八年级数学分解因式 运用公式法北师大版知识精讲

初二数学第二章 分解因式 第3节 运用公式法北师大版知识精讲
例1. 把下列各式分解因式 （1）235y x x -
（2）222224)(b a b a -+ （3）ab b a 2122-+- （4）
222
12
+-x x
解：（1）235y x x -＝))(()(3223y x y x x y x x +-=- （2）222224)(b a b a -+ ＝2222)2()(ab b a -+
＝)2)(2(2222ab b a ab b a -+++ ＝22)()(b a b a -+ （3）ab b a 2122-+- ＝1)2(22-+-b ab a ＝1)(2--b a
＝（a －b+1）（a －b －1） （4）
222
12
+-x x 2
2
)2(2
1)44(2
1-=
+-=
x x x
说明：（1）一个多项式分解因式的一般步骤：
先提取公因式，再运用公式法，而且一定要分解至不能再分解为止。

（2）运用公式法分解因式时，应仔细观察分析多项式的特征，只有在待分解的多项式完全符合公式的形式时，才能运用公式将其分解，所以，正确运用公式法分解因式应遵循如下三步：
①准确理解公式，②正确选择公式，③灵活运用公式。

专题探索研究
专题一、分组分解法
在分解因式时，有时为了创造运用公式的条件，需要将所给多项式先进行分组结合，将之整理成便于使用公式的形式，再进行因式分解。

例1. 将bc ac ab a -+-2
分解因式，。

本题分组方法较多，可一、二项结合，也可一、三项结合。

解法1：原式＝a （a －b ）+c （a －b ）＝（a －b ）（a+c ） 解法2：原式＝a （a+c ）－b （a+c ）＝（a －b ）（a+c ）
例2. 已知x －2y ＝3，求y x y xy x 634422+-+-的值。

分析：可将所求因式分解求值，分解时注意：五项式分组常为三项、两项，且把符合公式的分一组，所以前三项2244y xy x +-为一组，后两项为另一组。

解：y x y xy x 634422+-+- )
32)(2()2(3)2()63()44(2
2
2
---=---=+-++-y x y x y x y x y x y xy x
所以，原式＝3×（3－3）＝０
专题二、用换元法分解因式
在本专题中我们将介绍用换元法和十字相乘法等方法进行分解因式，这些方法建立在一种整体思想和转化思想的基础上。

例3. 分解因式90)242)(32(22+-+-+x x x x 分析：将x x 22+看成一个整体，利用换元法解之。

解：设x x 22+＝y 则 原式＝（y －3）（y －24）+90
＝162272+-y y ＝（y －18）（y －9）
＝)92)(182(2
2
-+-+x x x x
说明：本题中将x x 22
+看作一个整体，简化了解题过程，体现了换元法化简求值的效果，此外162272
+-y y ＝（y －18）（y －9）一步，我们用了十字相乘法进行分解。

专题三、用配方法及拆项法分解因式
通过对已知式配方，将其整理成符合平方差公式或完全平方公式等形式进行因式分解，称之为配方法，通过拆项，进行适当组合，便于提取公因式或配方，进一步分解因式，称之为拆项法。

例4. 分解因式2426923
+++x x x
分析：将2
9x 拆成2
2
72x x +，将26x 拆成14x+12x ，从而可进一步利用分组分解法进
解：2426923+++x x x
)
4)(3)(2()127)(2()2(12)2(7)2()2412()147()2(2
22
2
3
+++=+++=+++++=+++++=x x x x x x x x x x x x x x x x
专题四、用待定系数法分解因式 恒等式的主要性质：
（1）若n n n n n n n n b x b x b x b a x a x a x a ++++≡++++----11101110 ，则
.1100,,,n n b a b a b a ===
（2）若
n n n n n n n b x b x
b x b a x a x
a x a ++++≡++++----11
1011
10 ，
则用x 取值范围内的任一值代x ，其左右两边值均相等。

从恒等式的上述性质出发，利用代数式的特点，构造两个（或若干个）因式的积，展开后比较系数，列出方程组，求出系数，从而确定因式的方法称为待定系数法。

例5. 分解因式：534234+++-x x x x
分析：这是关于x 的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积的形式。

解：设534234+++-x x x x 5
)5()6()()
5)(1(2
3
4
2
2
+++++++=++++=x b a x ab x b a x bx x ax x
利用恒等性质有：
由①、③解得a ＝1，b ＝ －2，代入②式，②式成立。

所以，534234+++-x x x x ＝)52)(1(2
2+-++x x x x
说明：若设原式＝)5)(1(2
2
-+-+bx x ax x ，根据待定系数法解题知关于a 与b 的方程组无解，故设原式＝)5)(1(2
2
++++bx x ax x
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是 A. 12a 2b ＝3a ·4ab B. （x +3）（x －3）＝x 2－9 C. 4x 2+8x －1＝4x （x +2）－1
D.
2
1ax －
2
1ay ＝
2
1a （x －y ）
2. 分解因式－4x 2
y +2xy 2
－xy 的结果是
A. －4（x 2+2xy 2－xy ）
B. －xy （－4x +2y －1）
C. －xy （4x －2y +1）
D. －xy （4x －2y ） 3. 下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是 A. x 2－xy 2
B. －1+y 2
C. 2y 2
+2
D. x 3
－y 3
4. 下列各式能用完全平方公式分解因式的是 A. 4x 2
+1 B. 4x 2
－4x －1 C. x 2+xy +y 2 D. x 2－4x +4
二、填空题
1. 24m 2
n +18n 的公因式是（ ）；
2. 分解因式x （2－x ）+6（x －2）＝（ ）；
3. x 2－
25
4y 2＝（x +
5
2y ）·（ ）；
4. x 2－（ ）+25y 2＝（ ）2；
5. （x 2
+y 2）2
－4x 2y 2
＝（ ）.
三、解答题
1. 把下列各式分解因式
（1）12a 3b 2－9a 2b +3ab ；
（2）a （x +y ）－（a －b ）（x +y ）； （3）121x 2－144y 2；
（4）4（a －b ）2－（x －y ）2；
（5）（x －2）2+10（x －2）+25； （6）a 3（x +y ）2－4a 3c 2. 2. 用简便方法计算 （1）6.42－3.62； （2）21042－1042 （3）1.42×9－2.32×36
【试题答案】
一、1. D 2. C 3.B 4.D
二、1. 6n
2. （2－x ）（x －6）
3. x －
5
2y
4. ±10xy ，x ±5y
5.（x +y ）2
（x －y ）2
三、1. （1）3ab （4 a 2
b －3a +1）；
（2）b （x +y ）；
（3）（11x +12y ）（11x －12y ）； （4）（2a －2b +x －y ）（2a －2b －x +y ）； （5）（x －2+5）2
＝（x +3）2
； （6）a 3
（x +y +2c ）（x +y －2c ） 2. （1）28 （2）4416000 （3）－172.8。