湖北省武汉市高考数学5月模拟试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题

湖北省武汉市2015届高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
一、选择题
1．（3分）已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）
A．∈A B．∈A C．i3∈A D．|﹣i|∈A
2．（3分）“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（3分）若任取x，y∈（0，1]，则点P（x，y）满足y≤x的概率为（）A．B．C．D．
4．（3分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cos（2x+）的图象，则φ的值为（）
A．﹣πB．﹣C．D．
5．（3分）公差不为0的等差数列{a n}，其前23项和等于其前10项和，a8+a k=0，则正整数k=（）
A．24 B．25 C．26 D．27
6．（3分）（1+2x）6（1+y）4的展开式中xy2项的系数为（）
A．45 B．72 C．60 D．120
7．（3分）某天下午要排物理、化学、生物和两节自习共5节课，如果第一节不排生物，最后一节不排物理，那么不同的排法共有（）
A．36种B．39种C．60种D．78种
8．（3分）已知函数f（x）=（2x﹣）x，则下列结论中正确的是（）
A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）
C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3
9．（3分）已知过x轴上一点E（x0，0）（0＜x0＜）的直线l与椭圆+y2=1相交于M、N 两点，若+为定值，则x0的值为（）
A．1 B．C．D．
10．（3分）若关于x的方程（x﹣1）4+mx﹣m﹣2=0各个实根x1，x2…x k（k≤4，k∈N*）所对应的点（x i•），（i=1，2，3…k）均在直线y=x的同侧，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣1，7）B．（﹣∞，﹣7）U（﹣1，+∞）C．（﹣7，1）D．（﹣∞，1）U（7，+∞）
二、填空题（一）必考题（11-14题）
11．（3分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=．12．（3分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入p的取值范围是
13．（3分）在半径为5的球面上有不同的四点A、B、C、D，若AB=AC=AD=2，则平面BCD 被球所截得图形的面积为．
14．（3分）若实数x，y满足|x﹣3|≤y≤1，则z=的最小值为．
(二）选考题
15．（3分）在极坐标系中，圆ρ2﹣4ρcosθ+3=0上的动点P到直线θ=（ρ∈R）的距离最小值是．
(三）选考题
16．（几何证明选讲选做题）如图，PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，若PT=2，PA=1，∠P=60o，则圆O的半径r=．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积S=．（1）求角B的大小；
（2）若a=2，且，求边c的取值范围．
18．（12分）某校为了提高学生的身体素质，决定组建学校足球队，学校为了解学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．
（1）求该校报名学生的总人数；
（2）从报名的学生中任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望．
19．（12分）已知等差数列{a n}为递增数列，且P（a2，14），Q（a4，14）都在y=x+的图象
上．
（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和为S n；
（2）设b n=，求{b n}的前n项和T n．
20．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．
21．（13分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（3，t）到其焦点的距离为4．
（1）求p的值；
（2）过点Q（1，0）作两条直线l1，l2与抛物线分别交于点A、B和C、D，点M，N分别是线段AB和CD的中点，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=3，求证：直线MN过定点．
22．（14分）已知函数f（x）=（a、b∈R，a、b为常数），且y=f（x）在x=1
处切线方程为y=x﹣1．
（1）求a，b的值；
（2）设h（x）=，k（x）=2h′（x）x2，求证：当x＞0时，k（x）＜+．
湖北省武汉市2015届高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）
A．∈A B．∈A C．i3∈A D．|﹣i|∈A
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算经过计算即可判断出．
解答：解：A.∉A，不正确；
B.===﹣i∉A，不正确；
C．i3=﹣i∉A，不正确；
D．|﹣i|=1∈A，正确．
故选：D．
点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
2．（3分）“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：椭圆的标准方程．
专题：计算题．
