设｜V(G)｜＝n，那么称G为n阶图。对有向图有一 样定义。 3〕在图G中，假设边集E(G)＝ø，那么称G为零图 假设G为n阶图，那么称G为n阶零图，记作Nn，特别 是称N1为平凡图 4〕在用图形表示一个图时，假设给每个结点和每一条边 均指定一个符号〔字母或数字〕，那么称这样的图为 标定图。 5) 常用ek表示边(vi，vj)( 或<vi，vj> ) 设G＝<V，E> 为无向图，ek = (vi，vj)∈E，
δ-(D) = min{d－(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的入度 δ＋(D) = min{d＋(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的出度
5、握手定理〔欧拉〕 1)定理1 设G＝<V,E>为任意无向图,V＝{v1，v2，…，vn},｜E｜ = m，
那么 ∑d(vi) ＝ 2m (所有结点的度数值和为边数的2倍) 证: G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时 ，每条边均提供2度，当然，m条边共提供2m度 2) 定理2 设D＝<V,E>为任意有向图,V＝{v1，v2，…，vn},|E| = m ，
个无向图(有向图)， 假设存在双射函数 f：V1 → V2
对于 ∀vi，vj V1，(vi，vj) E1 当且仅当 (f(vi),f(vj)) E2 并且(vi，vj) 与(f(vi),f(vj)) 的重数一样，那么称G1与G2是同构的，记作 Gl ≅ G2。 对有向图有一样的定义。
定义说明了:两个图的各结点之间，如果存在着一 一对应关系 f
四、子图、生成子图、导出子图
1、定义 设G＝<V，E>，G‘＝<V’，E’>为 两个图(同为无向图或有向图)假设V’⊆ V 且 E’⊆ E ，那么称G‘是G的子图，G为G‘的母 图，记作G’⊆G，
又假设V‘⊂V 或 E’ ⊂ E，那么称G‘为G的 真子图
假设V’＝V〔且E’⊆ E〕，那么称G‘为G 2、设的G生＝<成V，子E图>为(图全，部V顶1⊂点V 且) V1≠ ø ，称以V1为顶点集，
度与入度分配： 入度列 1 1 0
度数分配 2 2 0 按出 度与入度分配：
出度列 0 1 1
入度列 1 1 0
入度列 0 2 0 出度列 1 0 1
入度列 1 0 1 出度列 0 2 0
出度列 1 1 0
这只是对较为简单的情 况给出的非同构图，对 于一般的情况〔n,m)图 到目前为止还没有解决
三、特殊图－完全图与正那么图
那么 ∑d+(vi) = ∑d-(vi) = m． 且∑d(vi)＝2m 3) 推论 任何图(无向的或有向的)中，奇度顶点的个数是偶数个
4) 结点的度数序列
(1) 设G＝<V，E>为一个n阶无向图，V＝{v1，v2，…，vn}
称d(v1)，d(v2)，… ，d(vn) 为G的度数列
注：由推论可知，不是任何一个非负整数序列均可作为一个图的 度数列。
3〕定义： (G) = max{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最大的度 δ(G) = min{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最小的度 简记为 、δ
定义： －(D) = max{d－(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的入度 ＋(D) = max{d＋(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的出度
条件：奇度数的结点个数应该是偶数个
〔2〕序列的可图化：对一个整数序列d=(d1,d2,…dn),假设存 在以n个顶点的n阶无向图G，有d(vi)=di ，称该序列是可图化 的。
特别的，如果得到的是简单图，称该序列是可简单图化的。
〔3〕定理 设非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)，那么d是可图 化的当且仅当
6〕邻接： 边的相邻：ek，el∈E．假设ek与el至少有一个公共端点， 那么称ek与el是相邻的 顶点的相邻：假设∃et∈E，使得et = <vi，vj>， 那么称vi为et的始点，vj为et的终点， 并称vi邻接到vj，vj邻接于vi 两个结点为一条边的端点，那么称两个结点互为邻接点， 也称边关联于这两个结点，或称两个结点邻接于此边。
2)完全图的性质：
2
n阶无向完全图G的边数与结点的关系 m = n (n1)/2
n阶有向完全图G的边数与结点的关系 m = n (n-1)
3)正那么图 定义 设G为n阶无向简单图，假设∀ v∈V(G)，均有d(v)＝k
