高考数学二轮复习 第二篇 熟练规范 中档大题保高分 第26练 概率与统计练习 文

第26练概率与统计
[明考情]
概率与统计是高考的必考题，古典概型与统计的结合是命题的热点，难度中档，一般在18题或19题的位置.
[知考向]
1.随机事件的概率.
2.古典概型与几何概型.
3.概率与统计的综合问题.
考点一随机事件的概率
要点重组(1)“互斥事件”与“对立事件”：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件.
(2)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；,若事件A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1.
1.某战士射击一次，问：
(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？
(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？
解(1)设中靶为事件A，则不中靶为A，
则由对立事件的概率公式，可得P(A)＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.
(2)设命中10环为事件B，命中9环为事件C，命中8环为事件D，至少命中8环为事件E，由题意知，P(B)＝0.27，P(C)＝0.21，P(D)＝0.24，
则P(E)＝P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.27＋0.21＋0.24＝0.72.
记至少命中9环为事件F，
则P(F)＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0.27＋0.21＝0.48.
故不够9环为F，
则P(F)＝1－P(F)＝1－0.48＝0.52.
2.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.
3.
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.
解 记A 表示事件：该车主购买甲种保险；
B 表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
C 表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；
D 表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买.
(1)由题意得P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，又C ＝A ∪B ，
所以P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.5＋0.3＝0.8.
(2)因为D 与C 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2.
考点二 古典概型与几何概型 要点重组 (1)古典概型的两个特征：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件发生的可能性相等.
(2)几何概型将古典概型的有限性推广到无限性，几何概型的测度包括长度、面积、角度、体积等.
3.一个盒子中装有四张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片，每张卡片被抽到的概率相等.
(1)若一次抽取三张卡片，求抽到的三张卡片上的数字之和大于7的概率；
(2)若第一次抽取一张卡片，放回搅匀后再抽取一张卡片，求两次抽取中至少有一次抽到写有数字3的卡片的概率.
解 (1)设A 表示事件“抽到的三张卡片上的数字之和大于7”，
抽取三张卡片，三张卡片上的数字的所有可能的结果是{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，
{2，3，4}，其中数字之和大于7的是{1，3，4}，{2，3，4}，所以事件A 的概率P (A )＝24＝12
. (2)设B 表示事件“两次抽取中至少有一次抽到写有数字3的卡片”，第一次抽一张，放回后再抽取一张卡片的所有可能的情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个.
事件B 包含的基本事件有(1，3)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，共7个.
所以事件B 的概率P (B )＝716
. 4.已知A ，B 两个盒子中分别装有标记为1，2，3，4的大小相同的四个小球，甲从A 盒中等可能地取出1个球，乙从B 盒中等可能地取出1个球.
(1)用有序数对(i ，j )表示事件“甲抽到标号为i 的小球，乙抽到标号为j 的小球”，试写出所有可能的事件；
(2)甲、乙两人玩游戏，约定规则：若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；反之，则乙胜.
你认为此规则是否公平？请说明理由.
解 (1)甲、乙两人抽到的小球的所有情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，
2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，
4)，共16种不同的情况.
(2)甲抽到的小球的标号比乙大，有(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共
6种情况，故甲胜的概率P 1＝616＝38，乙获胜的概率为P 2＝1－38＝58
. 因为38≠58
，所以此游戏不公平. 5.(2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率. 解 (1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，共15个.
所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3个，
则所求事件的概率为P ＝315＝15
. (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，共9个. 包括A 1但不包括B 1的事件所包含的基本事件有{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个，
则所求事件的概率为P ＝29
. 6.已知集合A ＝[－2，2]，B ＝[－1，1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y ).
(1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率；
(2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于
22的概率. 解 (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.
因为圆x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为P 1＝S 1S ＝π8
. (2)由题意得|x ＋y |2
≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分所示，阴影部分面积S 2＝4，
所以所求概率为P ＝S 2S ＝12
. 7.花园小区内有一块三边长分别是5 m ，5 m ，6 m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑小花猫的大小，求在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m 的概率.
解 如图所示，分别以三角形ABC 的三个顶点为圆心，2为半径作圆，与三角形ABC 的三边分别交于点D ，E ，M ，N ，Q ，P .
由题意可知，小花猫在三角形的内部玩耍，该三角形是一个腰长为5 m ，底边长为6 m 的等腰三角形.
