合肥市2022届数学高二第二学期期末质量检测试题含解析

合肥市2022届数学高二第二学期期末质量检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若(13)n x +的二项展开式各项系数和为256，i 为虚数单位，则复数(1)n i +的运算结果为（ ） A ．16- B ．16
C ．4-
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】
分析：利用赋值法求得n ，再按复数的乘方法则计算． 详解：令1x =，得4256n =，4n =， ∴42(1)(2)4i i +==-． 故选C ．
点睛：在二项式()()n
f x a bx =+的展开式中，求系数和问题，一般用赋值法，如各项系数为(1)f ，二项
式系数和为2n ，两者不能混淆．
2．如图，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知100CD =米，点C 位于BD 上，则山高AB 等于()
A ．100米
B ．3
C ．)
50
31米
D ．502
【答案】C 【解析】 【分析】
设AB h =，ABC ∆，ABD ∆中，分别表示,BC BD ，最后表示tan ADB ∠求解长度. 【详解】
设AB h =，ABC ∆中，45ACB ∠=，BC h =，
ADB ∆中，3
tan 1003
h ADB h ∠=
=
+， 解得：(
)
5031h =米.
故选C. 【点睛】
本题考查了解三角形中有关长度的计算，属于基础题型.
3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，1AC＝AA1＝BC＝1．若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为（）
A．B．C．1 D．
【答案】A
【解析】
如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，
设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,1,1)，
设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，z)．
则⇒，令z＝－1，
得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，
则由cos60°＝，得＝，即a＝，故AD＝.
4．已知不等式对任意恒成立，则的最大值为
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数求出函数的最小值，由得出，得出，并构造，利用导数求出的最大值，即可得出答
案。

【详解】
构造函数，由题意知，。

①当时，，，此时，函数在上单调递增，
当时，，此时，不恒成立；
②当时，令，得。

当时，；当时，。

所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即，
，，
构造函数，其中，则。

令，得。

当时，；当时，。

此时，函数在处取得极大值，亦即最大值，即。

因此，的最大值为，故选：C。

【点睛】
本题考查函数恒成立问题，考查了函数的单调性，训练了导数在求最值中的应用，渗透了分类讨论的思想，构造函数利用导数研究函数的最值是解决函数不等式恒成立的常用方法，考查分析问题的能力，属于难题。

