高考数学压轴专题最新备战高考《函数与导数》知识点总复习

【最新】数学《函数与导数》高考复习知识点
一、选择题
1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（ ）
A ．()()()0.6
33log 132f f f -<-<
B ．()()()0.6
332log 13f f f -<<-
C ．()()()0.6
3
2
log 133f f f <-<- D ．()()()0.6
3
2
3log 13f f f <-<
【答案】C 【解析】 【分析】
利用指数函数和对数函数单调性可得到0.6
32log 133<<，结合单调性和偶函数的性质可
得大小关系. 【详解】
()f x Q 为R 上的偶函数，()()33f f ∴-=，()()33log 13log 13f f -=，
0.633322log 9log 13log 273<=<<=Q 且()f x 在()0,∞+上单调递增，
()()()0.632log 133f f f ∴<<，()()()0.632log 133f f f ∴<-<-.
故选：C . 【点睛】
本题考查函数值大小关系的比较，关键是能够利用奇偶性将自变量转化到同一单调区间内，由自变量的大小关系，利用函数单调性即可得到函数值的大小关系.
2．已知()(1)|ln |
x
f x x x =
≠，若关于x 方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=恰有4个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．1,2(2,)e e ⎛⎫
⋃ ⎪⎝⎭
B ．11,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
C ．(1,)e e -
D ．1e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
,
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知易知()f x m =与()1f x m =+的根一共有4个，作出()f x 图象，数形结合即可得到答案. 【详解】
由22
[()](21)()0f x m f x m m -+++=，得()f x m =或()1f x m =+，由题意()f x m =
与()1f x m =+两个方程的根一共有4个，又()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以
()|ln |ln x x f x x x =
=，令()ln x g x x
=，则'2ln 1()(ln )x g x x -=，由'
()0g x >得
x e >， 由'
()0g x <得1x e <<或01x <<，故()g x 在(0,1),(1,)e 单调递减，在(,)e +∞上单调递
增，由图象变换作出()f x 图象如图所示
要使原方程有4个根，则01m e
m e <<⎧⎨+>⎩
，解得1e m e -<<.
故选：C 【点睛】
本题考查函数与方程的应用，涉及到方程根的个数问题，考查学生等价转化、数形结合的思想，是一道中档题.
3．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2
42f x f x x +-=+，设()()2
2g x f x x =-，
若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B 【解析】
∵()()2
42f x f x x +-=+，()()2
2g x f x x =-
∴2222
()()()2()24242g x g x f x x f x x x x +-=-+--=+-= ∴函数()g x 关于点(0,1)对称
∵()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ∴122M m +=⨯= 故选B.
4．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1
C ．2
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据对称性即可求出答案． 【详解】
解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．
5．已知函数()3
2
f x x x x a =--+，若曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，则实数a
的取值范围为（ ） A ．11,27⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
B ．()
1,+?
C ．5,127⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D ．11,127⎛⎫
-
⎪⎝⎭
【答案】C 【解析】 【分析】
根据曲线()y f x =与x 轴有三个不同交点，可转化为函数()3
2
g x x x x =-++与y a =的
图象有三个不同的交点，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】
Q 函数()32f x x x x a =--+与x 轴有三个不同交点，
可转化为函数()3
2
g x x x x =-++与y a =的图象有三个不同的交点.
又()2
321(31)(1)g x x x x x '=-++=-+-Q ，
∴在1,,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0g x '<；在1,13⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上，()0g x '>.
∴()15327g x g ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
极小值，()()11g x g ==极大值，
5
127a ∴-
<<. 故选：C 【点睛】
本题考查函数的零点及导数与极值的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题.
6．已知()ln x
f x x
=
，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 在()0,e 上单调递增 B ．()()24f f = C ．当01a b <<<时，b a a b < D ．20192020
log 20202019
>
【答案】D 【解析】 【分析】
根据2
1ln (),(0,)x
f x x x
-'=
∈+∞，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，进而判断得出结论. 【详解】
2
1ln (),(0,)x
f x x x -'=
∈+∞Q ∴对于选项A ，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故A 正确；
对于选项B ，()2ln 4ln 2ln 2
4(2)442
f f ====，故B 正确；
对于选项C ，由选项A 知()f x 在()0,1上也是单调递增的，01a b <<<Q ，
ln ln a b
a b
∴
<，可得b a a b <，故选项C 正确； 对于选项D ，由选项A 知()f x 在(),e +∞上单调递减，
(2019)(2020)f f ∴>，即
ln 2019ln 202022019020>⇒20192020ln 2020
log 2020ln 02019
219>=， 故选项D 不正确. 故选：D 【点睛】
本题考查导数与函数单调性、极值与最值的应用及方程与不等式的解法，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.
