2016-2017学年上海市杨浦区高一(上)期中数学试卷

2016-2017学年上海市杨浦区高一（上）期中数学试卷
一、填空题
1．（5分）不等式|x ﹣1|＜1的解是 ．
2．（5分）设集合P={﹣3，0，2，4]，集合Q={x |﹣1＜x ＜3}，则P ∩Q= ．
3．（5分）命题“若x 2=1，则x=1”的否命题是 ．
4．（5分）已知x ，y ∈R +，且x +4y=1，则xy 的最大值为 ．
5．（5分）已知f （2x +1）=x 2﹣2x ，则f （3）= ．
6．（5分）若全集U=R ，函数y=√x −1的定义域为集合A ，则∁U A= ．
7．（5分）已知集合M ⊊{4，7，8}，则这样的集合M 共有 个．
8．（5分）若ab ＜0，则b a +a b
的最大值为 ． 9．（5分）若不等式ax 2+5x ﹣2＞0的解集是{x|12＜x ＜2}，则不等式ax 2﹣5x +（a 2
﹣1）＞0的解集是 ．
10．（5分）设α：1≤x ≤3，β：m +1≤x ≤2m +4，m ∈R ，若α是β的充分条件，则m 的取值范围是 ．
11．（5分）设x ，y 均为正实数，且xy ﹣2x ﹣2y=12，则xy 的取值范围为 ．
12．（5分）定义实数a ，b 间的计算法则如下：a △b={a ，a ≥b b 2，a ＜b
，则函数y=（1△x ）△x ﹣（2△x ）的值域为 （其中﹣2≤x ≤2）
二、选择题
13．（5分）若x ∈R ，则“x ＞2”是“x 2＞4”的（ ）条件．
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充分必要
D ．既不充分也不必要
14．（5分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．
A．如果a＞b，b＞c，那么a＞c
B．如果a＞b＞0，那么a2＞b2
C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立
D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc
15．（5分）已知x∈R，则下列f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．f（x）=x，g（x）=√x3B．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0
C．f（x）=(√x)2
x
，g（x）=
(√x)2
D．f（x）=
x2−9
x+3
，g（x）=x﹣3
16．（5分）若1
a
＜
1
b
＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜
ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题.
17．（12分）已知a∈R．
（1）求证：a2≥2a﹣1；
（2）解关于x的不等式（x﹣2）（x﹣a）＜0．
18．（12分）若不等式|x﹣2|﹣2＜0的解集为A，函数g（x）=√x2+x−2的定义域为B，U=R，求A、B及A∪∁U B．
19．（12分）已知f（x）=kx+2，不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），不等
式x
f(x)
≥1的解集为A；
（1）求实数k的值；
（2）设集合B={x|ax2﹣2x+2＞0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为96cm2，画面上下边要留3cm空白，左右要留2cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣
传画所用纸张面积最小？
21．（12分）对于函数f（x），称满足f（x0）=x0的x0为f（x）的“不动点”，称满足f[f（x0）]=x0的x0为f（x）的“稳定点”．
（1）求函数f（x）=x2的“不动点”；
（2）求函数f（x）=|x﹣1|的“稳定点”；
（3）已知函数y=f（x）=
ax
x+b
（a≠0，a≠±1，a≠2）有无数个“稳定点”，若x
∈{x|1≤x≤2且x≠﹣b}，求y的取值范围．（用a表示）．
2016-2017学年上海市杨浦区高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．（5分）不等式|x﹣1|＜1的解是{x|0＜x＜2} ．