那么称G为 k-正那么图 k-正那么图的边数与结点个数的关系 ： m = k n /2 如：3-正那么图
结点数一样边数一样 结点的度一样 但是两个图 不同构
注： 1) 两个图同构的必要条件 阶数一样〔顶点〕 边数一样 度数一样的顶点数一样
同构的必要条件，并不是充分条件 2)图之间的同构关系可看成全体图集合上的二元
关系。 具有自反性，对称性和பைடு நூலகம்递性，是等价关系。 同构的图为一个等价类，在同构的意义之下都
例：无向图G = < V，E > 其中 顶点集合 V＝｛v1,v2,v3,v4 ｝
边集合 E＝｛(v1,v2),(v2,v3),(v3,v2), (v3,v1),(v2,v2),(v2,v2),(v1,v2),｝
园括号表示无向边 有平行边
2〕 定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中 (1) V ≠ ø 称为顶点集，其元素称为顶点或结点． (2)E为边集，它是笛卡儿积 VⅹV的有穷多重子集，其元素称为 有向边，简称边(弧)．
1)完全图
定义 设G为n阶无向简单图，假设G中每个顶点均与其 余的n—1个顶点相邻，那么称G为n阶无向完全图， 简称n阶完全图，记作Kn(n≥1)．
设D为n阶有向简单图，假设D中每个顶点都邻接 到其余的n—1个顶点，又邻接于其余的 n—1个顶点 ，那么称D是 n 阶有向完全图．
可画图表示〔无向图5阶、有向图3阶和4阶〕
∑di 是偶数(序列之和必须是偶数)
〔4〕由于简单图中没有平行边及环
定理：设G为任意n阶无向简单图，那么 (G)<= n-1。
每个结点至多与其他n-1个结点相邻
例：给定5个序列哪些是可图化的？哪些是可简单图化的？
d1=〔5,5,4,4,2,1〕
二、图的同构 定义：设G1＝<Vl，E1>，G2=<V2，E2>为两
7〕平行边： 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，那么称这些 边为平行边，平行边的条数称为重数． 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且它们的 方向一样，那么称这些边为平行边．
8〕多重图和简单图：含平行边的图称为多重图 既不含平行边也不含环的图称为简单图．〔主要讨论简单图〕
4、结点的度
图论
图的根本概念
七座桥所有的走法一共有7！=5040种。 1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交 了?哥尼斯堡七桥?的论文，圆满解决了这一问题，同 时开创了数学新分支---图论。
图论
在许多应用领域中：地图导航、网络技术 研究及程序流程分析都会遇到由“结点〞 和“边〞组成的图
在计算机许多学科中如：数据构造、操作 系统、网络理论、信息的组织与检索均离 不开由这种“结点〞和“边〞组成的图以 及图的特殊形式--树。
1) 定义4 设G＝<V，E>为无向图，∀ v ∈V，称 v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称为 度，记作dG(v)，
简记为d(v)，即为：结点v 所关联的边的总 条数
关于有向图D＝<V，E> 有：
∀v∈V，称v作为边的始点的次数之和为v的出度 ，记作d+(v)，
称v作为边的终点的次数之和为v的入度 ，记作d-(v)
可以看成是一个图。
例 (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图．
结点个数与边数一样，只需找出顶点度数序列不同的图〔2
如何将度数6分配给4个结点：
1113
相应的图
2211
2220
例 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图
结点个数与边数一样，只需找出顶点度〔出度及入度〕数序列不
度结数点分总配度1 数2 ：1 2按＊出2＝4
有向图D=<V,E> 其中 V＝｛v1,v2,v3 ｝ 边集合E＝｛<v1,v2>,<v2,v1>, <v2,v1>,<v2,v3>,<v3,v3>
<v3,v3>｝
〔与前面的关系的图表示相当〕
3、有关图的术语 1〕用G表示无向图，D表示有向图。
有时用V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集。 2〕用|V(G)|，|E(G)|分别表示G的顶点数和边数
以G中两个端点都在V1中的边组成边集E1的图为G的V1导出 的子图，记作G[V1]． 可画图表示 G 及 G［V1］〔P279图14.5〕结点导出的子图 又设E1 ⊂ E且 E1 ≠ ø，称以 E1为边集，以E1中边关联的顶 点为顶点集V1的图为G的E1导出的子图，记作G[E1]．
图与树是建立和处理离散对象及其关系重 要工具。如地图导航、周游问题、图像分 割等等。
一、图的概念
