2018年高考文科数学分类汇编：专题八立体几何(最新整理)

MC 平面 PBD，OP 平面 PBD，所以 MC∥平面 PBD．
4.解：（Ⅰ）∵ PA PD ，且 E 为 AD 的中点，∴ PE AD . ∵底面 ABCD 为矩形，∴ BC∥AD ， ∴ PE BC . （Ⅱ）∵底面 ABCD 为矩形，∴ AB AD . ∵平面 PAD 平面 ABCD ，∴ AB 平面 PAD . ∴ AB PD .又 PA PD ， ∴ PD 平面 PAB ，∴平面 PAB 平面 PCD . （Ⅲ）如图，取 PC 中点 G ，连接 FG,GD .
7.解：如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中，设 AC，A1C1 的中点分别为 O，O1，
则 OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以{OB,OC,OO1}为基底，建立空间直角坐标 系 O−xyz．
（1）求异面直线 BP 与 AC1 所成角的余弦值； （2）求直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦 值．
8.【2018 浙江卷 19】如图，已知多面体 ABCA1B1C1， A1A，B1B，C1C 均垂直于平面 ABC，∠ABC=120°， A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）证明：AB1⊥平面 A1B1C1； （Ⅱ）求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦 值．
在 Rt△DAM 中，AM=1，故 DM= AD2 AM 2 = 13 ．因为 AD⊥平面 ABC， 故 AD⊥AC．
在 Rt△DAN 中，AN=1，故 DN= AD2 AN 2 = 13 ．
1 MN
在等腰三角形 DMN 中，MN=1，可得 cos DMN 2
13
．
DM 26
所以，异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 13 ．
A． 2
2
B． 3
2
C． 5
2
D． 7
2
5.【2018 全国三卷 3】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分 叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放 的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的 俯视图可以是
6.【2018 全国三卷 12】设 A，B ，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， △ABC 为等边三角形且其面积为 9 3 ，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为
9.【2018 上海卷 17】已知圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O， 半径为 2
（1）设圆锥的母线长为 4，求圆锥的体积； （2）设 PO=4，OA，OB 是底面半径，且∠AOB=90°，M 为线段 AB 的中点，如图，求异面直线 PM 与 OB 所成的角 的大小.
参考答案
一、选择题
1.B 2.B 3.C 4.C 5.A 6.B 7.C
6.【2018 江苏卷 15】在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 AB, AB1 B1C1 ． 求证：（1） AB∥平面 A1B1C ； （2）平面 ABB1A1 平面 A1BC ．
7.【2018 江苏卷 22（附加题）】如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AA1=2， 点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点．
连结 OB．因为 AB=BC= 2 AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且 OB⊥AC，OB=
2 1
2 AC =2．
由 OP2 OB2 PB2 知，OP⊥OB．
由 OP⊥OB，OP⊥AC 知 PO⊥平面 ABC．
（2）作 CH⊥OM，垂足为 H．又由（1）可得 OP⊥CH， 所以 CH⊥平面 POM．
A．12 3
B．18 3
C． 24 3
D． 54 3
7.【2018 北京卷 6】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三 角形的个数为
A.1
B.2
C.3
D.4
2
11 侧侧侧
2 侧侧侧
侧侧侧
第 7 题图
第 8 题图
8.【2018 浙江卷 3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体 积（单位：cm3）是
二、填空题
1. 8
2. 1
3. 4
3
3
三、解答题
1.解 ： （ 1） 由 已 知 可 得 ， BAC =90° ，
BA⊥ AC ．
又 BA⊥AD，所以 AB⊥平面 ACD．
又 AB 平面 ABC，
所以平面 ACD⊥平面 ABC．
8.C 9.D 10.D
（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA= 3 2 ．
3
锥 Q ABP 的体积．
2.【 2018 全 国 二 卷 19】 如 图 ， 在 三 棱 锥 P ABC 中 ， AB BC 2 2 ， PA PB PC AC 4 ， O 为 AC 的中点．
（1）证明： PO 平面 ABC ； （2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC 2MB ，求点 C 到平面 POM 的距离．
3.【2018 全国三卷 19】如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 CAD 所在平面垂直，
M 是 CAD 上异于 C ， D 的点． （1）证明：平面 AMD ⊥平面 BMC ； （2）在线段 AM 上是否存在点 P ，使得 MC ∥平面 PBD ？说明理由．
4.【2018 北京卷 18】如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD⊥ 平面 ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点.
CD 4
所以，直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 3 ．
4
6.证明：（1）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB∥A1B1． 因为 AB 平面 A1B1C，A1B1 平面 A1B1C， 所以 AB∥平面 A1B1C． （2）在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，四边形 ABB1A1 为平行四边形． 又因为 AA1=AB，所以四边形 ABB1A1 为菱形， 因此 AB1⊥A1B． 又因为 AB1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以 AB1⊥BC． 又因为 A1B∩BC=B，A1B 平面 A1BC，BC 平面 A1BC， 所以 AB1⊥平面 A1BC． 因为 AB1 平面 ABB1A1， 所以平面 ABB1A1⊥平面 A1BC．
又 BP DQ 2 DA ，所以 BP 2 2 ．
3
作
QE⊥AC，垂足为
E，则 QE
A
1 DC ．
3
由已知及（1）可得 DC⊥平面 ABC，所以 QE⊥平面 ABC，QE=1．
因此，三棱锥 Q ABP 的体积为
VQ ABP
1 QE 3S△ABP Nhomakorabea1 1 3
1 2
3
2
2 sin 45 1．
2 解：（1）因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OP⊥AC，且 OP= 2 3 ．
《2018 年高考文科数学分类汇编》立体几何
一、选择题
1.【2018 全国一卷 5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1 ， O2 ，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为
A．12 2π
B．12π
C． 8 2π
D．10π
2.【2018 全国一卷 9】某圆柱的高为 2，底面周长为 16， 其三视图如图．圆柱表面上的点 M 在正视图上的 对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应 点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径 中，最短路径的长度为
∴ EF∥平面 PCD .