分析：由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，“方程ax2+by2=1表示椭圆”⇒“ab＞0”，所以∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．
解答：解：∵由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，
例如a＜0，b＜0时，“方程ax2+by2=1不表示椭圆”．
“方程ax2+by2=1表示椭圆”⇒“ab＞0”，
∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．
故选B．
点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要注意椭圆的定义和性质的灵活运用．
3．（3分）若任取x，y∈（0，1]，则点P（x，y）满足y≤x的概率为（）A．B．C．D．
考点：几何概型．
专题：计算题；概率与统计．
分析：确定x，y∈[0，1]所对应区域为边长为1的正方形，面积为1，由确定的
区域的面积，代入等可能事件的概率公式即可求解．
解答：解：由题意可得，x，y∈（0，1）所对应区域为边长为1的正方形，面积为1
记“点P（x，y）满足y≤为事件A，则A包含的区域由确定的区域的面积为
S===，
∴P（A）=．
故选：D．
点评：本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是准确求出基本事件所对应的区域的面积．
4．（3分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数g（x）
=cos（2x+）的图象，则φ的值为（）
A．﹣πB．﹣C．D．
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得sin（2x++φ）=cos（2x+），故有2x+=2x++φ+，由此求得φ 的值．
解答：解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（φ＜π）的图象向左平移个单位后，
得到y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象．
再根据所得到的图象对应函数为g（x）=cos（2x+），
∴sin（2x++φ）=cos（2x+），∴2x+=2x++φ+，求得φ=﹣，
故选：A．
点评：本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式的应用，属于基础题．
5．（3分）公差不为0的等差数列{a n}，其前23项和等于其前10项和，a8+a k=0，则正整数k=（）
A．24 B．25 C．26 D．27
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由等差数列的求和公式和性质可得a8+a26=2a17=0，可得k值．
解答：解：由题意设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，
∵其前23项和等于其前10项和，
∴23a1+d=10a1+d，
变形可得13（a1+16d）=0，
∴a17=a1+16d=0，
由等差数列的性质可得a8+a26=2a17=0，
∴k=26
故选：C
点评：本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．
6．（3分）（1+2x）6（1+y）4的展开式中xy2项的系数为（）
A．45 B．72 C．60 D．120
考点：二项式定理的应用．
专题：计算题；二项式定理．
分析：把所给的式子利用二项式定理展开，可得xy2项的系数．
解答：解：由于（1+2x）6（1+y）4=（1+12x+60x2+160x3+…+64x6）（1+4y+6y2+4y3+y4），
可得xy2项的系数为12×6=72，
故选：B．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
7．（3分）某天下午要排物理、化学、生物和两节自习共5节课，如果第一节不排生物，最后一节不排物理，那么不同的排法共有（）
A．36种B．39种C．60种D．78种
考点：排列、组合及简单计数问题．
专题：排列组合．
分析：利用排除法进行求解即可．
解答：解：若第一节排生物，有=12种方法，
第五节排物理，有=12种方法，
若第一节排生物，第五节排物理，有=3种方法，
第一节不排生物，第五节不排物理共有﹣2+=60﹣24+3=39种方法．
故选：B
点评：本题主要考查排列组合的计算问题，根据特殊元素的满足的条件，利用分类讨论和排除法是解决本题的关键．
8．（3分）已知函数f（x）=（2x﹣）x，则下列结论中正确的是（）
A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n）B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）
C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3
考点：函数的单调性与导数的关系．
专题：函数的性质及应用．
分析：求出函数f（x）的定义域，运用奇偶性的定义，判断f（x）为偶函数，再求f（x）的导数，讨论x＞0，结合指数函数的单调性，即可判断单调性，对选项一一加以判断即可得到答案．
解答：解：函数f（x）=（2x﹣）x的定义域为R，
f（﹣x）=（2﹣x﹣2x）（﹣x）=x（2x﹣2﹣x）=f（x），
则f（x）为偶函数，
f（x）的导数f′（x）=x（2x ln2+2﹣x ln2）+2x﹣2﹣x，
当x＞0时，2x＞1，0＜2﹣x＜1，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
