2016-2017学年上海市杨浦区高一(上)期中数学试卷
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2016-2017学年上海市杨浦区高一(上)期中数学试卷
一、填空题
1.(5分)不等式|x ﹣1|<1的解是 .
2.(5分)设集合P={﹣3,0,2,4],集合Q={x |﹣1<x <3},则P ∩Q= .
3.(5分)命题“若x 2=1,则x=1”的否命题是 .
4.(5分)已知x ,y ∈R +,且x +4y=1,则xy 的最大值为 .
5.(5分)已知f (2x +1)=x 2﹣2x ,则f (3)= .
6.(5分)若全集U=R ,函数y=√x −1的定义域为集合A ,则∁U A= .
7.(5分)已知集合M ⊊{4,7,8},则这样的集合M 共有 个.
8.(5分)若ab <0,则b a +a b
的最大值为 . 9.(5分)若不等式ax 2+5x ﹣2>0的解集是{x|12<x <2},则不等式ax 2﹣5x +(a 2
﹣1)>0的解集是 .
10.(5分)设α:1≤x ≤3,β:m +1≤x ≤2m +4,m ∈R ,若α是β的充分条件,则m 的取值范围是 .
11.(5分)设x ,y 均为正实数,且xy ﹣2x ﹣2y=12,则xy 的取值范围为 .
12.(5分)定义实数a ,b 间的计算法则如下:a △b={a ,a ≥b b 2,a <b
,则函数y=(1△x )△x ﹣(2△x )的值域为 (其中﹣2≤x ≤2)
二、选择题
13.(5分)若x ∈R ,则“x >2”是“x 2>4”的( )条件.
A .充分不必要
B .必要不充分
C .充分必要
D .既不充分也不必要
14.(5分)三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示,我们教材中利用该图作为“( )”的几何解释.
A.如果a>b,b>c,那么a>c
B.如果a>b>0,那么a2>b2
C.对任意实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立
D.如果a>b,c>0那么ac>bc
15.(5分)已知x∈R,则下列f(x)与g(x)表示同一个函数的是()A.f(x)=x,g(x)=√x3B.f(x)=1,g(x)=(x﹣1)0
C.f(x)=(√x)2
x
,g(x)=
(√x)2
D.f(x)=
x2−9
x+3
,g(x)=x﹣3
16.(5分)若1
a
<
1
b
<0,有下面四个不等式:①|a|>|b|;②a<b;③a+b<
ab,④a3>b3,不正确的不等式的个数是()
A.0 B.1 C.2 D.3
三、解答题.
17.(12分)已知a∈R.
(1)求证:a2≥2a﹣1;
(2)解关于x的不等式(x﹣2)(x﹣a)<0.
18.(12分)若不等式|x﹣2|﹣2<0的解集为A,函数g(x)=√x2+x−2的定义域为B,U=R,求A、B及A∪∁U B.
19.(12分)已知f(x)=kx+2,不等式|f(x)|<3的解集为(﹣1,5),不等
式x
f(x)
≥1的解集为A;
(1)求实数k的值;
(2)设集合B={x|ax2﹣2x+2>0},若A∩B≠∅,求实数a的取值范围.20.(12分)如图,设计一幅矩形宣传画,要求画面面积为96cm2,画面上下边要留3cm空白,左右要留2cm空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,才能使宣
传画所用纸张面积最小?
21.(12分)对于函数f(x),称满足f(x0)=x0的x0为f(x)的“不动点”,称满足f[f(x0)]=x0的x0为f(x)的“稳定点”.
(1)求函数f(x)=x2的“不动点”;
(2)求函数f(x)=|x﹣1|的“稳定点”;
(3)已知函数y=f(x)=
ax
x+b
(a≠0,a≠±1,a≠2)有无数个“稳定点”,若x
∈{x|1≤x≤2且x≠﹣b},求y的取值范围.(用a表示).
2016-2017学年上海市杨浦区高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1.(5分)不等式|x﹣1|<1的解是{x|0<x<2} .
【分析】由|x+a|<b(b>0),得﹣b<x+a<b.
【解答】解:∵不等式|x﹣1|<1,
∴﹣1<x﹣1<1,
解得0<x<2.
∴不等式|x﹣1|<1的解是{x|0<x<2}.
