数列通项公式的求法

a n 1 n 2 an n 1
再用累乘法 也可以
练习
1. ( 福建 )数列an 的前 n项和 Sn , a1 1, 2 Sn an 1 ( n N )， 求数列 an 的通项公式
略解： 2Sn1 an2 , 两式相减整理得
an2 a2 1(n 1) 3而 2 3，故a n n2 a n1 a1 2 3 (n 2)
分析：当n 2时，an S n S n1
1 1 1 S n S n1 S S n 1 n
(n 1) 1 a1 1 不合上式，故 an (n N ) 1 (n 1) S1 可用an 处理 n(n 1) (n 2） S S ( n 2 ) n 1 n
类型二：类等差（比）数列,即an1 an f (n)
且a1 , a 2 , a3成公比不为1的等比数列
(1)求 c 的值； (2)求数列a n 的通项公式。
2 分析：由 a1, a2 , a3成公比不为 1的等比数列得 a2 a1 a3
即(2 c)2 2 (2 3c) c 2, 故有an1 an 2n
n ∵a >0 ， ∴ a ana an. ＋1＋an≠0，∴有 n ＋1＝ n n ∵an>0，∴an 1＋an≠0，∴有 an 1＝ n. n＋1 n＋1 aa a a2 a2 n n 1－1 n a n ∵ a × ×…× ×a1，×a ， n＝ ∵an＝ an 1 × a1 an 2 ×…× 1 a1 an－1 an－2
＋ ＋ － － －
得(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0.
an1 n an 中，a1 1且满足 例 2： 已知数列 ，则数 an n2 2 列an 的通项公式为 a n n(n 1) an1 an 1 2 3 4 n a2 a3 a4 n－1 分析 : 得 an n 2 a1 a2 a3 an1 3 4 5 6 n 1 an 1 2 2 a1 1 an a1 n(n 1) n(n 1) 累乘 方法二:
bn 是各项都为正数的等比 2.(全国)设an 是等差数列，
数列，且 a1 b1 1, a3 b5 21 , a5 b3 13 ，求数列
an 1 (n 1)d 2n 1
an 与bn 的通项公式。
bn b1q
n 1
2
n 1
an 1 与 g ( n) 方法：累加(乘) an an 中，a1 2，an1 an cn(c是常数，n 1,2,3)， 例：数列
故an 是首项为 2，公差为 3的等差数列，S n1 S n 故an 的通项为an 2 3(n 1) 3n 1
an1
可找出an1与an的关系
an 相邻两项的关系式，再考虑求an 方法；若不是S n
得出S n 相邻两项的关系式，求出S n，进而求出a n 例：数列 an 的前 n项和 S n , a1 1, 且an S n S n 1 (n 2, n N )，
2 由(n＋1)a2 － na ＋ n 1 n＋an＋1an＝0， 2 2 n＋ 1)a (＋ na ＋a1 an ＝ 0－ ， nan]＝0. an a nn ＋ n n) 1－ n) 1a 得(由 ＋1 [( 1＋ n
＋ ＋
1 ∴an＝ n · …2· 1＝n，∴an＝n. n－1
n－1 n－2 1 1 1 ∴an＝ … · 1＝ ，∴an＝n. n－ n － n 1· 1 n － 1 22 1 n
4 (n 1) 故a n n (n N ) 2 (n 2)
若 a1不符合，则可用分段的形式表示。
类型四：知 S n与an 及n 的关系式，求通项 an
方法：可考虑用n 1或n 1(n 2)代替n，得另一式子，与
原关系 式两式相减，得出相邻两项的关系式再分析求解。
一、若数列有形如an＋1＝an＋f(n)的解析式，而f(1)＋f(2) ＋…＋f(n)的和是可求的，则可用多式累(迭)加法求得an. (2011年厦门质检)已知数列{an}中，a1＝20，an＋1 ＝an＋2n－1，n∈N*，则数列{an}的通项公式an＝______. 解析：由条件an＋1＝an＋2n－1，n∈N*， 即an＋1－an＝2n－1，得a2－a1＝1，a3－a2＝3， a4－a3＝5，…， an－1－an－2＝2n－5，an－an－1＝2n－3， 以上n－1个式子相加并化简，得
（有时用an Sn Sn1 (n 2)消an得Sn与Sn1的关系式，先求出Sn，再求an）
例： (重庆 )各项均正数的数列 an 的前 n项和 Sn 满足 S1 1 且6Sn ( an 1)( an 2), n N *，求an 的通项公式
2 分析：由题意得 6S n an 3an 2 ① 当n 1时， 6a1 6S1 a12 3a1 2
等差数列与差比数列的通项公式
等差数列 {an }的通项公式：
an a1 (n 1)d (n N )
推广：an am (n m)d (n, m N )


等比数列{an }的通项公式：
推广：a n a m q
a n a1 q
n 1
nm
(n N )