7．已知函数f （x ）＝（k ＋4k ）lnx ＋2
4x x
－，k ∈[4，＋∞），曲线y ＝f （x ）上总存在两
点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），使曲线y ＝f （x ）在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1＋x 2的取值范围为
A ．（8
5，＋∞） B ．（
16
5
，＋∞） C ．[
8
5
，＋∞） D ．[
16
5
，＋∞） 【答案】B 【解析】 【分析】
利用过M 、N 点处的切线互相平行，建立方程，结合基本不等式，再求最值，即可求x 1+x 2
的取值范围． 【详解】 由题得f′（x ）=4k k x +
﹣24x ﹣1=﹣2244x k x k x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=﹣()2
4x k x k x ⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭，（x ＞0，k ＞0）
由题意，可得f′（x 1）=f′（x 2）（x 1，x 2＞0，且x 1≠x 2），
即2
1144k k x x +
-﹣1=2
4
k k x +
﹣224x ﹣1，
化简得4（x 1+x 2）=（k+4
k
）x 1x 2， 而x 1x 2＜2
12(
)2
x x +， 4（x 1+x 2）＜（k+
4
k ）21
2()2
x x +， 即x 1+x 2＞
16
4k k
+
对k ∈[4，+∞）恒成立， 令g （k ）=k+
4k
， 则g′（k ）=1﹣
24k =()()2
22k k k +-＞0对k ∈[4，+∞）恒成立， ∴g （k ）≥g （4）=5， ∴
16
4k k
+≤16
5
， ∴x 1+x 2＞
165
， 故x 1+x 2的取值范围为（16
5
，+∞）. 故答案为B 【点睛】
本题运用导数可以解决曲线的切线问题，函数的单调性、极值与最值，正确求导是我们解题
的关键，属于中档题.
8．函数()x
e f x x
=的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】
函数()x
e f x x
=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；
当0x >时，()0f x >，且()2
(1)'x
x e f x x
-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；
当0x <时，函数()0x
e f x x
=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．
点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
9．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1 B ．
13
C ．
23
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，曲线21x
y e
-=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2x x x y e -=='=-=-，
所以曲线21x
y e
-=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=，
令0y =，解得1x =，令y x =，解得23
x y ==
， 所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为121
1233
⨯⨯=，故选B ．
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10．二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式问题的常用方法，数形结合是解决函数问题的基本思想．
11．函数()2sin 2x
f x x x x
=
+-的大致图象为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
利用()10f <，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。

【详解】
()1sin112sin110f =+-=-<，排除，B ，C ，
当0x =时，sin 0x x ==， 则0x →时，sin 1x
x
→，()101f x →+=，排除A ， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用排除法结合函数的极限思想是解决本题的关键。

12．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折
起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（ ）时，其容积最大．
A ．
34
B ．
23
C ．
13
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为)3
12
x -,则可得正六棱柱容器的容积为()())()32339214
V x x x x x x x =+-=-+,再利用导函数求得最值,即可求解. 【详解】
设正六棱柱容器的底面边长为x ,)3
1x -, 所以正六棱柱容器的容积为()())()32339214
V x x x x x x x =+-=-+, 所以()227942V x x x '=-
+,则在20,3⎛⎫
⎪⎝⎭上,()0V x '>；在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
上,()0V x '<, 所以()V x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减, 所以当2
3
x =时,()V x 取得最大值, 故选:B 【点睛】
本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.
13．若点1414(log 7,log 56)在函数()3f x kx =+的图象上，则()f x 的零点为（ ） A ．1 B ．
32
C ．2
D ．
34
【答案】B 【解析】 【分析】
将点的坐标代入函数()y f x =的解析式，利用对数的运算性质得出k 的值，再解方程
()0f x =可得出函数()y f x =的零点．
【详解】
141414141414log 56log 4log 1412log 212(1log 7)32log 7=+=+=+-=-Q ，
2k ∴=-，()2 3.f x x =-+故()f x 的零点为3
2
，故选B.