故答案为:{x|0<x<2}.
【点评】本题考查含绝对值不等式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意不等式的性质的合理运用.
2.(5分)设集合P={﹣3,0,2,4],集合Q={x|﹣1<x<3},则P∩Q={0,2} .
【分析】由P与Q,找出两集合的交集即可.
【解答】解:∵P={﹣3,0,2,4],集合Q={x|﹣1<x<3},
∴P∩Q={0,2},
故答案为:{0,2}
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
3.(5分)命题“若x2=1,则x=1”的否命题是若x2≠1,则x≠1.
【分析】直接利用命题的否命题的定义,写出结果即可.
【解答】解:命题的否命题是同时对条件与结论进行否定.
命题“若x2=1,则x=1”的否命题是:若x2≠1,则x≠1;
故答案为:若x2≠1,则x≠1;
【点评】本题考查命题的否命题的定义,基本知识的考查.
4.(5分)已知x ,y ∈R +,且x +4y=1,则xy 的最大值为 116 . 【分析】变形为x 与4y 的乘积,利用 基本不等式求最大值
【解答】解:xy =14x ⋅4y ≤14(x+4y 2)2=116,当且仅当x=4y=12
时取等号. 故应填116
. 【点评】考查利用基本不等式求最值,此为和定积最大型.
5.(5分)已知f (2x +1)=x 2﹣2x ,则f (3)= ﹣1 .
【分析】【方法一】利用换元法求出f (x )的解析式,再计算f (3)的值.
【方法二】根据题意,令2x +1=3,求出x=1,再计算f (3)的值.
【解答】解:【方法一】∵f (2x +1)=x 2﹣2x ,
设2x +1=t ,则x=t−12
, ∴f (t )=(t−12)2﹣2×t−12=14t 2﹣32t +54
, ∴f (3)=14×32﹣32×3+54
=﹣1. 【方法二】∵f (2x +1)=x 2﹣2x ,
令2x +1=3,解得x=1,
∴f (3)=12﹣2×1=﹣1.
故答案为:﹣1.
【点评】本题考查了求函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题,是基础题目.
6.(5分)若全集U=R ,函数y=√x −1的定义域为集合A ,则∁U A= (﹣∞,1) .
【分析】由根式内部的代数式大于等于0求出集合A ,然后直接利用补集概念求解.
【解答】解:由x ﹣1≥0,得x ≤1,即A=[1,+∞)
又U=R ,所以∁U A=(﹣∞,1).
故答案为:(﹣∞,1).
【点评】本题考查了函数的定义域及其求法,考查了补集及其运算,是基础题.
7.(5分)已知集合M ⊊{4,7,8},则这样的集合M 共有 7 个.
【分析】根据M 为已知集合的真子集,确定出满足题意M 的个数即可.
【解答】解:∵M ⊊{4,7,8},
∴这样的集合M 共有23﹣1=7(个),
故答案为:7
【点评】此题考查了子集与真子集,熟练掌握真子集的性质是解本题的关键.
8.(5分)若ab <0,则b a +a b
的最大值为 ﹣2 . 【分析】ab <0,则b a +a b
=﹣(−b a −a b ),利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵ab <0,则b a +a b
=﹣(−b a −a b )≤﹣2√−b a ⋅a −b =﹣2,当且仅当a=﹣b <0时取等号.
故答案为:﹣2.
【点评】本题考查了基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
9.(5分)若不等式ax 2+5x ﹣2>0的解集是{x|12<x <2},则不等式ax 2﹣5x +(a 2
﹣1)>0的解集是 (−3,12) .
【分析】先由二次不等式的解集形式,判断出 12
,2是方程ax 2+5x ﹣2=0的两个根,利用韦达定理求出a 的值,再代入不等式ax 2﹣5x +a 2﹣1>0易解出其解集.
【解答】解:∵ax 2+5x ﹣2>0的解集是 {x|12<x <2},
∴a <0,且 12
,2是方程ax 2+5x ﹣2=0的两根 韦达定理12×2=−2a
,解得 a=﹣2; 则不等式ax 2﹣5x +a 2﹣1>0即为﹣2x 2﹣5x +3>0,
解得 {x|−3<x <12}
故不等式ax 2﹣5x +a 2﹣1>0的解集 (−3,12).