1、无序积定义：设A，B为任意的两个集合， 称 ｛ ｛a，b｝ ┃ a∈A∧b∈B ｝为A与B的无序积，记作A & B 其元素｛a，b｝ 可简记为〔a，b〕
2、图的定义 1〕定义1 一个无向图是一个有序的二元组 < V，E >，记作G，其中 (1) V ≠ ø 称为顶点集，其元素称为顶点或结点． (2) E称为边集，它是无序积V＆V的多重子集，其元素称为无向边， 简称为边．
δ-(D) = min{d－(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的入度 δ＋(D) = min{d＋(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的出度
5、握手定理〔欧拉〕 1)定理1 设G＝<V,E>为任意无向图,V＝{v1，v2，…，vn},｜E｜ = m，
那么 ∑d(vi) ＝ 2m (所有结点的度数值和为边数的2倍) 证: G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时 ，每条边均提供2度，当然，m条边共提供2m度 2) 定理2 设D＝<V,E>为任意有向图,V＝{v1，v2，…，vn},|E| = m ，
个无向图(有向图)， 假设存在双射函数 f：V1 → V2
对于 ∀vi，vj V1，(vi，vj) E1 当且仅当 (f(vi),f(vj)) E2 并且(vi，vj) 与(f(vi),f(vj)) 的重数一样，那么称G1与G2是同构的，记作 Gl ≅ G2。 对有向图有一样的定义。
定义说明了:两个图的各结点之间，如果存在着一 一对应关系 f
四、子图、生成子图、导出子图
1、定义 设G＝<V，E>，G‘＝<V’，E’>为 两个图(同为无向图或有向图)假设V’⊆ V 且 E’⊆ E ，那么称G‘是G的子图，G为G‘的母 图，记作G’⊆G，
又假设V‘⊂V 或 E’ ⊂ E，那么称G‘为G的 真子图
假设V’＝V〔且E’⊆ E〕，那么称G‘为G 2、设的G生＝<成V，子E图>为(图全，部V顶1⊂点V 且) V1≠ ø ，称以V1为顶点集，
度与入度分配： 入度列 1 1 0
度数分配 2 2 0 按出 度与入度分配：
出度列 0 1 1
入度列 1 1 0
入度列 0 2 0 出度列 1 0 1
入度列 1 0 1 出度列 0 2 0
出度列 1 1 0
这只是对较为简单的情 况给出的非同构图，对 于一般的情况〔n,m)图 到目前为止还没有解决
三、特殊图－完全图与正那么图
那么 ∑d+(vi) = ∑d-(vi) = m． 且∑d(vi)＝2m 3) 推论 任何图(无向的或有向的)中，奇度顶点的个数是偶数个
4) 结点的度数序列
(1) 设G＝<V，E>为一个n阶无向图，V＝{v1，v2，…，vn}
称d(v1)，d(v2)，… ，d(vn) 为G的度数列
注：由推论可知，不是任何一个非负整数序列均可作为一个图的 度数列。
3〕定义： (G) = max{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最大的度 δ(G) = min{d(v)|v∈V(G)} 为图G中结点最小的度 简记为 、δ
定义： －(D) = max{d－(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的入度 ＋(D) = max{d＋(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最大的出度
条件：奇度数的结点个数应该是偶数个
〔2〕序列的可图化：对一个整数序列d=(d1,d2,…dn),假设存 在以n个顶点的n阶无向图G，有d(vi)=di ，称该序列是可图化 的。
特别的，如果得到的是简单图，称该序列是可简单图化的。
〔3〕定理 设非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)，那么d是可图 化的当且仅当
6〕邻接： 边的相邻：ek，el∈E．假设ek与el至少有一个公共端点， 那么称ek与el是相邻的 顶点的相邻：假设∃et∈E，使得et = <vi，vj>， 那么称vi为et的始点，vj为et的终点， 并称vi邻接到vj，vj邻接于vi 两个结点为一条边的端点，那么称两个结点互为邻接点， 也称边关联于这两个结点，或称两个结点邻接于此边。
2)完全图的性质：
2
n阶无向完全图G的边数与结点的关系 m = n (n1)/2
n阶有向完全图G的边数与结点的关系 m = n (n-1)
3)正那么图 定义 设G为n阶无向简单图，假设∀ v∈V(G)，均有d(v)＝k
那么称G为 k-正那么图 k-正那么图的边数与结点个数的关系 ： m = k n /2 如：3-正那么图
结点数一样边数一样 结点的度一样 但是两个图 不同构
