2014年高考文科数学模拟试题

2014年高考文科数学模拟题
一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合
题目要求的 1．已知集合{}{}
12,03A x x B x x =-<=<<，则A B =
（ ）
A ．{}
13x x -<< B ．{}
03x x <<
C ．{
}
12x x -<<
D ．{
}
23x x <<
2．已知y x ,是实数, 则“2
2
y x >”是“0<<y x ”的
（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3． 若复数z 与其共轭复数z 满足：i z z 2+=，则复数z 的虚部为 （ ）
A ．1
B ．i
C ．2
D ．-1
4．已知三条直线l 、m 、n ，三个平面αβγ、、，有以下四个命题：
①αββγαγ⊥⊥⇒⊥、；②//l m l n m n ⊥⊥⇒、；
③
//,////,m n m n ββαβαα⎫
⇒⎬⊂⊂⎭
；
④ββαβα⊥⇒⊥=⊥m l m l ,, 。

其中正确 命题的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
5．右图程序运行后输出的结果为 （ ） A ．3 4 5 6 B ．4 5 6 7 C ．5 6 7 8 D ．6 7 8 9 6．若函数1
()log (
)(011
a f x a a x =>≠+且）
的定义域和值域都是[0，1]，则a = （ ） A ．2
B ．2
C ．
2
2
D ．
12
7．△ABC 中，4,3),(2
1
,0==+=
=⋅CB CA CB CA CD CB CA ，则向量CD 与CB 夹角的余弦值为
（ ）
A ．
5
1
B ．
52
C ．
5
3
D ．
5
4 8．已知圆的方程为,0862
2
=--+y x y x 设该圆中过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则
四边形ABCD 的面积是
（ ）
A ．610
B ．620
C ．630
D ．640 9．函数),0(,cos 22cos π∈+=x x x y 的单调递增区间为 （ ）
A ．)3
,
0(π
B ．)3
2,3(
π
π C ．)2
,3(
π
π
D ．),3
2(
ππ
10．点P 是双曲线122
22=-b
y a x （a >0, b >0）左支上的一点，其右焦点为F )0,(c ，若M 为线段FP 的中点,
且M 到坐标原点的距离为c 8
1
，则双曲线的离心率e 范围是 （ ）
A ．]8,1(
B ．]3
4,1(
C ．)3
5,34(
D ．]3,2(
二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分
11．已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---= ． 12．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，
若C C ab b a c ∠++<则,2cos 22
22 的取值范围是 。

13．已知两点(10)A ，，(0)B b ，，若抛物线2
4y x =上存在点C
使ABC ∆为等边三角形，则b ＝_________ ． 14．若某多面体的三视图（单位: cm ）如图所示, 则
此多面体的体积是 ．
15．在由1,2,3,4,5组成可重复数字的二位数中任取一个数, 如21、22等表示的数中只有一个偶数“2”，
我们称这样的数只有一个偶数数字，则组成的二位数中只有一个偶数数字的概率为 、 ． 16．对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”，
[来源:]
仿此，53
“分裂”中最大的数是 ． 17．已知y x ,满足⎩⎨
⎧≥≤-+2
32y x y ,不等式axy y x ≥+2
29恒成立,则a 的取值范围为
．
三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。

解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程; （Ⅱ）求函数()f x 在区间]2
,
0[π
上的值域．
19．如图，矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，G 是AC 中点，F 为CE 上的点，
且ACE BF 平面⊥． （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求三棱锥BGF C -的体积．
20．（本题满分14分）数列{n a }的前n 项和n S 满足：*
23()n n S a n n N =-∈．
（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式n a ；
（Ⅱ）令933++=
n S b n n ，数列{n b } 的前n 项和为n T ，求证：2
1
<n T ．
A
B
C
D
E
F
G
21．（本题满分15分）已知函数32
1()(2)41,()532
m f x mx x x g x mx =-+++=+．
（I ）当4m ≥时，求函数()f x 的单调递增区间；
（II ）是否存在0m <，使得对任意的1x ，2[2,3]x ∈都有12()()1f x g x -≤，若存在，求m 的范围；
若不存在，请说明理由．
22．已知椭圆22x a +22y b
=1（a >b >0）的离心率为2
2，右焦点为F （1，0），直线l 经过点F ，且与椭圆交
于A 、B 两点，O 为坐标原点． （I ）求椭圆的标准方程；
（II ）当直线l 绕点F 转动时，试问：在x 轴上是否存在定点M ，使得MB MA ⋅为常数?若存在，求
出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．BBAAA DDBDB 二．11．1 12．)3
,
0(π
13．5，-1/3 14．
6
5cm 3
15．
2514 16．29 17．2
15≤a
三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。