故答案为:(−3,12)
【点评】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法,及“三个二次”(三个二次指的是:二次函数,一元二次不等式,一元二次方程)之间的关系,“三个二次”之间的关系及应用是数形结合思想的典型代表.
10.(5分)设α:1≤x ≤3,β:m +1≤x ≤2m +4,m ∈R ,若α是β的充分条件,
则m 的取值范围是 ﹣12
≤m ≤0 . 【分析】根据充分必要条件的定义可得{m +1≤12m +4≥3
即−12≤m ≤0, 【解答】解:∵α:1≤x ≤3,β:m +1≤x ≤2m +4,m ∈R ,
若α是β的充分条件,
令α:{x |1≤x ≤3},β:{x |m +1≤x ≤2m +4,m ∈R ,}
∴集合α⊆β,
得{m +1≤12m +4≥3
即−12≤m ≤0, ∴故答案为:−12≤m ≤0,
【点评】本题考察了不等式,充分必要条件的定义,属于简单题目,难度不大.
11.(5分)设x ,y 均为正实数,且xy ﹣2x ﹣2y=12,则xy 的取值范围为 [36,+∞) .
【分析】x ,y 均为正实数,且xy ﹣2x ﹣2y=12,可得xy=12+2x +2y ≥12+2×2√,化为:(√xy)2﹣4√xy ﹣12≥0,解出即可得出.
【解答】解:∵x ,y 均为正实数,且xy ﹣2x ﹣2y=12,
则xy=12+2x +2y ≥12+2×2√xy ,
化为:(√xy)2﹣4√xy ﹣12≥0,即(√xy −6)(√xy +2)≥0,
解得√xy ≥6,∴xy ≥36.当且仅当x=y=6时取等号.
xy 的取值范围为[36,+∞).
故答案为:[36,+∞).
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法、“乘1法”与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
12.(5分)定义实数a ,b 间的计算法则如下:a △b={a ,a ≥b b 2,a <b
,则函数y=(1△x )△x ﹣(2△x )的值域为 [﹣1,2] (其中﹣2≤x ≤2)
【分析】根据新计算法则和﹣2≤x ≤2,分别求出(1△x )△x 和(2△x )代入求出即可.
【解答】解:由新计算法则(1△x )={1,−2≤x ≤1x 2,1<x ≤2
,2△x=2 函数y=(1△x )△x ﹣(2△x )={
−1,−2≤x ≤1x 2−2,1<x ≤2
函数的值域为[﹣1,2].
故答案为[﹣1,2].
【点评】本题考查了新定义问题,考查了函数解析式的求法,是一道中档题.
二、选择题
13.(5分)若x ∈R ,则“x >2”是“x 2>4”的( )条件.
A .充分不必要
B .必要不充分
C .充分必要
D .既不充分也不必要 【分析】根据充分必要条件的定义分别判断充分性和必要性即可.
【解答】解:若x >2,则x 2>4,是充分条件,
若x 2>4,则x >2,不是必要条件,
故选:A .
【点评】本题考查了充分必要条件,是一道基础题.
14.(5分)三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示,我们教材中利用该图作为“( )”的几何解释.
A .如果a >b ,b >c ,那么a >c
B .如果a >b >0,那么a 2>b 2
C .对任意实数a 和b ,有a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时等号成立
D .如果a >b ,c >0那么ac >bc
【分析】可将直角三角形的两直角边长度取作a ,b ,斜边为c (c 2=a 2+b 2),可得外围的正方形的面积为c 2,也就是a 2+b 2,四个阴影面积之和刚好为2ab ,可得对任意正实数a 和b ,有a 2+b 2≥2ab ,即可得出.
【解答】解:可将直角三角形的两直角边长度取作a ,b ,斜边为c (c 2=a 2+b 2), 则外围的正方形的面积为c 2,也就是a 2+b 2,四个阴影面积之和刚好为2ab , 对任意正实数a 和b ,有a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时等号成立.
故选:C .
【点评】本题考查了基本不等式的性质、正方形的面积计算公式,考查了推理能力,属于基础题.