注： 1) 两个图同构的必要条件 阶数一样〔顶点〕 边数一样 度数一样的顶点数一样
同构的必要条件，并不是充分条件 2)图之间的同构关系可看成全体图集合上的二元
关系。 具有自反性，对称性和பைடு நூலகம்递性，是等价关系。 同构的图为一个等价类，在同构的意义之下都
例：无向图G = < V，E > 其中 顶点集合 V＝｛v1,v2,v3,v4 ｝
边集合 E＝｛(v1,v2),(v2,v3),(v3,v2), (v3,v1),(v2,v2),(v2,v2),(v1,v2),｝
园括号表示无向边 有平行边
2〕 定义2 一个有向图是一个有序的二元组<V，E>，记作D，其中 (1) V ≠ ø 称为顶点集，其元素称为顶点或结点． (2)E为边集，它是笛卡儿积 VⅹV的有穷多重子集，其元素称为 有向边，简称边(弧)．
1)完全图
定义 设G为n阶无向简单图，假设G中每个顶点均与其 余的n—1个顶点相邻，那么称G为n阶无向完全图， 简称n阶完全图，记作Kn(n≥1)．
设D为n阶有向简单图，假设D中每个顶点都邻接 到其余的n—1个顶点，又邻接于其余的 n—1个顶点 ，那么称D是 n 阶有向完全图．
可画图表示〔无向图5阶、有向图3阶和4阶〕
∑di 是偶数(序列之和必须是偶数)
〔4〕由于简单图中没有平行边及环
定理：设G为任意n阶无向简单图，那么 (G)<= n-1。
每个结点至多与其他n-1个结点相邻
例：给定5个序列哪些是可图化的？哪些是可简单图化的？
d1=〔5,5,4,4,2,1〕
二、图的同构 定义：设G1＝<Vl，E1>，G2=<V2，E2>为两
7〕平行边： 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条，那么称这些 边为平行边，平行边的条数称为重数． 在有向图中，关联一对顶点的有向边如果多于1条，并且它们的 方向一样，那么称这些边为平行边．
8〕多重图和简单图：含平行边的图称为多重图 既不含平行边也不含环的图称为简单图．〔主要讨论简单图〕
4、结点的度
图论
图的根本概念
七座桥所有的走法一共有7！=5040种。 1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交 了?哥尼斯堡七桥?的论文，圆满解决了这一问题，同 时开创了数学新分支---图论。
图论
在许多应用领域中：地图导航、网络技术 研究及程序流程分析都会遇到由“结点〞 和“边〞组成的图
在计算机许多学科中如：数据构造、操作 系统、网络理论、信息的组织与检索均离 不开由这种“结点〞和“边〞组成的图以 及图的特殊形式--树。
1) 定义4 设G＝<V，E>为无向图，∀ v ∈V，称 v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称为 度，记作dG(v)，
简记为d(v)，即为：结点v 所关联的边的总 条数
关于有向图D＝<V，E> 有：
∀v∈V，称v作为边的始点的次数之和为v的出度 ，记作d+(v)，
称v作为边的终点的次数之和为v的入度 ，记作d-(v)
可以看成是一个图。
例 (1)画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图．
结点个数与边数一样，只需找出顶点度数序列不同的图〔2
如何将度数6分配给4个结点：
1113
相应的图
2211
2220
例 (2)画出3阶2条边的所有非同构的有向简单图
结点个数与边数一样，只需找出顶点度〔出度及入度〕数序列不
度结数点分总配度1 数2 ：1 2按＊出2＝4
有向图D=<V,E> 其中 V＝｛v1,v2,v3 ｝ 边集合E＝｛<v1,v2>,<v2,v1>, <v2,v1>,<v2,v3>,<v3,v3>
<v3,v3>｝
〔与前面的关系的图表示相当〕
3、有关图的术语 1〕用G表示无向图，D表示有向图。
有时用V(G)，E(G)分别表示G的顶点集和边集。 2〕用|V(G)|，|E(G)|分别表示G的顶点数和边数
以G中两个端点都在V1中的边组成边集E1的图为G的V1导出 的子图，记作G[V1]． 可画图表示 G 及 G［V1］〔P279图14.5〕结点导出的子图 又设E1 ⊂ E且 E1 ≠ ø，称以 E1为边集，以E1中边关联的顶 点为顶点集V1的图为G的E1导出的子图，记作G[E1]．
图与树是建立和处理离散对象及其关系重 要工具。如地图导航、周游问题、图像分 割等等。
一、图的概念
1、无序积定义：设A，B为任意的两个集合， 称 ｛ ｛a，b｝ ┃ a∈A∧b∈B ｝为A与B的无序积，记作A & B 其元素｛a，b｝ 可简记为〔a，b〕
2、图的定义 1〕定义1 一个无向图是一个有序的二元组 < V，E >，记作G，其中 (1) V ≠ ø 称为顶点集，其元素称为顶点或结点． (2) E称为边集，它是无序积V＆V的多重子集，其元素称为无向边， 简称为边．