5．某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：
①从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；
②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；
则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是（）
A．①用系统抽样，②用简单随机抽样B．①用系统抽样，②用分层抽样
C．①用分层抽样，②用系统抽样D．①用分层抽样，②用简单随机抽样
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
①总体由差异明显的几部分构成时，应选用分层抽样；
②总体个体数有限、逐个抽取、不放回、每个个体被抽到的可能性均等，应选用简单随机抽样；∴选D
6．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和都是等差数列，且公差相等，则a6＝()
A．3
2
B．
11
4
C．.
7
2
D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
设等差数列{a n}和的公差为d，可得a n=a1+（n﹣1）d（n﹣1）d，于是
d2d，化简整理可得a1，d，即可得出．【详解】
设等差数列{a n}和的公差为d，
则a n=a1+（n﹣1）d（n﹣1）d，
d2d，
平方化为：a1+d=d2+，2a1+3d=4d2+，
可得：a1=d﹣d2，代入a1+d=d2+，
化为d（2d﹣1）=0，
解得d=0或1
2
．
d=0时，可得a1=0，舍去．
∴
1
2
d=，a1=
1
4
．
∴a6=1111
5
424
+⨯=．
故答案为：B 【点睛】
(1)本题主要考查等差数列的通项和前n 项和，意在考查学生岁这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)
d 2d 求出d. 7．等差数列{n a }中，385a a +=，则前10项和10S =( ) A ．5 B ．25
C ．50
D ．100
【答案】B 【解析】
试题分析：因为38381010()
5,55252
a a a a S ++=∴=
=⨯=.
考点：等差数列的前n 项和公式，及等差数列的性质．
点评：等差数列的性质之一：若,,,,m n p q m n p q N *
+=+∈,则m n p q a a a a +=+．
8．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有
A ．21种
B ．315种
C ．153种
D ．143种 【答案】D
【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种， 选一本数学书一本英语书有5×7=35种， 选一本语文书一本英语书有9×5=45种， ∴共有63+45+35=143种选法. 故选D.
9．已知a ＞b ，则下列不等式一定正确的是（ ） A ．ac 2＞bc 2 B ．a 2＞b 2
C ．a 3＞b 3
D ．11a b
＜
【答案】C 【解析】 【分析】
分别找到特例，说明A ，B ，D 三个选项不成立，从而得到答案. 【详解】
因为a b >，所以当2c =0时，得到22ac bc =，故A 项错误； 当0a b >>，得到22a b <，故B 项错误； 当0,0a b ><时，满足a b >，但11
0a b
>>，故D 项错误； 所以正确答案为C 项. 【点睛】
本题考查不等式的性质，通过列举反例，排除法得到答案，属于简单题.
10．若(
)3
5
2()x x a -+的展开式的各项系数和为32，则实数a 的值为（）
A ．-2
B ．2
C ．-1
D ．1
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，用赋值法，在(
)3
5
2()
x x a -+中，令1x =可得()5
21(1)32a -+=，解可得a 的值，即可得
答案． 【详解】 根据题意，(
)3
5
2()x
x a -+的展开式的各项系数和为32，
令1x =可得：()5
21(1)32a -+=，
解可得：1a =， 故选：D ． 【点睛】
本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用．
11．随机变量()~1,4X N ，若()20.2p x ≥=，则()01p x ≤≤为（ ） A ．0.2 B ．0.3
C ．0.4
D ．0.6
【答案】B 【解析】
分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果. 详解：(0)(2)0.2,P X P X ≤=≥=
10.22
(01)0.3,2
P X -⨯∴≤≤=
= 故选B.
点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.
12．已知点F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 是FN 的中点，则M 点的纵坐标为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．±4
【答案】C 【解析】 【分析】
求出抛物线的焦点坐标，推出M 的坐标，然后求解，得到答案．
【详解】
由题意，抛物线2
:8C y x =的焦点(2,0)F ，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，
若M 为FN 的中点，如图所示，
可知M 的横坐标为1，则M 的纵坐标为22±， 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的简单性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题
13．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()2f x f x +=，若[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则函数()ln ||y f x x =-的零点个数为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】
由题意得：()f x 的周期为2，且其图象关于y 轴对称，函数()ln ||y f x x =-的零点个数即为函数
()y f x =与函数ln y x =图象的交点个数，然后作出图象即可.
【详解】
由题意得：()f x 的周期为2，且其图象关于y 轴对称 函数()ln ||y f x x =-的零点个数即为
函数()y f x =与函数ln y x =图象的交点个数， 在同一坐标系中作出两函数的图象如下
由图象观察可知，共有两个交点 故答案为：2 【点睛】
一个复杂函数的零点个数问题常常是转化为两个常见函数的交点个数问题.
14．已知函数()()()2
152124log 1a a x x x f x x x -⎧+-<⎪
=⎨⎪≥⎩
是(),-∞+∞上的增函数，则实数a 的数值范围为________.
【答案】5
32
a ≤≤. 【解析】 【分析】
根据()f x 在R 上的单调性列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】
依题意可知0a >且1a ≠，所以
102
a
-≠. 由于()f x 在R 上递增，所以2
10
2211221
15121log 1
2
4a a a a a -⎧<⎪⎪
⎪-≥⎪-⨯⎨⎪
>⎪⎪-⎪⨯+⨯-≤⎩即13152a a a a >⎧⎪≤⎪⎪⎨>⎪⎪≥⎪⎩，解得5
32a ≤≤.
故答案为：5
32
a ≤≤ 【点睛】
本小题主要考查根据分段函数单调性求参数的取值范围，属于中档题.
15．设空间两直线a 、b 满足a b ⋂=∅（空集），则直线a 、b 的位置关系为________ 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】
根据空间线线的位置关系判断即可.
【详解】
解：因为a b
⋂=∅，则直线a、b没有交点，
故直线a、b平行或异面.
故答案为：平行或异面.
【点睛】
本题考查空间线线的位置关系，是基础题.
16．通常，满分为100分的试卷，60分为及格线，若某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[24,36),[36,48),,[84,96]