【分析】由|x+a|＜b（b＞0），得﹣b＜x+a＜b．
【解答】解：∵不等式|x﹣1|＜1，
∴﹣1＜x﹣1＜1，
解得0＜x＜2．
∴不等式|x﹣1|＜1的解是{x|0＜x＜2}．
故答案为：{x|0＜x＜2}．
【点评】本题考查含绝对值不等式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式的性质的合理运用．
2．（5分）设集合P={﹣3，0，2，4]，集合Q={x|﹣1＜x＜3}，则P∩Q={0，2} ．
【分析】由P与Q，找出两集合的交集即可．
【解答】解：∵P={﹣3，0，2，4]，集合Q={x|﹣1＜x＜3}，
∴P∩Q={0，2}，
故答案为：{0，2}
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．（5分）命题“若x2=1，则x=1”的否命题是若x2≠1，则x≠1．
【分析】直接利用命题的否命题的定义，写出结果即可．
【解答】解：命题的否命题是同时对条件与结论进行否定．
命题“若x2=1，则x=1”的否命题是：若x2≠1，则x≠1；
故答案为：若x2≠1，则x≠1；
【点评】本题考查命题的否命题的定义，基本知识的考查．
4．（5分）已知x ，y ∈R +，且x +4y=1，则xy 的最大值为 116 ． 【分析】变形为x 与4y 的乘积，利用 基本不等式求最大值
【解答】解：xy =14x ⋅4y ≤14(x+4y 2)2=116，当且仅当x=4y=12
时取等号． 故应填116
． 【点评】考查利用基本不等式求最值，此为和定积最大型．
5．（5分）已知f （2x +1）=x 2﹣2x ，则f （3）= ﹣1 ．
【分析】【方法一】利用换元法求出f （x ）的解析式，再计算f （3）的值．
【方法二】根据题意，令2x +1=3，求出x=1，再计算f （3）的值．
【解答】解：【方法一】∵f （2x +1）=x 2﹣2x ，
设2x +1=t ，则x=t−12
， ∴f （t ）=(t−12)2﹣2×t−12=14t 2﹣32t +54
， ∴f （3）=14×32﹣32×3+54
=﹣1． 【方法二】∵f （2x +1）=x 2﹣2x ，
令2x +1=3，解得x=1，
∴f （3）=12﹣2×1=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了求函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目．
6．（5分）若全集U=R ，函数y=√x −1的定义域为集合A ，则∁U A= （﹣∞，1） ．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出集合A ，然后直接利用补集概念求解．
【解答】解：由x ﹣1≥0，得x ≤1，即A=[1，+∞）
又U=R ，所以∁U A=（﹣∞，1）．
故答案为：（﹣∞，1）．
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，考查了补集及其运算，是基础题．
7．（5分）已知集合M ⊊{4，7，8}，则这样的集合M 共有 7 个．
【分析】根据M 为已知集合的真子集，确定出满足题意M 的个数即可．
【解答】解：∵M ⊊{4，7，8}，
∴这样的集合M 共有23﹣1=7（个），
故答案为：7
【点评】此题考查了子集与真子集，熟练掌握真子集的性质是解本题的关键．
8．（5分）若ab ＜0，则b a +a b
的最大值为 ﹣2 ． 【分析】ab ＜0，则b a +a b
=﹣(−b a −a b )，利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：∵ab ＜0，则b a +a b
=﹣(−b a −a b )≤﹣2√−b a ⋅a −b =﹣2，当且仅当a=﹣b ＜0时取等号．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
9．（5分）若不等式ax 2+5x ﹣2＞0的解集是{x|12＜x ＜2}，则不等式ax 2﹣5x +（a 2
﹣1）＞0的解集是 (−3，12) ．
【分析】先由二次不等式的解集形式，判断出 12
，2是方程ax 2+5x ﹣2=0的两个根，利用韦达定理求出a 的值，再代入不等式ax 2﹣5x +a 2﹣1＞0易解出其解集．
【解答】解：∵ax 2+5x ﹣2＞0的解集是 {x|12＜x ＜2}，