底边AB 上的高为h ＝52－32＝4(m)，故△ABC 的面积S ＝12
×6×4＝12(m 2). 而“小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m”对应的区域为图中阴影部分，即三角形ABC 除去三个以顶点为圆心，2为半径的扇形部分.
因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，所以三个扇形的面积之和为12
π×22＝2π. 故阴影部分的面积S ′＝S －2π＝(12－2π)(m 2).
所以“小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m”的概率为P 1＝
S ′S ＝12－2π12＝1－π6
. 8.已知关于x 的一元二次方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0，a ，b ∈R .
(1)若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；
(2)若a 是从区间[0，3]内任取的一个数，b 是从区间[0，2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率.
解 设事件A 为“方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0有两个不相等的实数根”；事件B 为“方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0有实数根”.
(1)由题意知，基本事件共9个，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值.
由Δ＝36a 2－36(－b 2＋4)＝36a 2＋36b 2－36×4＞0，得a 2＋b 2＞4.
事件A 要求a ，b 满足条件a 2＋b 2＞4，包含6个基本事件，
即(1，2)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，则事件A 发生的概率为P (A )＝69＝23
. (2)a ，b 的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a ≤3，0≤b ≤2.
构成事件B 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3，0≤b ≤2，a 2＋b 2
≥4}(如图中阴影部分)，
则所求的概率为P (B )＝2×3－14×π×222×3＝1－π6
. 考点三 统计与概率的综合问题
方法技巧 对于将抽样方法、频率分布等统计知识与古典概型相结合的题目，要明确频率和概率的关系，把握基本事件的构成.
9.(2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温
[10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数
2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率.
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，
最高气温低于25的频率为2＋16＋3690
＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，
所以Y 的所有可能值为900，300，－100.
Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，
由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490
＝0.8. 因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.
10.为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：
若用表中数据所得频率代替概率.
(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？
(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B 类是其他市民.现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度调查，则前两位均为B 类市民的概率是多少？
解 (1)设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A ，
则P (A )＝40200＝15
. 所以当罚金定为10元时，比不进行处罚，行人闯红灯的概率会降低15
. (2)由题可知，A 类市民和B 类市民各有40人，故分别从A 类市民和B 类市民中各抽出2人，设从A 类市民中抽出的2人分别为A 1，A 2，从B 类市民中抽出的2人分别为B 1，B 2，设“A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度调查”为事件M ，
则事件M 中首先抽出A 1的事件有(A 1，A 2，B 1，B 2)，(A 1，A 2，B 2，B 1)，(A 1，B 1，A 2，B 2)，(A 1，B 1，B 2，A 2)，(A 1，B 2，A 2，B 1)，(A 1，B 2，B 1，A 2)，共6种.
同理首先抽出A 2，B 1，B 2的事件也各有6种，
故事件M 共有4×6＝24(种).
设“抽取的4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有(B 1，B 2，A 1，A 2)，(B 1，B 2，A 2，A 1)，(B 2，B 1，A 1，A 2)，(B 2，B 1，A 2，A 1)，共4种，所以P (N )＝424＝16
.
所以抽取的4人中前两位均为B 类市民的概率是16
. 11.(2017·北京)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，
[30，40)，…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图.
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；
(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
解 (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6， 所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.
(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，
所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×5100
＝20. (3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×12
＝30， 所以样本中的男生人数为30×2＝60，
女生人数为100－60＝40，
所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，
所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.
12.某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中随机抽取了n 名学生的成绩(满分100分)作为样本，将所得分数经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题：
(1)求频率分布直方图中a ，b 的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩；
(2)规定大赛成绩在[80，90)的学生为厨霸，在[90，100]的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所抽取2人中至少有1人是厨神的概率.
解 (1)由题意可知，样本容量n ＝50.012 5×10＝40， 所以a ＝340×10
＝0.007 5. 所以10b ＝1－(0.125＋0.150＋0.450＋0.075)＝0.200，
所以b ＝0.020 0，
平均成绩为0.125×55＋0.2×65＋0.45×75＋0.15×85＋0.075×95＝73.5.