则由偶函数的性质，可得f（x）在（﹣∞，0]上递减．
对于A，若﹣3≤m＜n，有f（m）＞f（n），A不正确；
对于B，若m＜n≤0，则f（m）＞f（n），B不正确；
对于C，若f（m）＜f（n），即为f（|m|）＜f（|n|），则有|m|＜|n|，
即有m2＜n2，C正确；
对于D，若f（m）＜f（n），则m，n不好比较大小，则D不正确．
故选C．
点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，同时考查指数函数的单调性的运用，属于中档题和易错题．
9．（3分）已知过x轴上一点E（x0，0）（0＜x0＜）的直线l与椭圆+y2=1相交于M、N 两点，若+为定值，则x0的值为（）
A．1 B．C．D．
考点：椭圆的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设直线MN的参数方程，可得M，N的坐标，把直线MN的方程代入椭圆的方程，得到根与系数的关系，可得+=，由于+为定值，因此4﹣6x02=0，解出即可．
解答：解：设直线MN的方程为．
M（x0+t1cosα，t1sinα），N（x0+t2cosα，t2sinα）．．
把直线MN的方程代入椭圆的方程+y2=1，
化为（1+sin2α）t2+2x0tcosα+x02﹣2=0．
∴t1+t2=，t1t2=．
∴t12+t22=
∴+=．
∵+为定值，
∴4﹣6x02=0，又x0＞0．
解得x0=．
故选：B．
点评：本题考查了直线与椭圆相交定值问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线的参数方程及其参数的意义，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
10．（3分）若关于x的方程（x﹣1）4+mx﹣m﹣2=0各个实根x1，x2…x k（k≤4，k∈N*）所对应的点（x i•），（i=1，2，3…k）均在直线y=x的同侧，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣1，7）B．（﹣∞，﹣7）U（﹣1，+∞）C．（﹣7，1）D．（﹣∞，1）U（7，+∞）
考点：函数的零点与方程根的关系．
专题：函数的性质及应用．
分析：原方程等价于（x﹣1）3+m=，原方程的实根是曲线y=（x﹣1）3+m与曲线y=
的交点的横坐标，分别作出左右两边函数的图象：分m＞0与m＜0讨论，可得答案．
解答：解：方程的根显然x≠1，原方程等价于（x﹣1）3+m=，
原方程的实根是曲线y=（x﹣1）3+m与曲线y=的交点的横坐标．
而曲线y=（x﹣1）3+m是由曲线y=（x﹣1）3向上或向下平移|m|个单位而得到的，
若交点（xi，）（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，
因直线y=x与y=交点为：（﹣1，﹣1），（2，2）；
所以结合图象可得，
由（2﹣1）3+m=2，解得：m=1，由（﹣1﹣1）3+m=﹣1，解得：m=7
∴m＜1或m＞7，
故选：D．
点评：本题综合考查了反比例函数，反比例函数与一次函数图象的交点问题，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，属于中档题．
二、填空题（一）必考题（11-14题）
11．（3分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=．
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
专题：平面向量及应用．
分析：设=（x，y）．由于向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可．
解答：解：设=（x，y）．
∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），
∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），
∴，化为λ2=5．
解得．
故答案为：．
点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．
12．（3分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为4，则输入p的取值范围是（，]
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=时由题意此时不满
足条件＜P，退出循环，输出n的值为4，从而可解得p的取值范围．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
n=1，S=0
满足条件S＜P，S=，n=2
满足条件S＜P，S=+=，n=3
满足条件S＜P，S=++=，n=4
由题意可得，此时，不满足条件＜P，退出循环，输出n的值为4，
既有：≥P＞，可解得p的取值范围是：（，]．
故答案为：（，]．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基础题．
13．（3分）在半径为5的球面上有不同的四点A、B、C、D，若AB=AC=AD=2，则平面BCD 被球所截得图形的面积为16π．
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：设A在平面BCD上的射影为H，则H为△BCD的外心，利用射影定理求出AH，可得BH，即可求出平面BCD被球所截得图形的面积．
解答：解：设A在平面BCD上的射影为H，则H为△BCD的外心．
∵AB=AC=AD=2，R=5，
∴由射影定理可得20=10AH，
∴AH=2，
∴BH==4，
∴平面BCD被球所截得图形的面积为π×42=16π．
故答案为：16π．
点评：本题考查平面BCD被球所截得图形的面积，考查射影定理，求出△BCD的外接球的半径是关键．
