最新中考数学-一轮复习：全等三角形

全等三角形
基础知识
知识点一：全等三角形的有关概念
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；其互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边；互相重合的角叫做对应角。

全等三角形是相似三角形的特例
知识点二：三角形全等的判定及其推论
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等（简称SSS或“边边边”）
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简称SAS或“边角边”）
3、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（简称ASA或“角边角”）
4、推论：①、有两角及其一角的对应边相等的两个三角形全等（简称AAS或“角角边”）
②、直角三角形全等条件：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称HL或“直角边斜边”）
知识点三：全等三角形的性质
全等三角的对应边相等；对应角相等；对应边上的高对应相等；对应角的角平分线相等；对应边的中线对应相等；面积及周长相等
知识点四：角平分线的性质及其判定
1、性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。

（可根据三角形全等“AAS”“ASA”证明）
2、判定：角的内部到两边距离相等的点在角的角平分线上。

3、角平分线的作图步骤
a、以角的顶点为圆心，以任意长为半径作弧，交角的两边于两点
b、以这两点分别为圆心，以大于一半这两点间的距离为半径，在角的两边之间分别作一条弧；交于一点
c、连接角的顶点和两条弧的交点，则这条线即为该角的角平分线
重点例题分析
例1：如图18-1，已知△ABC≌△ADE，AB与ED交于点M，BC与ED，AD分别交于点F，N．请写出图中两对全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并选择其中的一对加以证明．
例2：如图18-2：已知D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BE=CD．∴BE=CD（全等三角形的学科网对应边相等）．
例3：如图18-3，点B在AE上，点D在AC上，AB=AD．请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE （只能添加一个）．
（1）你添加的条件是．
（2）添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．
图18-3
例4：如图18-4，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
例5：如图18-5，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF=DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
例6：（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过
点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
:答案：证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
巩固练习
1.下列命题中正确的是（）
A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等
C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角的平分线相等
2.如图18-6，在四边形ABCD中，对角线AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
3.如图18-7，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
4.如图18-8所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结
AO，下列结论不正确的是（）
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD
C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
5.将一张长方形纸片按如图18-9所示的方式折叠，BC BD
∠的度数为（）
，为折痕，则CBD
A．60°B．75°C．90°D．95°
6.如图18-10，坐标平面上，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB＝BC ＝5．若A点的坐标为(﹣3，1)，B、C两点在方程式y＝﹣3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y 轴的距离为何？( )
A．2 B．3
C．4 D．5
7.将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（）A．10°B．20°C．7.5°D．15°
8.如图18-11，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x= ．
9.如图18-12，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．
（1）证明：△CBF≌△CDF；
（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；
（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．
10.已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF
的数量关系式；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请
画出图形并给予证明．
中考预测
1.如图18-13，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）
图18-13
A.BC=EC ,∠B=∠E;
B.BC=EC，AC=DC
C.BC=DC，∠A=∠D
D.∠B=∠E，∠A=∠D
2.如图18-14，在▱ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长之比是（）
图18-14
A.1：2
B.1：3
C.1：4
D.1：5
3.已知：如图18-15在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：
①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE2=2（AD2+AB2），
其中结论正确的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图18-16，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．
A.2
B.3
C.4
D.5
5.如图18-17，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需写出一个）
6.如图18-18，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD 的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013= 度．
7.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．
8.如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：△ABE≌DCE；
（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？
9.如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它
条件不变．求证：△AEF≌△BCF．
10.课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要通过推理的方法证实．
（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；
（2）证明推论AAS．
要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注
明依据．
答案：巩固练习
中考预测1.C
2.A
3.C
4.C
CA 5.FD
m
6.
2013
2
∴△ABE≌△DCE（AAS）；。