高中数学中的复数运算公式总结

高中数学中的复数运算公式总结在高中数学中，复数是一个重要的概念，而掌握复数的运算公式对
于解决相关问题至关重要。

复数的运算包括加、减、乘、除等，下面
我们就来详细总结一下这些运算公式。

一、复数的定义
形如\（a ＋ bi\）（其中\（a\）、＼（b\）均为实数，＼（i\）为虚
数单位，且\（i^2 ＝－1\））的数称为复数。

其中，＼（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。

二、复数的四则运算
1、加法运算
两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的和为：＼
z_1 ＋ z_2 ＝（a_1 ＋ a_2) ＋（b_1 ＋ b_2)i
＼
例如，＼（z_1 ＝ 2 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 2i\），则\（z_1 ＋ z_2
＝（2 ＋ 1) ＋（3 2)i ＝ 3 ＋ i\）
2、减法运算
两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的差为：
＼
z_1 z_2 ＝（a_1 a_2) ＋（b_1 b_2)i
＼
例如，＼（z_1 ＝ 5 ＋ 4i\），＼（z_2 ＝ 3 ＋ 2i\），则\（z_1 z_2
＝（5 3) ＋（4 2)i ＝ 2 ＋ 2i\）
3、乘法运算
两个复数\（z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i\），＼（z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i\）的积为：＼
＼begin{align}
z_1 ＼cdot z_2&＝（a_1 ＋ b_1i)（a_2 ＋ b_2i)＼＼
＆＝a_1a_2 ＋ a_1b_2i ＋ a_2b_1i ＋ b_1b_2i^2\＼
＆＝（a_1a_2 b_1b_2) ＋（a_1b_2 ＋ a_2b_1)i
＼end{align}
＼
例如，＼（z_1 ＝ 2 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 ＋ 2i\），则：
＼
＼begin{align}
z_1 ＼cdot z_2&＝（2 ＋ 3i)（1 ＋ 2i)＼＼
＆＝2 ＋ 4i ＋ 3i ＋ 6i^2\＼
＆＝2 ＋ 7i 6\＼
＆＝－4 ＋ 7i
＼end{align}
＼
4、除法运算
将复数\（＼frac{z_1}｛z_2}＼）（＼（z_2 ＼neq 0\））的运算转化为乘法运算，即分子分母同时乘以\（z_2\）的共轭复数\（＼
overline{z_2} ＝ a_2 b_2i\），得到：
＼
＼begin{align}
＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{z_1 ＼cdot ＼overline{z_2}｝｛z_2 ＼cdot ＼overline{z_2}｝＼＼
＆＝＼frac{（a_1 ＋ b_1i)（a_2 b_2i)｝｛（a_2 ＋ b_2i)（a_2 b_2i)｝＼＼
＆＝＼frac{（a_1a_2 ＋ b_1b_2) ＋（b_1a_2 a_1b_2)i}｛a_2^2 ＋
b_2^2}
＼end{align}
＼
例如，＼（z_1 ＝ 4 ＋ 3i\），＼（z_2 ＝ 1 ＋ 2i\），则：
＼
＼begin{align}
＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{（4 ＋ 3i)（1 2i)｝｛（1 ＋ 2i)（1 2i)｝＼＼
＆＝＼frac{4 8i ＋ 3i 6i^2}｛1 4i^2}＼＼
＆＝＼frac{4 5i ＋ 6}｛1 ＋ 4}＼＼
＆＝＼frac{10 5i}｛5}＼＼
＆＝2 i
＼end{align}
＼
三、复数的乘方运算
1、＼（i\）的幂次规律
＼（i^1 ＝ i\），＼（i^2 ＝－1\），＼（i^3 ＝ i\），＼（i^4 ＝1\）。

之后以\（4\）为周期循环，即\（i^｛4n ＋ 1} ＝ i\），＼（i^｛4n ＋ 2} ＝－1\），＼（i^｛4n ＋ 3} ＝ i\），＼（i^｛4n} ＝ 1\）（＼（n\）为整数）。

2、一般复数的乘方
对于复数\（z ＝ a ＋ bi\），＼（z^n\）可以使用二项式定理展开。

四、共轭复数
两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。

若复数\（z
＝ a ＋ bi\），则其共轭复数为\（＼overline{z} ＝ a bi\）。

共轭复数的性质：
1、＼（z ＼cdot ＼overline{z} ＝｜z|＾2\）（其中\（｜z|＼）表示
复数\（z\）的模）
2、＼（z ＋＼overline{z} ＝ 2a\）（实部的两倍）
五、复数的模
复数\（z ＝ a ＋ bi\）的模\（｜z|＼）定义为：＼（｜z| ＝＼
sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）
模的运算性质：
1、＼（｜z_1 ＼cdot z_2| ＝｜z_1| ＼cdot ｜z_2|＼）
2、＼（＼left|＼frac{z_1}｛z_2}＼right| ＝＼frac{｜z_1|｝｛｜z_2|｝＼）（＼（z_2 ＼neq 0\））
六、复数在几何中的应用
复数可以与平面直角坐标系中的点一一对应，实部对应\（x\）轴坐标，虚部对应\（y\）轴坐标。

复数的加法和减法的几何意义可以看作
是向量的加法和减法。

通过以上对高中数学中复数运算公式的总结，我们可以看到复数的运算虽然有一定的特殊性，但只要掌握了基本的规则和公式，通过适当的练习，就能够熟练地进行运算和解决相关问题。

在学习过程中，要多做练习题，加深对这些公式的理解和运用，为进一步学习数学和其他相关学科打下坚实的基础。

总之，复数运算公式是高中数学中的重要内容，需要我们认真学习和掌握，以便在解决各种数学问题时能够灵活运用。

希望同学们在学习过程中能够不断探索，发现复数运算的乐趣和奥秘。