14．（3分）若实数x，y满足|x﹣3|≤y≤1，则z=的最小值为．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：把已知的不等式转化为不等式组，然后作出可行域，化目标函数为含有的代数式，
然后由的几何意义求出其范围，代入目标函数求得目标函数的最小值．
解答：解：依题意，得实数x，y满足，画出可行域如图所示，
其中A（3，0），C（2，1），
z==，
设k=，则k的几何意义为区域内的点与原点的斜率，
则OC的斜率最大为k=，OA的斜率最小为k=0，
则0≤k≤，则1≤k+1≤，≤≤1，
故≤1+≤2，
故z=的最小值为．
故答案为：．
点评：本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键．是中档题．
(二）选考题
15．（3分）在极坐标系中，圆ρ2﹣4ρcosθ+3=0上的动点P到直线θ=（ρ∈R）的距离最小值是﹣1．
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：圆ρ2﹣4ρcosθ+3=0化为x2+y2﹣4x+3=0，可得圆心C（2，0），半径r=1．直线θ=（ρ∈R）化为．利用点到直线的距离公式可得：圆心C到直线的距离d，即可得出圆
ρ2﹣4ρcosθ+3=0上的动点P到直线θ=（ρ∈R）的距离最小值=d﹣r．
解答：解：圆ρ2﹣4ρcosθ+3=0化为x2+y2﹣4x+3=0，配方为（x﹣2）2+y2=1，可得圆心C （2，0），半径r=1．
直线θ=（ρ∈R）化为．
∴圆心C到直线的距离d==，
∴圆ρ2﹣4ρcosθ+3=0上的动点P到直线θ=（ρ∈R）的距离最小值=d﹣r=﹣1．
故答案为：﹣1．
点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、圆上的点到直线的距离，考查了计算能力，属于基础题．
(三）选考题
16．（几何证明选讲选做题）如图，PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，若PT=2，PA=1，∠P=60o，则圆O的半径r=．
考点：圆的切线的性质定理的证明．
专题：计算题；压轴题；选作题．
分析：在三角形中，根据一角和两边可以做出要用的边长，根据切线和割线定理，得到三角形对应边成比例，把已知代入比例式，得到要求的边长，而本边长是圆的直径，得到半径．解答：解：连接AT
在△APT中，P=60°，PT=2，PA=1，AT=
∴∠TAP=90°，
∴∠BAT=90°，
∴BT是圆的直径，
∵PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，
∴PT2=PA•PB，
∴△PAT∽△PTB
∴
∴BT=2
∴圆的半径是，
故答案为：
点评：本题考查圆的切割线定理，考查三角形相似，考查直径所对的圆周角是直角，本题是一个比较简单的综合题目．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积S=．（1）求角B的大小；
（2）若a=2，且，求边c的取值范围．
考点：余弦定理；正弦定理．
专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．
分析：（1）根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角B的大小；
（2）根据正弦定理表示出c，根据三角函数的图象和性质即可得到结论．
解答：解：（1）由已知及三角形面积公式得S=acsinB=accosB，
化简得sinB=cosB，
即tanB=，又0＜B＜π，
∴B=．
（2）由正弦定理得，
即c==，
由C=﹣A，得c===，
又由，
知1≤tanA≤，
故c∈[2，+1]．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握相应的定理，属于中档题．
18．（12分）某校为了提高学生的身体素质，决定组建学校足球队，学校为了解学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．
（1）求该校报名学生的总人数；
（2）从报名的学生中任选3人，设X表示体重超过60kg的学生人数，求X的数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：（1）根据频数关系求出每段的频数即可求该校报名学生的总人数；
（2）X=0，1，2，3，求出每个变量对应的概率，即可得到结论．
解答：解：（1）∵从左到右3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．∴从左到右3个小组的频数分别为6，12，18，共有36人，
第4，5小组的频率之和为（0.0375+0.0125）×5=0.25，
则前3小组的频率之和为1﹣0.25=0.75，
则该校报名学生的总人数为36÷0.75=48；
（2）第4，5小组的频数为48×0.25=12，
则体重超过60kg的学生人数为12+18=30，
则X=0，1，2，3，
则P（X=0）==≈0.047，P（X=1）==≈0.265，
P（X=2）=≈0.453，P（X=3）==≈0.235，
则EX=0×0.047+1×0.265+2×0.453+3×0.235=1.876，
即X的数学期望EX=1.876
点评：本题主要考查概率和统计的应用，以及随机变量的期望的计算，求出每个变量的概率是解决本题的关键．
19．（12分）已知等差数列{a n}为递增数列，且P（a2，14），Q（a4，14）都在y=x+的图象
上．
（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和为S n；
（2）设b n=，求{b n}的前n项和T n．
