九年级数学上册《三角函数》公式大全人教新课标版

2 3 cos( ) sin 2 3 cos( ) sin 2
2 3 tg ( ) ctg 2 3 tg ( ) ctg 2
) tg 2 3 ctg ( ) tg 2 3 ctg ( ) tg 2
cos( cos(
tg (2k ) tg tg ( ) tg tg ( ) tg tg ( ) tg tg (2 ) tg
tg ( tg (
ctg (2k ) ctg ctg ( ) ctg ctg ( ) ctg ctg ( ) ctg ctg (2 ) ctg
y max 1;

2
无最大值、最小值
无最大值、最小值
周期 性 奇偶 性 对 称 对 轴 称 对 性 称 点
周期是 2k k Z 最小正周期是 2 奇函数
x k
周期是 k k Z 最小正周期是 奇函数
周期是 k k Z 最小正周期是 奇函数

b 2 a 2 c 2 2ca cos B c 2 a 2 b 2 2ab cos C 或 cos A b2 c2 a2 2bc 2 2 c a b2 cos B 2ca 2 a b2 c2 cos C 2ab
三角比补充概念或公式 ①① 有关sinα与cosα，tgα与tgα，|sinα|与|cosα|，|tgα|与|ctgα|大小比较 1.sinα与cosα（下左图）
2
k Z
x k k Z
k ,0k Z
递增区间
k ,0 k Z 2
递增区间 2k ,2k k Z
k ,0k Z
递增区间
k ,0 k Z 2
递减区间 k , k k Z
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y sin x
图 象
y cos x
反三角函数性质 函 数
y arcsin x y sin x 在
y arccos x
y arctgx
定 义
意 义
y cos x 在 x 0, 的 y tgx 在 x , 的 x , 的反函数 2 2 反函数叫反余弦函数，记 2 2 反函数叫反正切函数，记 叫反正弦函数，记作 作 y arccos x ， x 1,1 作 y arctgx ， x R y arcsin x ， x 1,1 ① 表示一个角的弧度数 或 ， ① 这个角的范围是 , 或0， 2 2 2 2 ③这个角的正弦（或余弦或正切）等于 x
定 义 1,1 域 值 , 域 2 2 单 调 增函数 性 奇 偶 奇函数 性 常 arcsin( x) arcsin x 用 等 式 y arcsin x 图 像
1,1 0,
减函数
R
, 2 2
增函数
3.二倍角的三角比 sin 2 2 sin cos
cos 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 1 1 2 sin 2 tg 2 2tg 1 tg 2
4.半角的三角比 1 cos sin 2 2
cos tg
R
1,1
当x 2k
1,1

2
k Z 时 k Z 时
当x 2k k Z 时 当x 2k k Z 时 y min 1
周期是 2k k Z 最小正周期是 2 偶函数
最 值
y max 1; 当x 2k y min 1
4. |tgα|与|ctgα|（上右图） 当α的终边在第一、第三象限，或第二、第四象限的角平分线上时，|tgα|=|ctgα| 当α的终边在图中区域①或③时（不包括坐标轴），|tgα|>|ctgα|
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当α的终边在图中区域②或④时（不包括坐标轴），|tgα|<|ctgα| 二、三角中常用的手法 （sinα+sinβ）与（cosα+cosβ）分别平方后相加，可以产生cos(α-β) （sinα+sinβ）与（cosα+cosβ）分别平方后相加，可以产生sin(α+β) ①① 1.在非直角ΔABC中，有 tgA tgB tgC tgAtgBtgC 2.在tgA，tgB，tgC存在的前提下，A+B+C=kπ（k属于整数）是
（二）关系结构图
sin tg
cos
1
sec
ctg
（三）三角比符号
+
+
_ _
csc
+ +
tgctg 1
_ +
+ _
_ _ 1.同角三角比的关系
倒数关 sin csc 1 系 sinα&cscα sin 商数关 tg 系 cos 平方关 sin 2 cos 2 1 系
二、三角恒等式
cos sec 1
ctg
cos α&sec cos α
sin
tgα&ctgα
1 ctg 2 csc 2
1 tg 2 sec 2
2.两角和与差的三角比 两角差的余弦公 cos( ) cos cos sin sin
三角函数的性质 函 数 定义 域 值 域
cos

