数学运算可视化系统介绍

“数学运算可视化系统”介绍
Mathematica是现在流行数学软件，它的数学运算功能上强大，但还存在有以下的一些问题：（1）软件是英文版的，对英文水平不太高的读者来说，使用起来很不方便；（2）用Mathematica进行数学运算主要依靠英文命令，要记忆相应的命令是相当繁锁的事情；（3）在运用Mathematica的帮助信息全是英文的，且获取不方便；（4）运算结果的表达不够直观。

为了帮助读者解决上述困难，本教材编写组专门研制了“数学运算可视化系统”。

“数学运算可视化系统”是利用MA TLAB软件开发出来的一个系统。

该系统既保证了强大的数据运算和数据分析功能，又设计出了人性化的友好用户界面。

用户在进入系统后，只需要按照界面上的菜单名、按钮名、文本信息就可以使用该系统进行数学运算，不需进行专门的培训学习。

如果还有一定的困难可以通过帮助信息来了解系统的功能与使用方法。

数据输入采用对话框或控件来实现，命令的运行采用中文菜单或命令按钮来实现，不需要记忆命令。

用户在根据界面上的文本框内输入了待处理的数据或表达式后，点击按钮就会显示出运算结果，同时也可以用图形方式直观地表示运算结果。

系统的帮助信息较全面，可从多种途径获得帮助信息，并且帮助信息是用中文或数学符号编写的，用户阅读理解非常容易。

一“数学运算可视系统”的启动
首先安装MA TLA B软件，安装好后将“数学运算可视系统”复制到MA TLA B的安装目录下的“work”文件夹中。

然后运行MA TLA B，在M A T L A B的命令窗口中输入“main”即可进入系统。

进入系统后的界面如图4。

二 系统中的数据输入
（1）运算符的表示法与输入
与Mathematica 一样，本系统仍用＋、－、*、/、^ 分别表示加、减、乘、除和乘方运算。

开方可以用分数指数的形式表示。

如：32等价于)3/1(^2． （2）数学常数
“pi ”表示圆周率π；“inf ”表示无穷大的符号∞ ； “i 或j ”表示虚数单位。

（3） 常用的数学函数
在输入函数时，其自变量一定要用圆括号括起来，如：)x sin(、)2^x *2(sqrt 、
)x *2exp(。

下面是系统提供的函数。

（4） 变量与表达式
在本系统中函数名和变量名的命名规则是一致的，它们都是以字母开头，由字母、数字、下划线构成的字符串，绝不能含有空格和标点符号。

要区分大小写，大写和小写表示不同的变量。

表达式是由常量、变量、运算符、函数构成的式子。

如表达式中有函数，其函数的自变
量一定要括起来，表达式中的运算符绝对不能省略。

如：4x *32^2*2+-，)4/pi sin(*2．
三、 数值运算与符号运算
本系统能进行数值运算和数学表达的符号的运算。

（1）数值运算
数值运算可以求任意一个有确定值的表达式的值，表达式中允许含有常见的数学函数。

在输入表达式时一定要注意运算符号在任何地方都不能省略，使用任何数学函数其自变量部分一定要用圆括号括起来，数学常数要按规定输入。

要进行数值运算，只需在图4的菜单栏中选中第一项“数学式子的运算”的下级菜单项“数值运算”即可进入运算界面。

如要计算
3
tan
2ππ++e ，可在表达式对应的文本框中
输入：)3/pi tan()2exp()pi (sqrt ++ ，然后单击“显示”按钮，即可得到运算结果。

如果要指定运算结果的精度，可单击“按指精度显示结果”按钮，再在弹出的对话框中给出有效数字的位数，即可得到结果（如图5）。

（2）符号运算
符号运算就是数学式子的运算，本系统能实现将一个数学表达式进行化简、合并、展开、通分和因式分解。

本系统也能实现函数的四则运算（和、差、积、商）、幂运算、复合运算和求反函数的运算。

要进行数学表达式的运算，只需要在图4的菜单栏中选中第一项“数学式子的运算”的下级菜单项“数学表达式运算”即可进入运算界面。

在待处理的表达式，如要对)(2
2
y x x -进行处理，可在界面中的文本框内输入“)2^y 2^x (*x -”，再单击相应的按钮就可得到其结果。

（如图6）
要进行函数运算则选下级菜单“函数运算”即可进入运算界面（如图7）。

在界面中的相应文本框内分别输入两个待处理的函数的表达，再单击相应的运算按钮就可以在“运算结果”框内显示出来。

四、利用“数学运算可视化系统”求函数极限
进入到图4的界面，在菜单上选择：微积分运算→极限运算→初等函数的极限。

这样
就进入到求极限的界面。

如求
x x
x sin
lim
0→，可在函数框内输入“x/)x
sin(
y=”，在自变量趋
近值内输入“0”，当函数表达式中有自变量以外的字母常时，需要输入自变量名，如要画出函数的图象，则要输入自变量的取值区间。

输入完成后显示出函数的左、右极限和极限值，
单击按钮“画曲线”就可显示出指定区间内的函数图象，并在曲线上标出极限值对应点的位置。

如图8。

该系统也可以求分段函数的极限。

进入方法是：微积分运算→极限运算→分段函数的极限，也可在图8的界面上的“选择函数类型”的下拉菜单中选定“分段函数”。

进入求分段函数的界面后，可根据界面上的信息输入函数表达式、自变量的趋近值等。

操作与图8的界面类似。

五、利用“数学运算可视化系统”求函数的导数
本系统能求一元初等函数的导数、分段函数的导数、隐函数的导数及参数方程确定的函数的导数。

下面以求分段函数的导数来说明说明求导数的方法。

在图4的界面的菜单上选择：微积分运算→导数运算→一元初等函数的导数。

例如求x
x
y sin =
的二阶导数。

在界面上的函数框内输入“x /)x sin(y =”，在自变量 的取值区间框内输入“]pi *2,pi *2[-”，在自变量的取值框内输入一个值“pi ”，在导数的阶数框内输入“2”，当函数表达式中有自变量以外的字母常时，需要输入自变量名。

输入完成后单击按钮“求导数”，则显示出函数的导函数的表达式、指定点处的。

单击按钮“画曲线”就可显示出函数与导函数的图象，并在曲线上标出函数值与导数值对应的点（如图9）。

如求分段函数的导数，则可在图4的界面的菜单上选择：微积分运算→导数运算→分段函数的导数。

例如求⎩
⎨⎧<<≤<-=π
πx x
x x
y 0cos 0sin 。

在界面上的函数框内输入“)x cos(,)x sin(y =”
，在
自变量的取值区间框内输入“]0,pi (-；)pi ,0(”，在自变量的取值框内输入一个值“3/pi ”，当函数表达式中有自变量以外的字母常时，需要输入自变量名。

输入完成后单击按钮“求导数”，则显示出函数的导函数的表达式、指定点处的。

单击按钮“画曲线”就可显示出函数与导函数的图象，并在曲线上标出函数值与导数值对应的点（如图10）。

求隐函数、参数方程确定的函数的导数的进入方法与操作方法与前面类似，如还不清楚可以用鼠标指向输入框，这时会显示输入方法。

六、利用“数学运算可视化系统”求函数的极值
本系统能求函数的极大值和极小值，也可求函数的给定区间上的最大、最小值。

在图4的主界面的菜单上选择：最优化问题→函数的极值→一元函数的极值与最值。

例如求718622
3
+--=x x x y 的极值及在区间]5,2[-上的最值。

在界面上的函数表达式框内输入“7x *182^x *63^x *2y +--=”，在自变量名框内输入“x ”，在自变量的取值范围框内输入“]5,2[-”，此范围只用来求函数的最值，求极值与此无关。