(2)由题意可知，厨霸有0.015 0×10×40＝6(人)，分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，厨神有0.007 5×10×40＝3(人)，分别记为b 1，b 2，b 3，共9人，
从中任意抽取2人共有36种情况：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，a 5)，(a 1，a 6)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，a 5)，(a 2，a 6)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 3，a 4)，(a 3，a 5)，(a 3，a 6)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 3，b 3)，(a 4，a 5)，(a 4，a 6)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(a 4，b 3)，(a 5，a 6)，(a 5，b 1)，(a 5，b 2)，(a 5，b 3)，(a 6，b 1)，(a 6，b 2)，(a 6，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，
其中至少有1人是厨神的情况有21种，
所以至少有1人是厨神的概率为2136＝712
.
例 (12分)广场舞在全国各地都非常地流行，但是人们对广场舞也有不同的看法，有些人认为广场舞“很好”，能促进人们锻炼身体，有些人认为广场舞“不好”，影响其他人的休息，实践课上老师选派几位同学组成研究性小组，从某社区[25，55]岁的人群中随机抽取n 人进行了一次调查，得到如下统计表：
组数
分组 频数 频率 “很好”占本组比例 1
[25，30) 50 0.05 30% 2
[30，35) 100 0.10 30% 3
[35，40) 150 0.15 40% 4
[40，45) 200 0.20 50% 5
[45，50) a b 65% 6
[50，55] 200 0.20
60%
(1)求a ，b 的值，并估计本社区[25，55]岁的人群中“很好”所占的比例；
(2)从年龄段在[35，45)的“很好”中采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并
从这8人中选取2人作为领队，求选取的2名领队分别来自[35，40)与[40，45)两个年龄段的概率. 审题路线图 (1)审统计表―――→抽样中的比例确定n 和a ，b ―→样本中认为“很好”的比例――→估计本社区人群中“很好”的比例
(2)确定两个年龄段的人数――――――→分层抽样原则两年龄段抽取人数―→标记抽取的8人―→
列举所有选领队的方法―→统计所有选法种数和符合条件方法种数―→求出概率 规范解答·评分标准
解 (1)n ＝500.05
＝1 000.……………………………………………………………………1分 b ＝1－(0.20＋0.20＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.30.…………………………………………2分 所以a ＝1 000×0.30＝300.3分
因为样本中的“很好”人数为50×0.30＋100×0.30＋150×0.40＋200×0.50＋300×0.65＋200×0.60＝520，…………………………………………………………………………5分
所以样本中的“很好”所占的比例为5201 000
＝52%. ………………………………………………………………………………………………6分
(2)年龄段在[35，40)的“很好”的人数为150×0.40＝60，
年龄段在[40，45)的“很好”的人数为200×0.50＝100，
采用分层抽样方法抽取8人，年龄段在[35，40)的“很好”有3人，在[40，45)的有5人，记[35，40)中的3人为A 1，A 2，A 3，[40，45)的5人记为B 1，B 2，B 3，B 4，B 5，则选取2人做领队有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 1，B 5)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(A 2，B 5)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)，(A 3，B 5)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 1，B 5)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 2，B 5)，(B 3，B 4)，(B 3，B 5)，(B 4，B 5)，共28种.…………………………………………………………………10分 其中分别来自[35，40)与[40，45)两个年龄段的有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 1，B 5)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(A 2，B 5)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)，(A 3，B 5)，共15种.…………………………………………………………………11分
所以分别来自[35，40)与[40，45)两个年龄段的概率P ＝1528
.…………………………12分 构建答题模板
[第一步] 定模型：根据统计知识确定元素(总体、个体)以及要解决的概率模型.
[第二步] 列事件：将所有基本事件列举出来(可用树状图).
[第三步] 算概率：计算基本事件总数n ，事件A 包含的基本事件数m ，代入公式P (A )＝m n
.
[第四步] 规范答：要回到所求问题，规范作答.
1.某市举行职工技能大比武活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工.
(1)若从甲厂和乙厂派出的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率；
(2)若从甲厂和乙厂派出的这7名职工中任选2名进行比赛，求选出的2名职工来自同一工厂的概率.
解 记甲厂派出的2名男职工为A 1，A 2，1名女职工为a ；乙厂派出的2名男职工为B 1，B 2，2名女职工为b 1，b 2.
(1)从甲厂和乙厂派出的职工中各任选1名进行比赛，不同的结果有{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{a ，B 1}，{a ，B 2}，{a ，b 1}，{a ，b 2}，共12种不同的选法.