⋯分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面分采用“开方乘以10取整”的方式进行换算以提高及格率（实数a的取整等于不超过a的最大整数），如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为__________．
【答案】0.82.
【解析】
【分析】
通过题设中的频率分布直方图可计算不进行换算前36分以上（含36分）的学生的频率，此频率就是换算后的及格率．
【详解】
先考虑不进行换算前36分以上（含36分）的学生的频率，该频率为10.015120.82
-⨯=，换算后，原来36分以上（含36分）的学生都算及格，故这次测试的及格率将变为0.82．
【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是2
3
和
3
4
．假设两人射击是否击中目标相互之间没有
影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．
【答案】（1）65
81
（2）18
【解析】 【分析】 【详解】
(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1. 由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验． 故P(A1)＝4
2
651()3
81
-=
所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为.
(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击 中目标”为事件B2，
则 P(A2)＝2
2
2
4228()(1)3
3
27
C -=， P(B2)＝3
3
1
43327()(1)4
4
64
C -=
由于甲、乙射击相互独立，故 P(A2B2)＝
827127648
⨯= 所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为
18
. 18．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的的参数方程为4x at
y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2
sin 4cos ρθθ=.
（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2
）过点)
P
作直线l 的垂线交曲线C 于,D E 两点(D 在x 轴上方)，求11PD PE
-的值. 【答案】（1
）2y =-，24y x =；
（2）1
2
【解析】 【分析】
(1)利用代入法消去参数可得到直线l 的普通方程，利用公式cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
可得到曲线C 的直角坐标方程；
(2)设直线DE的参数方程为
3
3
1
2
x t
y t
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
（t为参数），
代入24
y x
=得2831630
t t
+-=，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.
【详解】
（1）由题意得点A的直角坐标为()3,1，将点A代入
23
43
x at
y t
⎧=+
⎪
⎨
=+
⎪⎩
，
，
得
1
3
a
t
=
⎧⎪
⎨
=-
⎪⎩
，
，
则直线l的普通方程为32
y x
=-.
由2
sin4cos
ρθθ
=得22
sin4cos
ρθρθ
=，即24
y x
=.
故曲线C的直角坐标方程为24
y x
=.
（2）设直线DE的参数方程为
3
3
2
1
2
x t
y t
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
（t为参数），
代入24
y x
=得2831630
t t
+-=．
设D对应参数为1t，E对应参数为2t．则1283
t t+=-，
12
163
t t=-，且12
0,0
t t
><.
12
121212
1111111
2
t t
PD PE t t t t t t
+
∴-=-=+==．
【点睛】
参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22
cos sin1
αα
+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式
cos
sin
x
y
ρθ
ρθ
=
⎧
⎨
=
⎩
，
222
tan
x y
y
x
ρ
θ
⎧+=
⎪
⎨
=
⎪⎩
等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
19．对某种书籍的成本费y（元）与印刷册数x（千册）的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中6
1
11,6i i i i x ωωω===∑. 为了预测印刷20千册时每册的成本费，建立了两个回归模型：,d y a bx y c x =+=+
. （1）根据散点图，拟认为选择哪个模型预测更可靠?（只选出模型即可）
（2）根据所给数据和（1）中的模型选择，求y 关于x 的回归方程，并预测印刷20千册时每册的成本费. 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ，其回归方程ˆˆˆv u α
β=+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：12
21ˆn i i
i n i i u v nuv u nu β==-=-∑
∑，ˆˆv u α
β=-. 【答案】（1）模型d y c x =+
更可靠.（2）8ˆ 1.2y x
=+，1.6 【解析】 分析: (1)根据散点图的形状得到选择模型d y c x =+
更可靠.(2) 令1x ω=，则建立y 关于x 的线性回归方程y d c ω=+，求得y 关于ω的线性回归方程为 1.28ˆy
ω=+，再求出求y 关于x 的回归方程，令x=20，求出ˆy
的值，得到印刷20千册时每册的成本费. 详解：（1）由散点图可以判断，模型d y c x =+
更可靠. （2）令1x
ω=，则建立y 关于x 的线性回归方程y d c ω=+， 则1221 4.880ˆ.60
n i i i n i i y n y d n ωωωω==-===-∑∑， ∴ 4.2ˆˆ20.37758 1.2c
y d ω=-=-⨯= ∴y 关于ω的线性回归方程为 1.28ˆy
ω=+， 因此，y 关于x 的回归方程为81.2ˆy x
=+ 当20x =时，该书每册的成本费8ˆ 1.2 1.620y
=+=元. 点睛：（1）本题主要考查线性回归方程的求法，考查非线性回归方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）建立非线性回归模型的基本步骤：①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性
关系）；③由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）；
④通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；⑤按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；⑥消去新元，得到非线性回归方程；⑦得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.
20．唐代饼茶的制作一直延续至今，它的制作由“炙”、“碾”、“罗”三道工序组成：根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是0.5，0.6，0.5；能通过“碾”这道工序的概率分别是0.8，0.5，0.4；由于他们平时学徒刻苦，都能通过“罗”这道工序；
若这三道工序之间通过与否没有影响，
（Ⅰ） 求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率，
（Ⅱ）设只要通过三道工序就可以制成饼茶，求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数X 的分布列.
【答案】（Ⅰ）0.35；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）甲、乙、丙中恰好有一人通过,可分为：甲过，乙、丙不过；乙过，甲、丙不过；丙过，乙、甲不过。

