【2019年整理】第三章1单自由度体系的弹性地震反应分析与地震作用

地震波记录
• 50年代起，美国、前苏联和中国先后采用反应谱理论建立了抗震 计算方法。
反应谱理论与振型分解法
• 由于反应谱理论正确而简单地反映了地震特性，以及结构的 动力特性，从而得到了国际上广泛的承认。实际上到50年代， 反应谱理论已基本取代了震度法。 • 值得一提的是，结构力学的振型分解法的发展是使反应谱理 论从单自由度推广到多自由度的关键。
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3. 振动方程的简化
令： = k m (3.6) (3.7)
=
c 2 m
代入式（3.4b）得 即 (t ) 2 x (t ) 2 x (t ) = g (t ) x x (3.5)
式中 ：称为自振频率
：称为阻尼比。对于一般结构 = 0.01 0.1。
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震害分析实例
• 1976 年 7 月 28 日唐山地震，天津第二毛纺厂的3 层钢筋
混凝土框架厂房，二层框架柱的上、下端，混凝土剥 落，主筋外露，钢筋弯钩拉脱。
• 震后，对二层柱进行局部修复加固。同年 11 月 15 日宁
河地震时，该厂房因底层严重破坏而全部倒塌。 • 事后，对该钢筋混凝土框架结构采用振型分解反应谱 法进行抗震承载力验算。计算结果表明，各层承载力 和变形均满足要求。
• 目前，工程中求解结构地震反应的方法有两类：
1. 拟静力法，也称为等效荷载法。 • 通过反应谱理论将地震对结构的作用等效为静力荷载， 按静力方法求解结构的内力和位移等。 2. 直接动力法或称为时程分析法。 • 通过输入地震波，对结构动力方程直接积分，求出结 构的地震反应与时间变化的关系，得到结构地震反应 的时程曲线。

D
sin D t ]
(3.11)
pdt 代入式（3.11）则可得到瞬时 m 冲量作用下的质点位移时程曲线： (0) = 现将x(0) = 0和x
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瞬时冲量及其引起的自由振动—续
pdt 代入式（3.11 ）则可得到瞬时冲量作用下 m 的质点位移时程曲线： 现将x(0) = 0和x(0) =
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3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析
3.2.1 计算简图
3.2.2 振动方程 3.2.3 自由振动（齐次解）
3.2.4 强迫振动（特解）
3.2.5 振动方程的通解 3.2.6 单自由度体系的地震反应 3.2.7 数值积分计算 3.2.8 数值积分计算——举例
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3.2.1 计算简图
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3.2.2 振动方程
x (t )
建立振动方程有两种方法： 刚度法和柔度法
m
k
fD
m
fS
fI
x g (t )
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1. 刚度法
地震时，任意时刻质点m的相对位移为x(t ) 任意时刻基础的位移为xg (t ) 质点m的绝对加速度为：x(t ) xg (t ) 取质点m为脱离体，则其所受 到的作用力有：
(t ) g (t )] 惯性力：f I = m [ x x (t ) 阻尼力：f D = c x 弹性力：f S = k x (t )
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单自由度体系自振周期的计算公式
= k m
T= 2 = 2 m k
(3.6)
(3.18)