y sin x
y cos x
y tgx
y ctgx
R
R
x | x R且 x k , k Z 2
R
x | x R且 x k , k Z
非奇非偶函数
奇函数
arccos( x) arccos x
arcsin x arccos x
arctg ( x) arctgx

2
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反三角函数其它常用等式 sin(arcsin x) x( x 1) arcsin( x) arcsin x arccos( x) arccos x cos(arccos x) x( x 1) （2） （ 1 ） tg (arctgx) x arctg ( x) arctgx ctg (arcctgx) x arcctg ( x) arcctgx
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sin sin 2 sin

2 2 sin sin 2 cos sin 2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin 2 2

2
2
tg
1 tg

2
三、解斜三角形 1. 三角形的面积
1 bc sin A 2 1 S ca sin B 2 1 S ab sin C 2 S
2. 正弦定理 a b c ( 2 R) sin A sin B sin C 3. 余弦定理 a 2 b 2 c 2 2bc cos A
一、任意角的三角比
（一）诱导公式
sin( 2k ) sin sin( ) sin sin( ) sin sin( ) sin sin( 2 ) sin
sin( sin(
cos(2k ) cos cos( ) cos cos( ) cos cos( ) cos cos(2 ) cos
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当α的终边在第一、第三象限的角平分线上时，sinα=cosα 当α的终边在此角平分线的上方，即图中区域①时，sinα>cosα 当α的终边在此角平分线的下方，即图中区域②时，sinα<cosα
2.tgα与ctgα（上右图） 当α的终边在第一、第三象限，或第二、第四象限的角平分线上时，tgα=ctgα 当α的终边在图中区域①、或③、或⑤、或⑦时（不包括坐标轴），tgα>ctgα 当α的终边在图中区域②、或④、或⑥、或⑧时（不包括坐标轴），tgα<ctgα 3. |sinα|与|cosα|（下左图） 当α的终边在第一、第三象限，或第二、第四象限的角平分线上时，|sinα|=|cosα| 当α的终边在图中区域①或③时，|sinα|>|cosα| 当α的终边在图中区域②或④时，|sinα|<|cosα|
tgA tgB tgC tgAtgBtgC 的充要条件。
①① 增补公式
1 sin 2 sin( ) tg tg cos cos sin( ) tg tg cos cos ctg ctg 2
三角比的积化和差公式
sin cos cos sin cos cos
1 2 1 2 1
[sin( ) sin( )] [sin( ) sin( )]
[cos( ) cos( )] 2 1 sin sin [cos( ) cos( )] 2
三角比的和差化积公式
单调 性
2k ,2k 2 2 k Z 递减区间 3 2k ,2k 2 2 k Z
递减区间 2k ,2k k Z
k , k 2 2 k Z
tg tg 1 tgtg tg tg tg ( ) 1 tgtg tg ( )
a sin b cos a 2 b 2 sin( ) a b cos , sin ,0 2 2 2 2 a b a b2

2

1 cos 2 1 cos sin 1 cos 1 cos 1 cos sin

2
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5.万能置换公式
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sin
2tg 1 tg

2
2

2 2 2
cos
1 tg 2 1 tg 2tg
2
ctg ( ctg (

2
) cos ) cos


2
) sin ) sin


2
) ctg ) ctg


2
) tg
2 3 sin( ) cos 2 3 sin( ) cos 2
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_
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式 两角和的余弦公 式 两角差的正弦公 式 两角和的正弦公 式 两角差的正切公 式 两角和的正切公 式
A sin( )形式
cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin