人教版数学高二-人教B版选修2-2课时作业 2.3.2 数学归纳法应用举例

第二章 §2.3 课时作业21
1．证明不等式1＋12＋13＋ (1)
<2n (n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝2.
左边<右边，不等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，不等式成立，
即1＋12＋13＋ (1)
<2k . 则当n ＝k ＋1时，
1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1
<2k ＋
1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1 <(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1
＝2k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意n ∈N *都成立． 2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a n
(n ∈N *)． (1)计算a 2，a 3，a 4；
(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明．
解：(1)a 1＝1，a 2＝a 11＋a 1＝12
， a 3＝a 21＋a 2＝13
， a 4＝a 31＋a 3＝14
. (2)由(1)的计算猜想：a n ＝1n
. 下面用数学归纳法进行证明
①当n ＝1时，a 1＝1，等式成立．
②假设当n ＝k 时等式成立，即a k ＝1k
，
那么a k ＋1＝a k 1＋a k ＝1k
1＋1k ＝1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时等式也成立．
由①②可知，对任意n ∈N *都有a n ＝1n
. 3．证明凸n 边形的对角线的条数f (n )＝12
n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝4时，f (4)＝12
×4×(4－3)＝2，凸四边形有两条对角线，命题成立． (2)假设n ＝k (k ≥4且k ∈N *)时命题成立．即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝12
k (k －3)(k ≥4)，当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点的连线再加上原k 边形一边A 1A k ，共增加了对角线的条数为k －2＋1＝k －1.
∴f (k ＋1)＝12
k (k －3)＋k －1 ＝12
(k 2－k －2) ＝12
(k ＋1)(k －2) ＝12
(k ＋1)． 故当n ＝k ＋1时命题成立．
由(1)(2)知，对任意n ≥4，n ∈N *，命题成立．
4．设实数c >0，整数p >1，n ∈N *.
(1)证明：当x >－1且x ≠0时，(1＋x )p >1＋px ；
(2)数列{a n }满足a 1>c 1p ， a n ＋1＝p －1p a n ＋c p
a 1－p n . 证明：a n >a n ＋1>c 1p . 解：(1)证明：用数学归纳法证明：
①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立．
②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．
当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋
1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以p ＝k ＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立．
(2)证法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p .
①当n ＝1时，由题设a 1>c 1p 知a n >c 1p 成立．
②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p 成立．
由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p
a 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝1＋1p (c a p k
－1)． 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p (c a p k
－1)<0. 由(1)中的结论得(a k ＋1a k )p ＝p >1＋p ·1p (c a p k －1)＝c a p k
. 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p .
所以n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p 也成立．
综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p 均成立．
再由a n ＋1a n ＝1＋1p (c a p n －1)可得a n ＋1a n
<1，即a n ＋1<a n . 综上所述，a n >a n ＋1>c 1p ，n ∈N *.
证法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p ，则x p ≥c ，并且f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p
(1－c x p )>0，x >c 1p . 由此可得，f (x )在1＋1p (c a p 1
－1)hslx3y3h<a 1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而a 1>a 2>c 1p . 故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p 成立．
②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1
>c 1p 成立，则 当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p )，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p .
所以n ＝k ＋1时，原不等式也成立．
综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p 均成立．。