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3.2.4 强迫振动（特解）
1. 瞬时冲量及其引起的自由振动
（1）冲量 设荷载为P，其作用的时间 为t，则它们的乘积P t 称为冲量。
（2）瞬时冲量 如果荷载P作用的时间为瞬 时dt，则它们的乘积 P dt 称为瞬时冲量。
第三章1 单自由度体系的弹性地震反应分析与 抗震验算
3.1概述
3.2单自由度弹性体系的地震反应分析
3.3单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱
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3.1 概述
3.1.1几个名词概念
1. 结构地震作用：地震时结构的质量所产生的惯性力。 2. 结构地震反应：由地震引起的结构振动。包括结构的 位移反应、速度反应、加速度反应等。 3. 地震作用效应：地震作用在结构中所产生的内力和变 形。
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3.1.2.3第三阶段：动力理论阶段
• 大量的震害分析表明，反应谱理论虽考虑了振幅和频谱
两个要素，但只解决了大部分问题，地震持续时间对震
害的影响始终在设计理论中没有得到反映。这是反应谱 理论的局限性。
• 采用动力理论不仅可以全面考虑地震强度、频谱特性、
地震持续时间等强震三要素，还进一步考虑了反应谱所 不能概括的其它特性。
x g (t )
x (t )
m
k
fD
m
fS
fI
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地震时，质点m的振动方程
• 根据达朗伯原理，脱离体m的平衡方程为 ：
fI fD fS = 0
(t ) g (t )] c x (t ) k x (t ) = 0 m [ x x (t ) c x (t ) k x (t ) = m g (t ) m x x (3.4b)
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动力理论的作用
① 采用地震加速度时程曲线输入，进行结构地震反应分 析，可以全面考虑强震三要素的影响。
② 由于进行全过程分析，从而具体、详细地给出从弹性
阶段、弹塑性阶段、直到破坏等各个阶段的结构地震 反应全过程。
③ 能给出结构中各构件出现塑性铰的时刻和顺序，判明
结构的屈服机制。 ④ 能确定地震时结构的薄弱层或薄弱部位。

x(t ) = e
t
[ x0 cos Dt
x 0 x0

D
sin Dt ]
无阻尼（ = 0 ）， D
=
x0

x(t ) = x0 cost
D
sin t
:
无阻尼自由振动的圆频率
m T= = 2 k
2
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位移时程曲线
• 比较上图中各条曲线： (1)无阻尼自由振动时，振幅始终不变。 (2)有阻尼自由振动，则是一条逐渐衰减的波动曲线。 (3) 阻尼越大，振幅衰减越快。
应与自振周期的关系曲线称为地震反应谱。 • 制作地震反应谱的关键是必须有实测的地震波记录。美国和 其他先后开展了强地震地面运动加速度过程的观测和记录 （地震波记录）。
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• 美国于 1940年5月18 日取得了具有强地震特性的 El Centro地震波 记录（最大水平加速度，附近的地震烈度为8度）。 • 其中加速度的单位1gal=1cm/s2。 • 1943年M. A. Biot发表了以实际地震记录求得的加速度反应谱。
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2. 单自由度体系的自振周期和自振频率
无阻尼单自由度体系 • • 自振周期 2 • T= • • 自振频率
(3.13)