【点睛】
本题考查对数的运算性质以及函数零点的概念，解题的关键在于利用对数的运算性质求出参数的值，解题时要正确把握零点的概念，考查运算求解能力，属于中等题．
14．函数()3ln x
f x x
=
的部分图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
根据奇偶性排除B ，当1x >时，()3ln 0x
f x x
=>，排除CD ，得到答案. 【详解】
()()()33ln ln ,x x
f x f x f x x x
=
-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0x
f x x
=>恒成立，排除CD
故答案选A 【点睛】
本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.
15．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭
（ ） A ．
12e
- B ．2e - C ．1-
D ．e
【答案】B 【解析】 【分析】
对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1
x e
=求得结果. 【详解】
由题意得：()()121f x f x
''=+
令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-
()12f x x '∴=-+
12f e e ⎛⎫
'∴=- ⎪⎝⎭
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.
16．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足()()80f x f x ++=，且()55f =，则
()()20192024f f +=（ ）
A ．-5
B ．5
C ．0
D ．4043
【答案】B 【解析】 【分析】
根据(8)()0f x f x ++=得函数的周期为16，结合()55f =，(0)0f =即可求解. 【详解】
由(8)()0f x f x ++=，得(8)()f x f x +=-，
所以(16)(8)()f x f x f x +=-+=.故函数()y f x =是以16为周期的周期函数. 又在(8)()0f x f x ++=中，令0x =，得(8)(0)0f f +=， 且奇函数()y f x =是定义在R 上的函数，
所以(0)0f =.故(8)0f =.故(2024)(161268)(8)0f f f =⨯+==.
又在(8)()0f x f x ++=中，令3x =-，得(5)(3)0f f +-=.
得(5)(3)(3)5f f f =--==，则(2019)(161263)(3)5f f f =⨯+==.
所以(2019)(2024)5f f +=.
故选：B.
【点睛】
此题考查根据函数的周期性求抽象函数的函数值，关键在于根据函数关系准确得出函数周期，结合定义在R 上的奇函数的特征求值.
17．函数()3ln 2x f x x x
=
+的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ） A ．64y x =- B ．75y x =- C ．63=-y x D ．74y x =- 【答案】B
【解析】
【分析】
首先求得切线的斜率，然后求解切线方程即可.
【详解】
由函数的解析式可得：()221ln '6x f x x x -=
+， 则所求切线的斜率()221ln1'16171k f -==
+⨯=， 且：()012121
f =+⨯=，即切点坐标为()1,2， 由点斜式方程可得切线方程为：()271y x -=-，即75y x =-.
本题选择B 选项.
【点睛】
导数运算及切线的理解应注意的问题
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.
18．设函数()x
f x x e =⋅，则（ ） A ．()f x 有极大值1e B ．()f x 有极小值1e
- C ．()f x 有极大值e
D ．()f x 有极小值e -
【答案】B
【解析】
【分析】
利用导数求出函数()y f x =的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论.
【详解】
()x f x x e =⋅Q ，定义域为R ，()()1x f x x e '∴=+，令()0f x '=，可得1x =-. 当1x <-时，()0f x '<；当1x >-时，()0f x '>.
所以，函数()x f x x e =⋅在1x =-处取得极小值()11f e
-=-， 故选：B.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化，考查计算能力，属于中等题.
19．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( )
A ．17(1)a r +
B ．17[(1)(1)]a r r r +-+
C ．18(1)a r +
D ．18[(1)(1)]a r r r
+-+ 【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可.
【详解】
解：根据题意，
当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +， 同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +，
孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +， ⋯⋯
孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，
可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，
此时将存款（含利息）全部取回，
则取回的钱的总数：
171716
18(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a S a r a r a r r r r r ++-=++++⋯⋯++==+-++-； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.
20．设1
23log 2,ln 2,5a b c -===则
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．c b a << 【答案】C
【解析】
【分析】
由ln 2ln 2
ln 3
a b =<=及311log ,22a c >==<=可比较大小. 【详解】
∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =
<=，即a b <．
又
3311log 2log ,22a c =>=
=<=．∴a c >．综上可知：c a b << 故选C.
【点睛】
本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.。