∴a ＜0，且 12
，2是方程ax 2+5x ﹣2=0的两根 韦达定理12×2=−2a
，解得 a=﹣2； 则不等式ax 2﹣5x +a 2﹣1＞0即为﹣2x 2﹣5x +3＞0，
解得 {x|−3＜x ＜12}
故不等式ax 2﹣5x +a 2﹣1＞0的解集 (−3，12)．
故答案为：(−3，12)
【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及“三个二次”（三个二次指的是：二次函数，一元二次不等式，一元二次方程）之间的关系，“三个二次”之间的关系及应用是数形结合思想的典型代表．
10．（5分）设α：1≤x ≤3，β：m +1≤x ≤2m +4，m ∈R ，若α是β的充分条件，
则m 的取值范围是 ﹣12
≤m ≤0 ． 【分析】根据充分必要条件的定义可得{m +1≤12m +4≥3
即−12≤m ≤0， 【解答】解：∵α：1≤x ≤3，β：m +1≤x ≤2m +4，m ∈R ，
若α是β的充分条件，
令α：{x |1≤x ≤3}，β：{x |m +1≤x ≤2m +4，m ∈R ，}
∴集合α⊆β，
得{m +1≤12m +4≥3
即−12≤m ≤0， ∴故答案为：−12≤m ≤0，
【点评】本题考察了不等式，充分必要条件的定义，属于简单题目，难度不大．
11．（5分）设x ，y 均为正实数，且xy ﹣2x ﹣2y=12，则xy 的取值范围为 [36，+∞） ．
【分析】x ，y 均为正实数，且xy ﹣2x ﹣2y=12，可得xy=12+2x +2y ≥12+2×2√，化为：(√xy)2﹣4√xy ﹣12≥0，解出即可得出．
【解答】解：∵x ，y 均为正实数，且xy ﹣2x ﹣2y=12，
则xy=12+2x +2y ≥12+2×2√xy ，
化为：(√xy)2﹣4√xy ﹣12≥0，即(√xy −6)(√xy +2)≥0，
解得√xy ≥6，∴xy ≥36．当且仅当x=y=6时取等号．
xy 的取值范围为[36，+∞）．
故答案为：[36，+∞）．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）定义实数a ，b 间的计算法则如下：a △b={a ，a ≥b b 2，a ＜b
，则函数y=（1△x ）△x ﹣（2△x ）的值域为 [﹣1，2] （其中﹣2≤x ≤2）
【分析】根据新计算法则和﹣2≤x ≤2，分别求出（1△x ）△x 和（2△x ）代入求出即可．
【解答】解：由新计算法则（1△x ）={1，−2≤x ≤1x 2，1＜x ≤2
，2△x=2 函数y=（1△x ）△x ﹣（2△x ）={
−1，−2≤x ≤1x 2−2，1＜x ≤2
函数的值域为[﹣1，2]．
故答案为[﹣1，2]．
【点评】本题考查了新定义问题，考查了函数解析式的求法，是一道中档题．
二、选择题
13．（5分）若x ∈R ，则“x ＞2”是“x 2＞4”的（ ）条件．
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充分必要
D ．既不充分也不必要 【分析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性即可．
【解答】解：若x ＞2，则x 2＞4，是充分条件，
若x 2＞4，则x ＞2，不是必要条件，
故选：A ．
【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．
14．（5分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．
A ．如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c
B ．如果a ＞b ＞0，那么a 2＞b 2
C ．对任意实数a 和b ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时等号成立
D ．如果a ＞b ，c ＞0那么ac ＞bc
【分析】可将直角三角形的两直角边长度取作a ，b ，斜边为c （c 2=a 2+b 2），可得外围的正方形的面积为c 2，也就是a 2+b 2，四个阴影面积之和刚好为2ab ，可得对任意正实数a 和b ，有a 2+b 2≥2ab ，即可得出．
