高中数学 3.1.3 两角和与差的正切导学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案

3.1.3 两角和与差的正切
学习目标
重点难点
1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式并能应用． 2．能记住公式的结构特征和符号规律． 3．能熟练地正用、逆用和变形应用两角和与差的正切公式.
重点：两角和与差的正切公式的推导及应用．
难点：熟练地正用、逆用、变形应用两角和与差的正切公式.
1．两角和与差的正切公式
tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β.(T (α＋β))
tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β
.(T (α－β))
S (α＋β)，C (α＋β)，T (α＋β)都叫做和角公式，S (α－β)，C (α－β)，T (α－β)都叫做差角公式． 预习交流1
公式T (α±β)中α，β的使用范围是什么？
提示：α，β∈R ，且α，β，α±β≠k π＋π
2
(k ∈Z )，且tan αtan β≠±1．
2．两角和与差的正切公式的变形式
公式变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_
α
tan_β)， tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．
1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan α＋β,1＋tan αtan β＝tan α－tan β
tan α－β
，
tan α＋tan β＋tan αtan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)． tan α－tan β－tan(α－β)tan α·tan β＝tan(α－β)． 预习交流2
当α＝π
4
时，T (α±β)的公式分别变成了什么形式？
提示：当α＝π4时，tan(α＋β)＝1＋tan β1－tan β，tan(α－β)＝1－tan β
1＋tan β
.
预习交流3
(1)已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝__________；
(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝__________； (3)求值tan 11π
12＝__________.
提示：(1)－711 (2)1
7
(3)－2＋ 3
一、给角求值
化简1－3tan 75°3＋tan 75°
.
思路分析：
联想到两角差的正切公式，又由3＝tan 60°代入式子便可利用两角差的正切公式化简(也可通过先将原式化简，然后联想到两角差的正切公式，进行化简求值)．
解：原式＝1－tan 60°tan 75°
tan 60°＋tan 75°
＝1
tan 60°＋tan 75°1－tan 60°tan 75°
＝1tan 60°＋75°＝1
tan 135°
＝－1．
1．不查表，求tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°的值为__________． 答案： 3
解析：∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°
1－tan 20°tan 40°＝3，
∴tan 20°＋tan 40°＝3(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°.
∴tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 2．化简求值： (1)1＋tan 75°1－tan 75°
； (2)(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)； (3)tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°.
解：(1)原式＝tan 45°＋tan 75°
1－tan 45°tan 75°
＝tan(45°＋75°)＝－ 3.
(2)因为(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1
＋tan 1°＋tan 44°＋tan 1°×tan 44°＝2，
同理(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝2，…，所以原式＝222
. (3)∵tan 60°＝tan(25°＋35°) ＝tan 25°＋tan 35°1－tan 25°tan 35°＝3， ∴tan 25°＋tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)． ∴tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝ 3.
1．公式T (α＋β)，T (α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan α·tan β，
tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或
求出第三个．
2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换，如tan π4＝1，tan π
3
＝3，
1－tan α1＋tan α＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α等． 二、给值求值
已知sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－3π4的值．
思路分析：题目中给出了已知sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3
5
，且
α
∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
，π这一条件，由此可逆用两角和的正弦公式得出sin α的值，由角的范围进一
步得出cos α的值，利用tan α与sin α，cos α之间的关系展开tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－3π4再求解．
解：∵sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝sin[(α－β)＋β]＝sin α＝3
5
，
又∵α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2
α＝－1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫352
＝－45.
∴tan α＝sin α
cos α
＝
35
－45
＝－3
4. ∴tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α－3π4＝tan α－tan
3π
41＋tan αtan
3π4
＝－34＋11＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－34×－1
＝1
7.
1．已知sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2－x ＋sin π－x
cos －x ＋sin 2π－x ＝2 012.则tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋5π4的值为__________．
答案：2 012
解析：由已知得cos x ＋sin x cos x －sin x ＝1＋tan x
1－tan x
＝2 012，
∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x
＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝1＋tan x 1－tan x
＝2 012. 2．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－2
3
，试求tan(β－2α)．
解：∵tan(α－β)＝－23，∴tan(β－α)＝2
3
.
∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan β－α－tan α
1＋tan β－αtan α
＝23－121＋23×12
＝18.
化简求值常用的技巧
(1)“1”的代换：在T (α±β)中如果分子中出现“1”常利用1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的．
如：1－tan α1＋tan α＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α； 3tan α＋31－tan α＝3tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4. (2)若α＋β＝π
4
＋k π，k ∈Z ，则有(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.
(3)若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
三、给值求角
已知tan(α－β)＝12，tan β
＝－1
7
，α，β∈(0，π)，求2α－β.
思路分析：解决此类问题的关键是利用给定角的范围及函数值判断所求角的范围，并将角的范围进一步缩小至某个单调区间内．
解：tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13＜1，故α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4，
tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan α－β
1－tan αtan α－β
＝13＋121－13×12
＝1．
∵tan β＝－1
7，β∈(0，π)，
∴β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.2α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2.
∴2α－β∈(－π，0)．
又tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－3π
4
.
1．若tan α＝3(1＋a )，3(tan αtan β＋a )＋tan β＝0，α，β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，则
α＋β＝__________.
答案：π
3
解析：∵tan α＝3(1＋a )，且3(tan αtan β＋a )＋tan β＝0， ∴3tan α·tan β＋tan α－3＋tan β＝0. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β
＝ 3.∴tan(α＋β)＝ 3. ∵α，β∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)．∴α＋β＝π3.
2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边
分别与单位圆交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，25
5
.
(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．
解：由条件得cos α＝210，cos β＝25
5
.
∵α，β为锐角，
∴sin α＝1－cos 2
α＝7210，
sin β＝
1－cos 2
β＝
55. 因此tan α＝7，tan β＝1
2
.
(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan α·tan β
＝7＋12
1－7×
12
＝－3.
(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝tan α＋β＋tan β
1－tan α＋βtan β＝－3＋
121－－3×
1
2＝－1， 又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π
2
，
∴α＋2β＝3π
4
.
1．通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原
则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；
若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，选正弦较好． 2．解给值求角问题的一般步骤为：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．
1．已知1－tan α1＋tan α＝5，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为__________． 答案：
55
解析：由条件，得tan π
4
－tan α
1＋tan π
4
tan α
＝5，
即tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α＝ 5. 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α＝55. 2．tan 32°＋tan 88°1＋tan 32°tan 92°
＝__________. 答案：－ 3
解析：tan 32°＋tan 88°1＋tan 32°tan 92°＝tan 32°＋tan 88°
1－tan 32°tan 88°＝tan(32°＋88°)＝tan 120°＝
－ 3.
3．tan 7π
12＝__________.
答案：－2－ 3
解析：tan 7π12＝tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋π4＝tan π3＋tan
π41－tan π3tan
π4
＝
3＋1
1－3＝－2－ 3. 4．(2012重庆高考，理5改编)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为__________．
答案：－3
解析：因为tan α，tan β是方程x 2
－3x ＋2＝0的两根，所以tan α＋tan β＝3，
tan α·tan β＝2，而tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝3
1－2
＝－3.
5．下图是由三个正方形拼接而成的长方形，求α＋β＋γ的值．
解：易知tan α＝13，tan β＝1
2，
∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β＝1，
由题意α＋β＝π4，而γ＝π
4，
∴α＋β＋γ＝π
2.。