解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

18．解：（1）
()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ
=-+-+
1cos 22(sin cos )(sin cos )22x x x x x x =
++-+
221cos 22sin cos 22x x x x =
++-
1cos 22cos 22x x x =
- sin(2)6x π
=-
2T 2
π
π==周期∴
由2(),()6
2
23
k x k k Z x k Z π
π
ππ
π-
=+
∈=
+∈得 ∴函数图象的对称轴方程为 ()3
x k k Z π
π=+
∈
（2）2
0π
≤≤x ∴π≤≤x 0
∴ππ
π
6
5
626≤
-
≤-
x ∴1)6
2sin(21≤-≤-π
x
∴值域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
1,21 19． （Ⅰ）证明： ABE AD 平面⊥，BC AD //
∴ABE BC 平面⊥，则BC AE ⊥ 又 ACE BF 平面⊥，则BF AE ⊥ ∴BCE AE 平面⊥ 解： BFD AE 平面//
∴FG AE //，而BCE AE 平面⊥ ∴BCE FG 平面⊥ ∴BCF FG 平面⊥
G 是AC 中点 ∴F 是CE 中点
∴FG AE //且121
==AE FG
ACE BF 平面⊥
∴CE BF ⊥
∴BCE Rt ∆中，22
1
===CE CF BF ∴1222
1
=⋅⋅=∆CFB S （12分） ∴3
1
31=⋅⋅==∆--FG S V V CFB BCF G BFG
C
20．解 （1）当*n N ∈时有：),1(32,3211+-=∴-=++n a S n a S n n n n
两式相减得：111223,
23n n n n n a a a a a +++=--∴=+，’
∴132(3)n n a a ++=+，又11123a S a ==-， ∴ 113,360a a =+=≠．
∴数列{3+n a }是首项6，公比为2的等比数列．
从而1
362n n a -+=⋅，
∴323-⋅=n n a ．
（2）63233)323(21
--⋅=--⋅=+n n S n n n ∴)12(3931
+=+++n n n S
∴1
1
2
11
2
1++<
+=
n n n b
2121212
11)211(2
12
1212112132<-=--=+++<++n n n n T ． 21 ．解：（I ）321()(2)4132
m
f x mx x x =-+++
2()(4)4(4)(1)f x mx m x mx x '∴=-++=--．
i ）
若4m >时，则4
01m
<<， a) 此时4
(,
)(1,)x m
∈-∞+∞都有()0f x '>，
4
(,1)x m ∈有()0f x '<．
()f x ∴的单调递增区间为4
(,
]m
-∞和[1,)+∞． ii ）若4m =，则2()4(1)0f x x '=-≥，
()f x ∴的单调递增区间为(,)-∞+∞． （II ）当0m <时，
24()(4)4()(1)f x mx m x m x x m '=-++=-
-且4
1m
<， ∴当23x ≤≤时，都有()0f x '<．
∴此时，()f x 在[2,3]上单调递减 max 2()(2)13
m
f x f ∴==
+．
又()5g x mx =+在[2,3]上单调递减．min ()(3)35g x g m ==+．
由已知max min 27
()()(1)(35)4133
m f x g x m m -=+-+=--≤ 解得15,7m ≥-又0m <．15
07
m ∴-≤<．
综上所述，存在15[,0),7
m ∈-使对任意12,[2,3]x x ∈，都有12()()1f x g x -≤成立．
22（Ⅰ）由题意可知，c =1，又e =c
a
=22，解得a =2………
所以b 2
=a 2
-c 2
=1
所以椭圆的方程为22
x + y 2
=1．…
（II ）若直线l 不垂直于x 轴，可设l 的方程为y =k （x -1）．
由22
(1),1,2
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩
得（1+2k 2
）x 2
-4k 2
x +2k 2
-2=0．△=16k 4
-4（1+2k 2
）（2k 2
-2）=8k 2
+8>0． 设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,则
x 1+ x 2=22412k k +，x 1 x 2=22
22
12k k -+．…设M （t ，0），则MA =（ x 1-t ,y 1），MB =（ x 2-t ,y 2）,
MB MA ⋅=（x 1-t ）（x 2-t ）+ y 1 y 2
= x 1 x 2- t （x 1+ x 2）+ t 2+k 2
（x 1-1）（x 2-1） =（1+ k 2） x 1 x 2-（ t +k 2）（ x 1+ x 2）+ t 2+k 2
=（1+ k 2
）22
2212k k -+-（ t +k 2）2
2412k k ++ t 2+k 2
=424222422
2
(2222)(44)(22)12k k k k k t k t k t k k -+--++++++
=2222
(241)(2)12t t k t k
-++-+ 要使得MB MA ⋅=λ（λ为常数），只要2222
(241)(2)
12t t k t k
-++-+=λ， 即（2
2412t t λ-+-）k 2 + （t 2-2 -λ）=0．（*）
对于任意实数k ，要使（*）式恒成立，只要2224120,20,
t t t λλ⎧-+-=⎨--=⎩
解得4,57.16t λ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
…若直线l 垂直于x 轴，其方程为x =1． 此时，直线l 与椭圆两交点为A （1
、B （1,
,
取点S （45，0），有SA =（-14
）,SB =（-1
4
, SA SB ⋅=（-14）×（-1
4）
+2×（
-2
）
=716
-=λ ．
综上所述，过定点F （1，0）的动直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，当直线l 绕点F 转动时，存在定点M （54，0），使得MB MA ⋅=716
-。