5.解：（Ⅰ）证明：由平面 ABC⊥平面 ABD，平面 ABC∩平面 ABD=AB，AD⊥AB， 可得 AD⊥平面 ABC，故 AD⊥BC．
（Ⅱ）解：取棱 AC 的中点 N，连接 MN，ND．又因为 M 为棱 AB 的中点， 故 MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线 BC 与 MD 所成的角．
C．θ1≤θ3≤θ2
D．θ2≤θ3≤θ1
10.【2018 上海卷 15】《九章算术》中，称底面为矩形而有 一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设 AA₁是正六棱柱的一 条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以 AA₁ 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）
（A）4 （B） 8（C）12 （D）16
A． 2 17
B． 2 5
C．3
D．2
3.【2018 全国一卷 10】在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 2 ， AC1与平面 BB1C1C 所成的角为 30 ，则该长方体的体积为
A． 8
B． 6 2
C． 8 2
D． 8 3
4.【2018 全国二卷 9】在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E 为棱 CC1 的中点，则异面直 线 AE 与 CD 所成角的正切值为
26
（Ⅲ）解：连接 CM．因为△ABC 为等边三角形，M 为边 AB 的中点，故 CM⊥AB， CM= 3 ．又因为平面 ABC⊥平面 ABD，而 CM 平面 ABC，故 CM⊥平面 ABD．所以，∠CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角．
在 Rt△CAD 中，CD= AC2 AD2 =4． 在 Rt△CMD 中， sin CDM CM 3 ．
3.【2018 江苏卷 10】如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的
多面体的体积为
．
三、解答题 1.【2018 全国一卷 18】如图，在平行四边形 ABCM 中， AB AC 3 ，∠ACM 90 ，
以 AC 为折痕将△ ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB ⊥ DA ． （1）证明：平面 ACD ⊥平面 ABC ； （2） Q 为线段 AD 上一点， P 为线段 BC 上一点，且 BP DQ 2 DA ，求三棱
A．2
B．4
C．6
D．8
9.【2018 浙江卷 8】已知四棱锥 S−ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是 线段 AB 上的点（不含端点），设 SE 与 BC 所成的角为 θ1，SE 与平面 ABCD 所成的角为 θ2，二面角 S−AB−C 的平面角为 θ 3，则
A．θ1≤θ2≤θ3
B．θ3≤θ2≤θ1
（Ⅰ）求证：PE⊥BC； （Ⅱ）求证：平面 PAB⊥平面 PCD； （Ⅲ）求证：EF∥平面 PCD.
5.【2018 天津卷 17】如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥ 平面 ABD，点 M 为棱 AB 的中点，AB=2，AD= 2 3 ，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC； （Ⅱ）求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值．
故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离．
由题设可知
OC=
1 2
AC
=2， CM=
2 BC
3
=
42 3
，∠
ACB=45°．
所以
OM=
25 3
，CH=
OC
MC sin ACB OM
=
45 5
．
所以点 C 到平面 POM 的距离为 4 5 ．
5
3.解：（1）由题设知，平面 CMD⊥平面 ABCD，交线为 CD． 因为 BC⊥CD，BC 平面 ABCD，所以 BC⊥平面 CMD，故 BC⊥DM． 因 为 M 为 CAD 上 异 于 C， D 的 点 ， 且 DC 为 直 径，所以 DM⊥CM． 又 BC∩CM=C，所以 DM⊥平面 BMC． 而 DM 平面 AMD，故平面 AMD⊥平面 BMC． （2）当 P 为 AM 的中点时，MC∥平面 PBD． 证明如下：连结 AC 交 BD 于 O．因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点． 连结 OP，因为 P 为 AM 中点，所以 MC∥OP．
二、填空题 1.【2018 全国二卷 16】已知圆锥的顶点为 S ，母线 SA ， SB 互相垂直， SA 与圆锥
底面所成角为 30 ，若 △SAB 的面积为 8 ，则该圆锥的体积为__________．
2.【2018 天津卷 11】如图，已知正方体 ABCD–A1B1C1D1 的棱长为 1，则四棱锥 A1–BB1D1D 的体积为__________．
∵ F,G 分别为 PB 和 PC 的中点，∴ FG∥BC ，且 FG 1 BC . 2
∵四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点， ∴ ED∥BC, DE 1 BC ，
2 ∴ ED∥FG ，且 ED FG ，∴四边形 EFGD 为平行四边形， ∴ EF∥GD . 又 EF 平面 PCD ， GD 平面 PCD ，