广东省广州市天河中学高考数学一轮复习立体几何中向量方法(证明平行和垂直)01课件

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第四页,共18页。
[难点正本 疑点清源] 1.直线的方向向量实质上是与直线平行的非零向量,它有无数
多个,平面的法向量也有无数个. 2.利用空间向量解决立体几何中的平行问题
(1)证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是 共线向量,但要注意说明这两条直线不共线. (2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直,但要说明直线 不在平面内. ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线, 也要说明直线不在平面内. ③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的 两个不共线向量是共面向量.同时要注意强调直线不在平面内.
建立如图所示的空间直角坐标系 A—xyz, 则 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、 P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0). ∴P→B=(2,0,-2),F→E=(0,-1,0), F→G=(1,1,-1),
第九页,共18页。
设P→B=sF→E+tF→G,
第七页,共18页。
又∵MN⊄平面 A1BD,A1D⊂平面 A1BD, ∴MN∥平面 A1BD.
用向量证明线面平行的方法: (1)证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直; (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行; (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线 性表示; (4)本题易错点为:只证明 MN∥A1D,而忽视 MN⊄平面 A1BD.
即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1),
t=2, ∴t-s=0,
-t=-2,
解得 s=t=2.
∴P→B=2F→E+2F→G, 又∵F→E与F→G不共线,∴P→B、F→E与F→G共面.
∵PB⊄平面 EFG,∴PB∥平面 EFG.
第十页,共18页。
利用空间向量证明垂直(chuízhí)问题 例 2 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,
第二页,共18页。
要点梳理
忆一忆知识要点
2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1∥l2(或 l1 与 l2 重合)⇔ v1∥v2 . (2)设直线 l 的方向向量为 v,与平面 α 共面的两个不共线向 量 v1 和 v2,则 l∥α 或 l⊂α⇔ 存在两个实数 x,y,使 v= xv1+yv2 . (3)设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l∥α 或 l⊂α⇔ v⊥u . (4)设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1,u2,则 α∥β⇔ u1 ∥u2 .
第五页,共18页。
利用空间向量证明平行(píngxíng)问 题
例 1 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点.求证:MN ∥平面 A1BD. 证明 方法一 如图所示,以 D 为原点,DA、 DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为 1,
因为在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,平面 ABC⊥ 平面 BCC1B1, 所以 AO⊥平面 BCC1B1.
第十七页,共18页。
取 B1C1 的中点 O1,以 O 为原点,以O→B,O→O1,O→A为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,
则 M0,1,12,N12,1,1,D(0,0,0), A1(1,0,1),B(1,1,0), 于是M→N=12,0,12,
第六页,共18页。
设平面 A1BD 的法向量是 n=(x,y,z). 则 n·D→A1=0,且 n·D→B=0,得xx++zy==00,.
取 x=1,得 y=-1,z=-1.∴n=(1,-1,-1). 又M→N·n=12,0,12·(1,-1,-1)=0, ∴M→N⊥n,又 MN⊄平面 A1BD, ∴MN∥平面 A1BD. 方法二 M→N=C→1N-C→1M=12C→1B1-12C→1C =12(D→1A1-D→1D)=12D→A1, ∴M→N∥D→A1,又∵MN 与 DA1 不共线,∴MN∥DA1,
第八页,共18页。
如图所示,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA= AD=2,E、F、G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点.
求证:PB∥平面 EFG. 证明 ∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且 ABCD 为正方形, ∴AB、AP、AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,
∵A→B=(1,0,0),∴P→D·A→B=0, ∴PD⊥AB,又 AB∩AE=A,∴PD⊥平面 ABE.