2 = T
(3.15)
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有阻尼单自由度体系
• 自振频率
•
D = 1 2
(3.10)
• 则自振周期为
T =
2
D
(3.16)
一般实际结构的阻尼比很小， = 0.01 0.1，故可以 近似地取D 。
2
3.1.2 简述工程抗震理论的发展
一个世纪以来，结构地震反应计算方法的发展，大致
可以划分为三个阶段：
静力理论阶段 反应谱理论阶段 动力理论阶段
3.1.2.1.第一阶段：静力理论阶段
• 1900年日本学者提出震度法的概念。 • 认为水平最大加速度是地震破坏的重要因素。
3
将地震时地面运动最大加速度与重力加速度的比值定 a = 义为“水平震度”，即 k g (1)
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震度法的缺点
• 由式（2）可见，震度法存在如下重大缺点：
（1）没有考虑结构的动力特性。
（2）认为地震时结构上任一点的振动加速度均等于地面运动的 加速度，这意味着结构刚度是无限大的，即结构是刚性的。
3.1.2.2第二阶段：反应谱理论阶段
• 20世纪30年代美国首先提出地震反应谱的概念。
• 地震反应谱：单自由度弹性体系在地震作用下，其最大的反
震度法（静力法）
• 结构所受的水平地震作用，可以简化为作用于结构上 的等效水平静力 F ，其大小等于结构重力荷载 G 的 k 倍，
即
• F = ma = ma
g = k G (2) g
其中：k 0.1 ， k 值是根据多次地震震害分析得出的，这是一个经验数 据。因为称 k为震度系数，故该方法也称为震度法。 我国规范将 k 称为地震系数。
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震害动力分析实例——续
• 同时又采用时程分析法分析该结构，计算结果指出：
（1）地震时顶层和底层均发生屈服。 （2）由于二层加固后的刚度远大于底层，底层刚度相对
柔弱而出现塑性变形集中的薄弱层，产生很大的侧
移，以致倒塌。 • 该震例说明，对于非等强多层结构，时程分析法明显 优于反应谱分析法。
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3.1.3 结构地震反应分析方法
式(3.5)是一个二阶、常系数、非齐次的微分方程，其解 由两部分组成，一个是齐次解，另一个是特解。
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3.2.3 自由振动（齐次解）
1. 自由振动方程（齐次方程） 2 x 2x = 0 x
特征根：
(3.8)
r1 = 2 1
r2 = 2 1
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振动方程的特解——续
体系在瞬时冲量Pdt = xg ( ) d 作用下，质点的自由振动可由 式（3.21 ）给出，即将m = 1、Pdt = xg (t )d 代入式（3.21 ）中， 同时将时间t改为 t , 于是得到：
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瞬时冲量及其引起的自由振动—续
这样就认为： 在瞬时冲量的影响下，原来静止的体系将以初始位移 Pdt (0) = x (0) = 0和初始速度x 作自由振动。 m 因此振动形式同式（3.11），即
x(t ) = e t [ x(0) cos D t x(0) x(o)
m
x (t )
fD
fI
=
1 (t ) g (t )] c x (t ) 所以得：x(t ) = m [ x x k (t ) c x (t ) k x (t ) = m g (t ) 即 m x x
1 k

x g (t )
上式与振动方程（3.4b）完全相同。
D = 1 2
D : 有阻尼单自由度体系的 自振频率
一般工程为欠阻尼情况： 边界条件： 代入上式：
x0 = x(0), x 0 = x(0)
c1 = x0



代入上式导数式： c = 2
x 0 x0
D
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即自由振动位移方程（自由振动由初位移和初速度 x0 , x 0 引起 ）
xg (t )
t
30
振动方程的特解——续
2 x 2 x = g x x
观察振动方程，可将方程右边项 xg (t )看作单位质量(m = 1)上 的动力荷载。
g (t )曲线划分成若 现将 x 干个瞬时荷载（如图）。
当t = 时： 体系的质量 m = 1 g ( ) 1 瞬时荷载为 P = x g ( ) d 瞬时冲量为 Pdt = x
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瞬时冲量及其引起的自由振动—续
（3）动量定律 冲量等于动量的增量。 即 Pdt = mv mv0
（4）单质点体系在瞬时冲量作用下的自由振动 设体系原先处于静止，即初始速度v0 = 0，则体系在 瞬时冲量作用下获得的速度为： v= Pdt (0) =x m
又因体系原先处于静止，故体系的初始位移也为零， 即 x(0) = 0
• 上式即单质点弹性体系在地震作用下的运动微分方程。
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2. 柔度法
设体系的柔度系数为： 则在惯性力f I 和阻尼力f D作用下，质点m的位移为： x (t ) = ( f I f D )
(t ) g (t )] 因为：f I = m [ x x (t ) f D = c x
x(t ) = e
t
Pdt sin Dt mD
瞬时冲量作用下，质点 位移时程曲线如图。
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振动方程的特解——续
2. 振动方程的特解
2 x 2x = g的特解，可采用瞬时冲量 振动方程 x x 作用后引起的自由振动的概念来求得。 g (t )是一条随机的时程曲线，如图。 地面运动加速度 x
1)
1
r1, r2为负实数， 过阻尼状态
r1t r2t
x(t ) = c1e c2e
2)
不振动
= 1 r1 = r2 = ,临界阻尼状态
19
x(t ) = (c1 c 2 t )et , 不振动
3) 1, r1、r 2为共轭复数 ， 欠阻尼状态
x(t ) = et (c1 cosDt c2 sin Dt )