（Ⅱ）先求出甲、乙、丙制成饼茶的概率0.4P =甲，0.3P =乙，0.2P =丙.随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，写出分布列即可。

【详解】
解：（I ）设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过“炙”这道工序”，则所求概率
()()()
P P ABC P ABC P ABC =++ ()()()0.510.610.510.5=⨯-⨯-+-()0.610.5⨯⨯-
()()10.510.60.5+-⨯-⨯
0.35=
（II ）甲制成饼茶的概率为0.50.80.4P =⨯=甲，同理0.60.50.3P =⨯=乙，0.50.40.2P =⨯=丙. 随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，
()()()010.410.3P X ==-⨯-⨯()10.20.336-=
()()()10.410.310.2P X ==⨯-⨯-+()()10.410.30.2-⨯-⨯()()10.40.310.20.452+-⨯⨯-= ()()20.40.310.20.4P X ==⨯⨯-+⨯()()10.30.210.4-⨯+-⨯0.30.20.188⨯=
()30.40.30.20.024P X ==⨯⨯=
故X 的分布列为
X
0 1 2 3 P
0.336 0.452 0.188 0.024
【点睛】 本题主要考查简单随机变量的分布列，属于基础题。

21．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵；将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马；将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[biē nào]．某学校科学小组为了节约材料，拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室111ABC A B C -，11A ABB 是边长为2的正方形．
（1）若ABC △是等腰三角形，在图2的网格中（每个小方格都是边长为1的正方形）画出堑堵的三视图； （2）若111C D A B ⊥，D 在11A B 上，证明：1C D DB ⊥，并回答四面体11DBB C 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（3）当阳马111A C CBB -的体积最大时，求点1B 到平面1A BC 的距离．
【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）
33 【解析】
【分析】
（1）根据其几何体特征,即可画出其三视图.
（2）证明11C D BB ⊥,结合111C D A B ⊥,即可得到1C D ⊥面11AA BB ,进而可证明1C D DB ⊥.
（3）阳马111A C CBB -的体积为:1111123||||||||3
||A C CBB AC BC BB AC V BC -⋅=⋅=,根据均值不等式可得:22
||||||||22
AC BC AC BC +⋅≤= (||||2AC BC ==取得等号),即可求得||||2AC BC ==以点1A 为顶点,以1Rt CBB 底面求三棱锥11-B A BC 体积, 在以点1B 为顶点,以1
Rt ACB 底面求三棱锥11-B A BC 体积.利用等体积法即可求得点1B 到平面1A BC 的距离.
【详解】
（1）画出堑堵的三视图:
（2）
如图,连接BD 和1C B .
由题意可知:
1BB ⊥面111A B C ,1BB 在平面111A B C
∴ 11C D BB ⊥ 又
111C D A B ⊥
1C D ∴⊥面11AA BB 故: 1C D DB ⊥,可得1C DB 为直角三角形.
由题意可知11C B B ,1DB B ,11C DB 都是直角三角形.
∴ 四面体11DBB C 四个面都是直角三角形,故四面体11DBB C 是鳖臑.
（3）
在Rt ACB 中,22
2||4AB AC BC +==
根据均值不等式可得:22
||||||||22
AC BC AC BC +⋅≤= (||||2AC BC ==) 由题意可知,AC ⊥面
11CC BB
∴阳马111A C CBB -的体积为:1111||||||||||124333A C CBB AC BC BB AC BC V -⋅⋅≤=
= (||||2AC BC ==取得等号)
以1A 为顶点,以1Rt CBB 底面求三棱锥11-B A BC 体积:
∴ 111-1111222232323
A B B C BC B AC V B ⋅⋅⋅⋅=⋅== 116232
A C
B S ∆==设1B 到面1A CB 距离为h 以1B 为顶点,以1
Rt ACB 底面求三棱锥11-B A BC 体积: ∴ 111-1233
A BC A C
B B h V S ∆⋅⋅== 12333h ∴= 解得:2333
h == 【点睛】
本题考查了三视图画法,棱柱与点到面的距离,考查用基本不等式求最值.解题关键是表示出阳马111A C CBB -的体积,通过不等式取最值时成立条件,求出底边||AC 长.
22．已知函数3211()232
f x x ax x =-+． (1)若1a =，当1x >时，求证：()1f x x >-．
(2)若函数()y f x =在(0,)+∞为增函数，求a 的取值范围.
【答案】（1）见证明；（2）22a ≤【解析】
【分析】
(1) 1a =时，设()()()32111132
g x f x x x ax x =--=-++,对函数求导得到函数的单调性，得到函数的最值进而得证；（2）原函数单调递增，即220x ax -+≥恒成立，变量分离，转化为函数最值问题.
【详解】
（1）1a =时，设()()()32111132
g x f x x x ax x =--=
-++． 则()2'10g x x x =-+>， ()g x 在()1,+∞单调递增
()()1112032
g x g >=-+>．
即()1f x x >-.
(2)()2
'20f x x ax =-+≥恒成立， 即22x a x
+≤对()0,x ∈+∞恒成立．
∵0x >时，222x x x x
+=+≥（当且仅当x =
∴a ≤【点睛】
这个题目考查了不等式证明问题以及恒成立求参的问题，不等式的证明，常见的方法是，构造函数，转化为函数最值问题；恒成立求参，常采用的方法是变量分离，转化为函数最值问题.。