第十三页,共18页。
方法二 设平面 ABE 的一个法向量为 n=(x,y,z),
∵A→B=(1,0,0),A→E=14, 43,12,
∴nn··AA→→BE==00
x=0 ,即14x+ 43y+12z=0
第十八页,共18页。
立体几何中的向量方法 (fāngfǎ)(Ⅰ) ——证明平行与垂直
第一页,共18页。
忆一忆知识要点
1.用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)给定一个定点 A 和一个向量 a,再任给一个实数 t,以 A 为起点作向量A→P=ta,则此向量方程叫做直线 l 的参数方 程.向量 a 称为该直线的方向向量. (2)对空间任一确定的点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存 在唯一的实数 t,满足等式O→P=(1-t)O→A+tO→B,叫做空间 直线的向量参数方程.
第十六页,共18页。
则B→A1=a+c,B→D=12a+b,A→B1=a-c, m=λB→A1+μB→D=λ+12μa+μb+λc, A→B1·m=(a-c)·λ+12μa+μb+λc =4λ+12μ-2μ-4λ=0. 故A→B1⊥m,结论得证.
方法二 如图所示,取 BC 的中点 O,连结 AO. 因为△ABC 为正三角形,所以 AO⊥BC.

令 y=2,则 z=- 3,∴n=(0,2,- 3).
∵P→D=0,23 3,-1,显然P→D= 33n. ∴P→D∥n,∴P→D⊥平面 ABE,即 PD⊥平面 ABE.
第十四页,共18页。
探究提高
证明线面平行和垂直问题,可以用几何法,也可以用向量法.用 向量法的关键在于构造向量,再用共线向量定理或共面向量定理 及两向量垂直的判定定理.若能建立空间直角坐标系,其证法较 为灵活方便.
PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC=60°,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点.证明: (1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面 ABE.
建立适当的空间直角坐标系,利用向量坐标证明.
第十一页,共18页。
证明 ∵AB、AD、AP 两两垂直,建立如图 所示的空间直角坐标系, 设 PA=AB=BC=1,则 P(0,0,1).
(1)∵∠ABC=60°, ∴△ABC 为正三角形. ∴C12, 23,0,E14, 43,12. 设 D(0,y,0),由 AC⊥CD, 得A→C·C→D=0, 即 y=233,则 D0,233,0, ∴C→D=-12, 63,0.又A→E=14, 43,12,
第十二页,共18页。
∴A→E·C→D=-12×14+ 63× 43=0, ∴A→E⊥C→D,即 AE⊥CD. (2)方法一 ∵P(0,0,1),∴P→D=0,233,-1. 又A→E·P→D= 43×233+12×(-1)=0, ∴P→D⊥A→E,即 PD⊥AE.
3),
A(0,0, 3),B1(1,2,0). 设平面 A1BD 的法向量为 n=(x,y,z),B→A1=(-1,2, 3),B→D=
(-2,1,0).
因为 n⊥B→A1,n⊥B→D,
故 nn··BB→→AD1==00,
⇒- -x2+ x+2yy+ =0,3z=0,
令 x=1,则 y=2,z=- 3,故 n=(1,2,- 3)为平面 A1BD 的 一个法向量,而A→B1=(1,2,- 3), 所以A→B1=n,所以A→B1∥n,故 AB1⊥平面 A1BD.
第三页,共18页。
要点梳理
忆一忆知识要点
3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1⊥l2⇔v1⊥v2 ⇔ v1·v2=0 .
(2)设直线 l 的方向向量为 v,平面 α 的法向量为 u,则 l量分别为 u1 和 u2,则 α⊥β⇔ u1⊥u2 ⇔ u1·u2=0 .
第十五页,共18页。
如图所示,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有 棱长都为 2,D 为 CC1 的中点.求证:AB1 ⊥平面 A1BD. 证明 方法一 设平面 A1BD 内的任意一条 直线 m 的方向向量为 m.由共面向量定理,则存在实数 λ,μ, 使 m=λB→A1+μB→D. 令B→B1=a,B→C=b,B→A=c,显然它们不共面,并且|a|=|b|=|c| =2,a·b=a·c=0,b·c=2,以它们为空间的一个基底,
相关文档
最新文档