【解答】解：可将直角三角形的两直角边长度取作a ，b ，斜边为c （c 2=a 2+b 2）， 则外围的正方形的面积为c 2，也就是a 2+b 2，四个阴影面积之和刚好为2ab ， 对任意正实数a 和b ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a=b 时等号成立．
故选：C ．
【点评】本题考查了基本不等式的性质、正方形的面积计算公式，考查了推理能力，属于基础题．
15．（5分）已知x ∈R ，则下列f （x ）与g （x ）表示同一个函数的是（ ）
A ．f （x ）=x ，g （x ）=√x 3
B ．f （x ）=1，g （x ）=（x ﹣1）0
C ．f （x ）=(√x)2x ，g （x ）=(√x)2
D ．f （x ）=x 2−9x+3
，g （x ）=x ﹣3 【分析】逐一分析给定五组函数的定义域和解析式是否一致，进而根据同一函数的定义，可得答案．
【解答】解：f （x ）=x 与g （x ）=√x 3=x 解析式与定义域均相同，是同一函数； f （x ）=1与g （x ）=（x ﹣1）0，（x ≠1）定义域不同，不是同一函数；
f （x ）=(√x)2x =1，（x ≥0）与
g （x ）=(√x)2
=1，（x ＞0）定义域不同，不是同一函数；
f（x）=x2−9
x+3
=x﹣3，（x≠﹣3）与g（x）=x﹣3定义域不同，不是同一函数；
故选：A
【点评】本题考查的知识点是同一函数，正确理解同一函数的定义，是解答的关键．
16．（5分）若1
a
＜
1
b
＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|；②a＜b；③a+b＜
ab，④a3＞b3，不正确的不等式的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】由条件可得0＞a＞b，代入各个选项，检验各个选项是否正确．
【解答】解：由1
a
＜
1
b
＜0，可得0＞a＞b，∴|a|＜|b|，故①②不成立；
∴a+b＜0＜ab，a3＞b3都成立，故③④一定正确，
故选C．
【点评】本题考查不等式的性质的应用，解题的关键是判断出0＞a＞b．
三、解答题.
17．（12分）已知a∈R．
（1）求证：a2≥2a﹣1；
（2）解关于x的不等式（x﹣2）（x﹣a）＜0．
【分析】（1）利用作差即可求证．
（2）求解方程x﹣2）（x﹣a）=0两个根，对a进行讨论可得不等式的解集．【解答】（1）证明：a2≥2a﹣1；
令y=a2﹣2a+1=（a﹣1）2≥0，
即a2≥2a﹣1；
解：（2）不等式（x﹣2）（x﹣a）＜0．
可得方程（x﹣2）（x﹣a）=0的两个根分别为x1=2，x2=a．
当a＜2时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2}；
当a=2时，即（x﹣2）2（＜0．原不等式无解．
当a＞2时，原不等式的解集为{x|2＜x＜a}；
【点评】本题考查不等式的解法，二次不等式的讨论思想，考查运算能力，属于基础题．
18．（12分）若不等式|x﹣2|﹣2＜0的解集为A，函数g（x）=√x2+x−2的定义域为B，U=R，求A、B及A∪∁U B．
【分析】运用绝对值不等式和二次不等式的解法，化简集合A，B，再由补集和并集的定义，即可得到所求集合．
【解答】解：不等式|x﹣2|﹣2＜0，
即有|x﹣2|＜2，
即﹣2＜x﹣2＜2，即0＜x＜4，
A={x|0＜x＜4}；
而B={x|x2+x﹣2≥0}={x|x≥1或x≤﹣2}，
∁U B={x|﹣2＜x＜1}，
则A∪∁U B={x|﹣2＜x＜4}．
【点评】本题考查集合的化简和运算，注意运用绝对值不等式和俄日此不等式的解法，以及并集和补集的定义，属于中档题．
19．（12分）已知f（x）=kx+2，不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），不等
式x
f(x)
≥1的解集为A；
（1）求实数k的值；
（2）设集合B={x|ax2﹣2x+2＞0}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．
【分析】（1）根据不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），即可求解k的值；
（2）不等式
x
f(x)
≥1，利用移项，通分，转化不等式求解A．集合B={x|ax2﹣2x+2
＞0}，A∩B≠∅，集合A，B由公共解，从而求解实数a的取值范围．
【解答】解：（1）不等式|f（x）|＜3的解集为（﹣1，5），即﹣3＜kx+2＜3．可得：﹣5＜kx＜1，