15.(5分)已知x ∈R ,则下列f (x )与g (x )表示同一个函数的是( )
A .f (x )=x ,g (x )=√x 3
B .f (x )=1,g (x )=(x ﹣1)0
C .f (x )=(√x)2x ,g (x )=(√x)2
D .f (x )=x 2−9x+3
,g (x )=x ﹣3 【分析】逐一分析给定五组函数的定义域和解析式是否一致,进而根据同一函数的定义,可得答案.
【解答】解:f (x )=x 与g (x )=√x 3=x 解析式与定义域均相同,是同一函数; f (x )=1与g (x )=(x ﹣1)0,(x ≠1)定义域不同,不是同一函数;
f (x )=(√x)2x =1,(x ≥0)与
g (x )=(√x)2
=1,(x >0)定义域不同,不是同一函数;
f(x)=x2−9
x+3
=x﹣3,(x≠﹣3)与g(x)=x﹣3定义域不同,不是同一函数;
故选:A
【点评】本题考查的知识点是同一函数,正确理解同一函数的定义,是解答的关键.
16.(5分)若1
a
<
1
b
<0,有下面四个不等式:①|a|>|b|;②a<b;③a+b<
ab,④a3>b3,不正确的不等式的个数是()
A.0 B.1 C.2 D.3
【分析】由条件可得0>a>b,代入各个选项,检验各个选项是否正确.
【解答】解:由1
a
<
1
b
<0,可得0>a>b,∴|a|<|b|,故①②不成立;
∴a+b<0<ab,a3>b3都成立,故③④一定正确,
故选C.
【点评】本题考查不等式的性质的应用,解题的关键是判断出0>a>b.
三、解答题.
17.(12分)已知a∈R.
(1)求证:a2≥2a﹣1;
(2)解关于x的不等式(x﹣2)(x﹣a)<0.
【分析】(1)利用作差即可求证.
(2)求解方程x﹣2)(x﹣a)=0两个根,对a进行讨论可得不等式的解集.【解答】(1)证明:a2≥2a﹣1;
令y=a2﹣2a+1=(a﹣1)2≥0,
即a2≥2a﹣1;
解:(2)不等式(x﹣2)(x﹣a)<0.
可得方程(x﹣2)(x﹣a)=0的两个根分别为x1=2,x2=a.
当a<2时,原不等式的解集为{x|a<x<2};
当a=2时,即(x﹣2)2(<0.原不等式无解.
当a>2时,原不等式的解集为{x|2<x<a};
【点评】本题考查不等式的解法,二次不等式的讨论思想,考查运算能力,属于基础题.
18.(12分)若不等式|x﹣2|﹣2<0的解集为A,函数g(x)=√x2+x−2的定义域为B,U=R,求A、B及A∪∁U B.
【分析】运用绝对值不等式和二次不等式的解法,化简集合A,B,再由补集和并集的定义,即可得到所求集合.
【解答】解:不等式|x﹣2|﹣2<0,
即有|x﹣2|<2,
即﹣2<x﹣2<2,即0<x<4,
A={x|0<x<4};
而B={x|x2+x﹣2≥0}={x|x≥1或x≤﹣2},
∁U B={x|﹣2<x<1},
则A∪∁U B={x|﹣2<x<4}.
【点评】本题考查集合的化简和运算,注意运用绝对值不等式和俄日此不等式的解法,以及并集和补集的定义,属于中档题.
19.(12分)已知f(x)=kx+2,不等式|f(x)|<3的解集为(﹣1,5),不等
式x
f(x)
≥1的解集为A;
(1)求实数k的值;
(2)设集合B={x|ax2﹣2x+2>0},若A∩B≠∅,求实数a的取值范围.
【分析】(1)根据不等式|f(x)|<3的解集为(﹣1,5),即可求解k的值;
(2)不等式
x
f(x)
≥1,利用移项,通分,转化不等式求解A.集合B={x|ax2﹣2x+2
>0},A∩B≠∅,集合A,B由公共解,从而求解实数a的取值范围.
【解答】解:(1)不等式|f(x)|<3的解集为(﹣1,5),即﹣3<kx+2<3.可得:﹣5<kx<1,
∵不等式的解集为(﹣1,5),
则k=﹣1.
(2)由不等式x f(x)≥1,即x −x+2≥1, 可得:x+x−22−x
≥0 等价于(2x ﹣2)(2﹣x )≥0,且2﹣x ≠0.