(n, m N )
1 1 1 故知 是首项为 1，公差为1的等差数列 S1 a1 Sn 1 1 1 易得 n S n 当n 2时，an S n Sn1 Sn n n(n 1)
an 的前n项和Sn满足2Sn n 2an 1, 例 :已知数列
求数列an 的通项公式
分析：由 2S n n 2an 1易知a1 1且有2S n1 Sn an1，两式相减整理得 (n 1)an1 (n 2)an
a n 1 an an 可化为 ，故 是常数数列， n 2 n 1 n 1 an a n 1 则 1 ，故a n n 1 2 2
当n＝1时，a1适合上式，故an＝2n－1.
二、若数列有形如an＝f(n)· an－1的解析关系，而 f(1)· f(2)…f(n)的积是可求的，则可用多式累(迭)乘法求得an. 2 2 n ＋ 1 ( ) a ＋1 n 设{an}的首项为1的正项数列，且 －na＋ n an＋1an＝0，求它的通项公式． 解析：由题意a1＝1 , an>0，(n＝1,2,3，…)，
类型五：待定系数法求数列的通项：
(一)若数列相邻两项 an1与an满足an1 qan d (q, d为常数)
x ,再进一步求通项 an an 的前n项和为S n 满足S n an 2n 1(n N )， 例：数列
an＝a1＋(n－1)2＝n2－2n＋21.
答案：n2－2n＋21
变式探究 1．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n，求an. 解析：当n≥2时，
a2－a1＝2，a3－a2＝22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝2n－1.
将这n－1个式子累加起来可得 an－a1＝2＋22＋…＋2n－1， ∴an＝a1＋2＋22＋…＋2n－1＝1＋2＋22＋…＋2n－1 ＝2n－1.
而当 n 1时，a1 S1 1合上式
故a n 6n 5(n N )

练习
an 的前n 项和Sn满足 log2 Sn n 1，则an 的通项 1.已知数列
公式为
略解 :由log2 S n n 1 S n 2 n1 当n 2时，a n S n S n1 2 n1 2 n 2 n ，a1 S1 4不合上式
求数列 an 的通项公式
S n 相邻两项关系式 n 2时, an S n S nS 消 a 得 S n an an 相邻两项的关系式呢？ 能否与上例一样消去 与 S 1n nn 1化为
若关系式可化S n 一次幂的关系式，则消去S n 可找出
的一次幂的，而是a n的一次幂的，则考虑能否消去a n
a2 a1 2, a3 a2 2 2, a4 a3 2 3,, an an1 2(n 1 ）
上面各式相加得 an a1 2[1 2 3 (n 1)] n(n 1),
故an n2 n 2(n 1,2,3,)

类型一：等差数列与等比数列的通项：
方法：若{an }为等差（比）数列，求出 其中一项am 及 公差 d（公比q） ，然后直接套用 公式
例1：已知 {an }为等比数列，若 a3 a8 124, a4 a7 512 ， 且公比 q为整数，则通项公式 an＝
分析： {an }为等比数列，则 a4 a7 a3 a8 512 ， a3 a8 124
(n 1) S1 方法：可直接应用公式a n 求解 S n S n1 (n 2) 例：已知二次函数y f ( x)的图象经过原点，其导 函数
为f ( x) 6 x 2，数列a n 的前n和为S n，点n, S n (n N )
类型三： 知S n，求an
a n 的通项公式。 均在函数 y f ( x)的图象上，求数列
2 2
略解：依题意易得 f ( x) 3x 2 x，故有S n 3n 2n
故当n 2时，a n S n S n 1 3n 2－2n [3(n 1) 2 －2(n 1)] 6n 5
找an1与an的关系？化为等差 (比)或类等差 (比)
解得a1 1或a1 2又a1 S1 1故a1 2
2 且有6S n1 an 1 3an1 2 ②
由②－①整理得
(an1 an )(an1 an 3) 0又an1 an 0 an1 an 3
a n1 n (n 2)an1 na n （大系数与an1，小系数与an 对应） an n2
(n 1)(n 2)an1 n(n 1)an
则可构造n(n 1)an 是常数数列
2 故有n(n 1)a n 1 2 a1 2， a1 1 a n n(n 1)
练习： 1.(湖南 卷)已知数列 {log 2 ( an 1)}( n N * )为等差数列，
且a1 3, a3 9，求数列 {an }的通项公式。
略解： log 2 (a3 1) log 2 (a1 1) 2d d 1 n a 2 1. log 2 (an 1) 1 (n 1) n, n
2
n 1
故知a3与a8是方程x2 124x 512 0 的两根 128 与 4 ，又q是整数
a8 a3 4 ，a8 128， q 5 32 q 2 an a3 q n3 (2) n1 a3
本题也可以把a3，a 4，a7，a8 全部用 a1与 q表示，得出 a1与 q的方 程组，解出 a1 与 q，然后套公式。 等比 {an } a4 a7 a3 a8 512 ，