考点：数列与函数的综合；数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由已知列式求出a2，a4，再由等差数列的通项公式求得公差，进一步求得首项，代入通项公式和前n项和得答案；
（2）把等差数列的通项公式代入b n=，然后分n为奇数和偶数利用裂项相消法求{b n}的前n项和T n．
解答：解：（1）由题意可得，又数列{a n}为递增数列，解得a2=5，a4=9．
∴等差数列{a n}的公差d=．
∴a1=5﹣2=3．
则a n=3+（n﹣1）×2=2n+1，
；
（2）b n==．
当n为奇数时，
=；
当n为偶数时，
=．
∴．
点评：本题考查了数列的函数特性，考查了等差关系的确定，考查等差数列的通项公式和前n项和，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．
20．（12分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．
（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥C﹣ADE体积最大时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定．
专题：空间角．
分析：（Ⅰ）由已知条件推导出BC⊥平面ACD，BC∥DE，由此证明DE⊥平面ACD，从而得到平面ADE⊥平面ACD．
（Ⅱ）依题意推导出当且仅当时三棱锥C﹣ADE体积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣AE﹣B的余弦值．
解答：（Ⅰ）证明：∵AB是直径，∴BC⊥AC…（1分），
∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥BC…（2分），
∵CD∩AC=C，∴BC⊥平面ACD…（3分）
∵CD∥BE，CD=BE，∴BCDE是平行四边形，BC∥DE，
∴DE⊥平面ACD…（4分），
∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ACD…（5分）
（Ⅱ）依题意，…（6分），
由（Ⅰ）知
=
=
，
当且仅当时等号成立…（8分）
如图所示，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，1），，，
∴，，
，…（9分）
设面DAE的法向量为，
，即，∴，…（10分）
设面ABE的法向量为，
，即，∴，
∴…（12分）
∵与二面角D﹣AE﹣B的平面角互补，
∴二面角D﹣AE﹣B的余弦值为．…（13分）
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
21．（13分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点P（3，t）到其焦点的距离为4．
（1）求p的值；
（2）过点Q（1，0）作两条直线l1，l2与抛物线分别交于点A、B和C、D，点M，N分别是线段AB和CD的中点，设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=3，求证：直线MN过定点．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义，可得p=2；
（2）不妨设AB的斜率k1=k，求出CD的斜率k2=3﹣k，利用点斜式方程求出直线AB、CD的方程，与抛物线方程联立消x得关于y的一元二次方程，根据韦达定理即可求得中点M、N的坐标，利用点斜式方程求出直线MN的方程，化简后求出直线MN经过的定点坐标．
解答：解：（1）抛物线y2=2px的焦点为（，0），准线为x=﹣，
由抛物线的定义可得，3+=4，解得p=2；
（2）证明：由题意知，k1+k2=3，
不妨设AB的斜率k1=k，则CD的斜率k2=3﹣k，
所以AB的直线方程是：y=k（x﹣1），CD的直线方程是y=（3﹣k）（x﹣1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，
则x1+x2=，x1x2=1，
所以y1+y2=k（x1﹣1）+k（x2﹣1）=k（2+）﹣2k=，
因为M是AB的中点，所以点M（1+，），
同理可得，点N（1+，），
所以直线MN的方程是：y﹣=（x﹣1﹣），
化简得，y=（k﹣k2）（x﹣1）+，令x=1，得y=，
所以直线MN过定点（1，）．
点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．
22．（14分）已知函数f（x）=（a、b∈R，a、b为常数），且y=f（x）在x=1
处切线方程为y=x﹣1．
（1）求a，b的值；
（2）设h（x）=，k（x）=2h′（x）x2，求证：当x＞0时，k（x）＜+．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
分析：（1）先求导f′（x），从而由f（1）=ln（1+a）+b=0，f′（1）=1组成方程组求解即可；
（2）化简h（x），求导h′（x），从而化简k（x）=2h′（x）x2，分别判断与1﹣2xlnx ﹣2x的最大值即可证明．
解答：解：（1）由题意知，f′（x）=，
故f（1）=ln（1+a）+b=0，
f′（1）=﹣[ln（1+a）+b]=1，
解得，a=b=0；
（2）证明：h（x）==，
h′（x）=，
k（x）=2h′（x）x2=；
当x＞0时，令t=2x，=的导数为，
显然t=1取得最大值．
即有∈（0，]，
设m（x）=1﹣2xlnx﹣2x，
m′（x）=﹣2lnx﹣4=﹣2（lnx+2），
故m（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
故m max（x）=m（）=1+且g（x）与m（x）不于同一点取等号，
故k（x）＜（1+）=+．
点评：本题考查了导数的综合应用及函数的最大值的求法，属于中档题．。