输入完成后单击按钮“求极值”，则显示出函数取得的极小、极大值情况（如图13）。

如单击按钮“求最值”时，则显示出函数在指定区间上的最小、最大值的情况。

当单击按钮“画函数图象”时，则在新的窗口中显示函数在指定区间上的图象，并标明极值点位置（如图14）。

七、利用“数学运算可视化系统” 绘制函数图形
在图4的主界面的菜单上选择：函数作图→绘制平面曲线，然后根据所绘图形选择相应的函数。

本系统能绘制一元初等函数、分段函数、参数方程、二元方程、极坐标方程的图形。

在进入绘图界面后，用户只需在函数框内输入表达式，再对曲线作一些修饰性设置，然后单击“画曲线”按钮就可绘制出函数的图像。

对平面曲线的设置有：曲线的类型、曲线的粗细、曲线的颜色、数据点的图案。

曲线的类型有：实线、虚线、点线和点划线。

曲线的各种设置都是非常容易，只需用户在下拉列表框中进行选择即可。

绘制曲线还可以对坐标系进行设置，包括坐标系的类型、坐标网格、图例等。

下面以绘制一元初等函数的图形为例来说明其方法。

例如绘制2
1x
x
y +=
在]4,4[-上的图形。

在界面上的函数框内输入“)2^x 1/(x y +=”，在自变量的取值范围内输入“]4,4[-”，在自变量名的框内输入“x ”，若要求函数在某点处的函数值，则在自变量的取值框内输入一个值，如“0”。

输入完成后，可选择曲线的颜色、曲线的粗细、画曲线用的图案、曲线的虚实，另外还可对坐标系进行一些设置。

输入和设置完成后单击按钮“画曲线”，就可动态地画出函数的图形，并在曲线上标出函数值对应的点(如图23)。

绘制分段函数、二元方程、参数方程、极坐标方程的进入方法、输入操作方法、对曲线的设置等与一元初等函数类似。

具体操作可以将鼠标指向输入框，这时会显示输入方法。

还可以通过帮助菜单来寻求帮助。

八、利用“数学运算可视化系统”求积分
本系统能求一元初等函数的导数、分段函数的导数的不定积分和定积分。

在图4的界面的菜单上选择：微积分运算→积分运算→一元初等函数的积分，即可进入操作界面（如图24）。

例如求x e
y x
2sin -=的积分。

在图24的界面上的函数框内输入
“)x *2sin(*)x exp(y -=”
在积分变量名框内输入“x ”，在积分区间内输入“]2/pi ,0[”。

为了画函数图像，需要输入自变量的取值区间，在此框内输入“]2,0[”。

输入完成后单击按钮“求积分”，则显示出函数的的不定积分：C )x *2sin(*)x exp(*5/1)x *2cos()x exp(*5/2+----，同时也显示出函数在指定积分区间上的定积分：)2/1()^pi exp(/))2/1()^pi exp(1(*5/2+，定积分化为数值后是：48315.0．单击按钮“画图象”就可显示出被积函数与一条积分曲线的图象，同时显示出定积分对应的曲边梯形。

如图24
算→分段函数的积分，即可进入操作界面，如图25。

例如求⎩⎨⎧<<≤<-=3
11122x x x e y x
的积分。

在图25的界面上的分段函数框内输入“2^x ,)x *2exp(y =”，在自变量的取值区间框内输入“)1,1(-；)3,1(”， 在积分变量名框内输入“x ”，在积分区间内输入“]2,0[”。