可得不等式的解集A={x |1<x <2}.
集合B={x |ax 2﹣2x +2>0},令g (x )=ax 2﹣2x +2
∵A ∩B ≠∅,
当a=0,可得2>2x ,
则x <1,
此时A ∩B=∅,
当a ≠0,当A ∩B=∅,
则{ a >0f(1)<0f(2)<0或{
a <0f(1)>0f(2)>0 解得:a <0,
那么A ∩B ≠∅,则a ≥0.
综上可得a >0.即实数a 的取值范围是(0,+∞).
【点评】本题考查不等式的解法,主要考查分式不等式的解法与集合的有解问题,转化为二次不等式问题,考查运算能力,属于中档题.
20.(12分)如图,设计一幅矩形宣传画,要求画面面积为96cm 2,画面上下边要留3cm 空白,左右要留2cm 空白,怎样确定画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?
【分析】设画面高为xcm ,宽为ycm ,依意有xy=96,x >0,y >0,可得所需纸
张面积S=(x +6)(y +4)=xy +6y +4x +24,即S=120+6y +4x ,x >0,y >0,xy=96,利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:设画面高为xcm ,宽为ycm ,
依意有xy=96,x >0,y >0,
则所需纸张面积S=(x +6)(y +4)=xy +6y +4x +24,
即S=120+6y +4x ,
∵x >0,y >0,xy=96
∴6y +4x ≥2√24xy =96,
当且仅当6y=4x ,即x=12,y=8时等号成立.
即当画面高为12cm ,宽为8cm 时,所需纸张面积最小为216cm 2.
【点评】本题考查了矩形面积、一元二次不等式的解法、基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
21.(12分)对于函数f (x ),称满足f (x 0)=x 0的x 0为f (x )的“不动点”,称满足f [f (x 0)]=x 0的x 0为f (x )的“稳定点”.
(1)求函数f (x )=x 2的“不动点”;
(2)求函数f (x )=|x ﹣1|的“稳定点”;
(3)已知函数y=f (x )=ax x+b (a ≠0,a ≠±1,a ≠2)有无数个“稳定点”,若x
∈{x |1≤x ≤2且x ≠﹣b },求y 的取值范围.(用a 表示).
【分析】(1)令f (x )=x ,即x 2=x ,可得函数f (x )=x 2的“不动点”;
(2)令f [f (x )]=x ,即||x ﹣1|﹣1|=x ,可得函数f (x )=|x ﹣1|的“稳定点”;
(3)若函数y=f (x )=ax x+b (a ≠0,a ≠±1,a ≠2)有无数个“稳定点”,即a⋅ax x+b
ax x+b +b =x 有无数个解,即(a +b )x 2+(b 2﹣a 2)x=0有无数个解,故a +b=0,即a=﹣b ,分析函数的单调性,进而可得y 的取值范围.
【解答】解:(1)令f (x )=x ,即x 2=x
解得:x=0,或x=1,
即函数f (x )=x 2的“不动点”为0和1;
(2)令f [f (x )]=x ,
即||x﹣1|﹣1|=x易得:x≥0
当x∈[0,1]时,||x﹣1|﹣1|=|1﹣x﹣1|=|﹣x|=x恒成立,
当x∈[1,+∞)时,||x﹣1|﹣1|=|x﹣1﹣1|=|x﹣2|=x恒不成立,故[0,1]上的每一个数均为函数f(x)=|x﹣1|的“稳定点”;
(3)若函数y=f(x)=ax
x+b
(a≠0,a≠±1,a≠2)有无数个“稳定点”,
即a⋅ax x+b ax
x+b +b
=x有无数个解,
即(a+b)x2+(b2﹣a2)x=0有无数个解,故a+b=0,即a=﹣b,
则f(x)=
ax
x+b
=
ax
x−a
=a+
a2
x−a
,
当x∈{x|1≤x≤2且x≠﹣b},即x∈{x|1≤x≤2且x≠a}时,f(x)为减函数,
故当x=1时,函数取最大值
a
1−a
,
故当x=2时,函数取最小值
2a
2−a
,
故y∈[
2a
2−a
,
a
1−a
]
【点评】本题考查的知识点是不动点和稳定点的定义,函数的值域,难度中档.。