∵不等式的解集为（﹣1，5），
则k=﹣1．
（2）由不等式x f(x)≥1，即x −x+2≥1， 可得：x+x−22−x
≥0 等价于（2x ﹣2）（2﹣x ）≥0，且2﹣x ≠0．
可得不等式的解集A={x |1＜x ＜2}．
集合B={x |ax 2﹣2x +2＞0}，令g （x ）=ax 2﹣2x +2
∵A ∩B ≠∅，
当a=0，可得2＞2x ，
则x ＜1，
此时A ∩B=∅，
当a ≠0，当A ∩B=∅，
则{ a ＞0f(1)＜0f(2)＜0或{
a ＜0f(1)＞0f(2)＞0 解得：a ＜0，
那么A ∩B ≠∅，则a ≥0．
综上可得a ＞0．即实数a 的取值范围是（0，+∞）．
【点评】本题考查不等式的解法，主要考查分式不等式的解法与集合的有解问题，转化为二次不等式问题，考查运算能力，属于中档题．
20．（12分）如图，设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为96cm 2，画面上下边要留3cm 空白，左右要留2cm 空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
【分析】设画面高为xcm ，宽为ycm ，依意有xy=96，x ＞0，y ＞0，可得所需纸
张面积S=（x +6）（y +4）=xy +6y +4x +24，即S=120+6y +4x ，x ＞0，y ＞0，xy=96，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：设画面高为xcm ，宽为ycm ，
依意有xy=96，x ＞0，y ＞0，
则所需纸张面积S=（x +6）（y +4）=xy +6y +4x +24，
即S=120+6y +4x ，
∵x ＞0，y ＞0，xy=96
∴6y +4x ≥2√24xy =96，
当且仅当6y=4x ，即x=12，y=8时等号成立．
即当画面高为12cm ，宽为8cm 时，所需纸张面积最小为216cm 2．
【点评】本题考查了矩形面积、一元二次不等式的解法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．（12分）对于函数f （x ），称满足f （x 0）=x 0的x 0为f （x ）的“不动点”，称满足f [f （x 0）]=x 0的x 0为f （x ）的“稳定点”．
（1）求函数f （x ）=x 2的“不动点”；
（2）求函数f （x ）=|x ﹣1|的“稳定点”；
（3）已知函数y=f （x ）=ax x+b （a ≠0，a ≠±1，a ≠2）有无数个“稳定点”，若x
∈{x |1≤x ≤2且x ≠﹣b }，求y 的取值范围．（用a 表示）．
【分析】（1）令f （x ）=x ，即x 2=x ，可得函数f （x ）=x 2的“不动点”；
（2）令f [f （x ）]=x ，即||x ﹣1|﹣1|=x ，可得函数f （x ）=|x ﹣1|的“稳定点”；
（3）若函数y=f （x ）=ax x+b （a ≠0，a ≠±1，a ≠2）有无数个“稳定点”，即a⋅ax x+b
ax x+b +b =x 有无数个解，即（a +b ）x 2+（b 2﹣a 2）x=0有无数个解，故a +b=0，即a=﹣b ，分析函数的单调性，进而可得y 的取值范围．
【解答】解：（1）令f （x ）=x ，即x 2=x
解得：x=0，或x=1，
即函数f （x ）=x 2的“不动点”为0和1；
（2）令f [f （x ）]=x ，
即||x﹣1|﹣1|=x易得：x≥0
当x∈[0，1]时，||x﹣1|﹣1|=|1﹣x﹣1|=|﹣x|=x恒成立，
当x∈[1，+∞）时，||x﹣1|﹣1|=|x﹣1﹣1|=|x﹣2|=x恒不成立，故[0，1]上的每一个数均为函数f（x）=|x﹣1|的“稳定点”；
（3）若函数y=f（x）=ax
x+b
（a≠0，a≠±1，a≠2）有无数个“稳定点”，
即a⋅ax x+b ax
x+b +b
=x有无数个解，
即（a+b）x2+（b2﹣a2）x=0有无数个解，故a+b=0，即a=﹣b，
则f（x）=
ax
x+b
=
ax
x−a
=a+
a2
x−a
，
当x∈{x|1≤x≤2且x≠﹣b}，即x∈{x|1≤x≤2且x≠a}时，f（x）为减函数，
故当x=1时，函数取最大值
a
1−a
，
故当x=2时，函数取最小值
2a
2−a
，
故y∈[
2a
2−a
，
a
1−a
]
【点评】本题考查的知识点是不动点和稳定点的定义，函数的值域，难度中档．。