输入完成后单击按钮“求积分”，则显示出函数的的不定积分：3^x *3/1,)x *2exp(*2/1，同时也显示出函数在指定积分区间上的定积分：5279.5。

单击按钮“画图象”就可显示出被积函数与一条积分曲线的图象，同时显示出定积分对应的曲边梯形（如图25）。

九、求解代数方程（组） 、 微分方程（组）
本系统能求解的代数方程包括方程和方程组，既可以求解线性方程，也可以求解非线性方程。

在求解的算法上采用的是能求解析解就求出解析解，若不能求出解析解就求其数值解。

另外对于线性方程组能求出其基础解系及其通解。

对于能求解析解的方程允许方程（组）中含有字母常数。

本系统能求解的微分方程包括方程和方程组，既可以求解一阶微分方程，也可以求解高阶微分方程。

主界面上的菜单选项有：一阶微分方程、一阶微分方程组、高阶微分方程、高阶微分方程组，共四个选项。

对于微分方程、一阶微分方程组、简单的高阶微分方程组的求解算法采用的是先求解析解，若求不出解析解或求解过于复杂就改为求数值解。

对于较复杂的高阶微分方程组则采用直接求数值解的算法来进行。

如果没有给出微分方程的初始条件就只求其方程（组）的通解，如果给了初始条件就既求出通解又求出特解，并将特解的图像描绘出来。

对于高阶微分方程组求数值解时就必须给出初始条件。

对于能求解析解的方程允许方程（组）中含有字母常数。

求解代数方程与微分方程的操作方法基本上相同， 是先通过解方程（组）界面上的菜单选择所求解的方程的类型，在出现的新界面的相应地方输入将要求解的方程或方程组，然后单击“解方程”按钮，这样方程（组）的解就会显示到界面上，如果方程很复将要等待一会儿。

在求解方程的界面上的各需要输入内容的框上，当鼠标指向它时都有一些提示或帮助信息。

在界面上的有些地方单击鼠标右键将会弹出一个菜单，用户可以选择其中的选项进行操作。

十、优化运算
最优化问题的求解是工程运算中最常见的问题，本系统能进行最优化问题的求解。

包括'求函数的极值，函数在一个区间上的最值，求解各种线性规划问题和某些非线性规划问题。

求函数的极值，可选择界面上的求函数极值的菜单项进行入求函数极值的界面，在求极值的界面上，只需要用户在文本框中输入函数的表达式，然后单击“求极值”按钮就会在界面上显示出函数的极值点和极值，若在界面上输入了函数的自变量的取值范围，单击“求最值”, 按钮就会求出函数的最大值点、最大值、最小值点、最小值。

另外可以画出函数的图像，在图像上表示出函数的极值点。

规划问题是最优化问题的基础和核心问题，能解决大量的实际问题，在工程技术方面、经济管理方面大量用到。

本系统能求解线性规划问题，二次规划问题以及其它一些非线性规划的问题。

对于规划要求用户输入的内容有：目标函数的向量f、等式约束的系数矩阵及常数向量、不等式约束的系数矩阵及常数向量、变量的上界与下界向量。

在输入完成单击“求解”按钮就会得到自变量的最优解向量以及目标函数的最优值。

十一级数的运算
级数的运算是工程技术领域最常用到的运算问题，本系统能进行级数的运算，能判别级数的敛散性，求出级数的和，可以将一个函数展开为一个幂级数，也能将一个函展数开为傅里叶级数。

求级数的和，可选择界面上的“级数求和运算”菜单项进行入级数求和的的界面，在级数求和的界面上，需要用户在文本框中输入级数的通项、级数通项中的变量、级数求和的起止项数。

若为无穷多项，其终止项应输为无穷大(inf) ，输入完成后，单击“求级数的和”按钮就会在界面上显示出级数的和，若级数是发散的，也会做出判断并显示出来。

将函数展开为级数，包括展开为幂级数和展开为傅里叶级数，要进行该运算可先进入级数展开的界面，在该界面上，用户需要先选择展开的级数的类型，然后输入被展开的函数，再输入展开后保留的项数。

在输入完成单击“展开为级数”按钮就会得到展开后的答案。

如果单击“绘图”按钮就会得到原函数与展开后的函数的和函数的图像，从中可以发现两者的差别。

十二数据的分析与处理
数据的分析与处理是一门科学，它通过收集、分析、解释和表达数据来探求事物中所蕴含的规律。

在经济管理、科学研究、工程技术等方面都要进行大量的分析处理。

本系统能对数据进行多方面的分析和处理，能对数据进行各种描述性的统计计算、对数据进行各种假设检验、能根据样本观测值对总体进行各种参数估计、对数据进行回归分析、对数据进行拟合与插值的分析、绘制数据的统计图。