其中选出的2名职工性别相同的选法有{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{a ，b 1}，{a ，b 2}，共6种不同的选法.
故选出的2名职工性别相同的概率为P 1＝612＝12
. (2)若从甲厂和乙厂派出的这7名职工中任选2名进行比赛，不同的结果有{A 1，A 2}，{A 1，a }，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a }，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{a ，B 1}，{a ，B 2}，{a ，b 1}，{a ，b 2}，{B 1，B 2}，{B 1，b 1}，{B 1，b 2}，{B 2，b 1}，{B 2，b 2}，{b 1，b 2}，共21种不同的选法.
其中选出的2名职工来自同一工厂的选法有{A 1，A 2}，{A 1，a }，{A 2，a }，{B 1，B 2}，{B 1，b 1}，{B 1，b 2}，{B 2，b 1}，{B 2，b 2}，{b 1，b 2}，共9种不同的选法.
所以选出的2名职工来自同一工厂的概率为P 2＝921＝37
. 2.已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(x ，y ).
(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；
(2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，求满足a ·b <0的概率.
解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36. 由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，
所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3个.
故满足a ·b ＝－1的概率为
336＝112
. (2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6，1≤y ≤6}，
满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6，1≤y ≤6且－2x ＋y <0}. 画出平面区域如图，
矩形的面积为S 矩形＝25，
阴影部分的面积为S 阴影＝25－1
2×2×4＝21，
故满足a ·b <0的概率为21
25
.
3.某厂商调查甲、乙两种不同型号的电视机在10个卖场的销售量(单位：台)，并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图：
为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.
(1)求在这10个卖场中，甲型号电视机的“星级卖场”的个数；
(2)若在这10个卖场中，乙型号电视机销售量的平均数为26.7，求a ＞b 的概率； (3)若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s 2
，根据茎叶图推断b 为何值时，s 2
达到最小值.(只需写出结论)
解 (1)根据茎叶图，得甲组数据的平均数为10＋10＋14＋18＋22＋25＋27＋30＋41＋43
10＝24，
由茎叶图知，甲型号电视机的“星级卖场”的个数为5. (2)记事件A 为“a ＞b ”，因为乙组数据的平均数为26.7，
所以10＋18＋20＋22＋23＋31＋32＋(30＋a )＋(30＋b )＋4310＝26.7，解得a ＋b ＝8.
所以a 和b 的取值共有9种情况，它们是(0，8)，(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(7，1)，(8，0)，
其中a＞b有4种情况，它们是(5，3)，(6，2)，(7，1)，(8，0)，所以a＞b的概率P(A)＝
4
9
.
(3)当b＝0时，s2达到最小值.
4.(2017·全国Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量<50 kg箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较.
附：
P(K2≥k0)0.0500.0100.001
k0 3.841 6.63510.828
K2＝n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
.
解(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.
因此，事件A的概率估计值为0.62.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下：
箱产量<50 kg箱产量≥50 kg总计
旧养殖法6238100
新养殖法3466100
总计 96 104 200
K 2
的观测值k ＝200×(62×66－34×38)
2
100×100×96×104
≈15.705.
由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.
5.某中学为了解某次竞赛的成绩状况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，请根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图)解决下列问题：
组别 分组 频数 频率 第1组 [50，60) 9
0.18 第2组 [60，70) a
■ 第3组 [70，80) 20 0.40 第4组 [80，90) ■ 0.08
第5组
[90，100] 2 b
合计
■
■
(1)写出a ，b ，x ，y 的值；
(2)在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学参加座谈，求所抽取的2名同学来自同一组的概率. 解 (1)由题意可知，样本总数n ＝90.18
＝50，
b ＝250＝0.04，y ＝0.04
10
＝0.004， x ＝
1－0.18－0.40－0.08－0.04
10
＝0.03，
a ＝(1－0.18－0.40－0.08－0.04)×50＝15.
(2)由题意可知，第4组有4名同学，分别记为A1，A2，A3，A4，第5组有2名同学，分别记为B1，B2，共6名同学.从竞赛成绩在80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学，
基本事件空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)}，共15个. 设事件A为“随机抽取的2名同学来自同一组”，则事件A包含的基本事件A＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(B1，B2)}，共7个，
所以随机抽取的2名同学来自同一组的概率是7
15
.。