湘教版解读-131平方根

**平方根 知识要点 课标要求 中考考点 节内对应例题 节内对应习题
算术平方根
了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根，会用计算器求算术平方根。

会求一个非负数的算术平方根，理解和掌握算术平方根的性质.会用计算器求一个非负数的算术平方根。

试练例题1；
易错典例3，4,5； 题型典例1， 3，4，5, 8，9，10 中考典例1，4 中考变式练1,4
新题精练 1，2，4，5，6,7， 8，9,10，13，15，17,18 平方根
了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根。

了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根。

会求一个非负数的平方根，理解和掌握平方根的性质
试练例题2； 易错典例1,2
题型典例1，4，6，7，
中考典例2，
中考变式练2 新题精练 8，11，12，14，16
本节重、难点
（1）重点： 掌握算术平方根和平方根的概念及性质，会求一个非负数的算术平方根、平方根。

（2）难点：估计一个正数的算术平方根的近似值
知识全解
知识点一：算术平方根的概念及表示方法(重点)
知识点：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．规定：0的算术平方根是0.
非负数a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．
知识拓展：算术平方根a 具有双重非负性：（1）被开方数a 是非负数；（2）算术平方根a 本身是非负数. 知识警示：①“
”的指数为2，是
2
的简写形式；②0的算术平方根是0，负数没有
算术平方根，也就是说，当式子a 有意义时，它一定表示一个非负数；③由于任何一个数的平方都是非负数，所以求算术平方根时，被开方数必须是非负数，它的算术平方根也一定是非负数，即算术平方根具有非负性，;0 a ④算术平方根是它本身的数只有0和1. 【试练例题1】求下列各数的算术平方根： (1)169, (2)
121144
(3)0.01 (4)(-6 )2 (5)106
（6）13 思路导引：按照算术平方根的定义，只要分别找到一个非负数的平方分别等于上面的几个数，那么这几个非负数就是上面几个数的算术平方根.
4 4 1 = 解：（1）∵132
=169，∴169的算术平方根是13，即：16913=。

（2）∵2
1112112144⎛⎫= ⎪⎝⎭
，∴121144的算术平方根是1112，即：1211114412=。

（3）∵0.12
=0.01，∴0.01的算术平方根是0.1，即：0.010.1=。

（4）∵(-6 )2
=6 2
=36，∴(-6 )2
的算术平方根是6，即：2(6)6-=。

（5）∵106
=()2
310
，∴106
的算术平方根是103
，即：
631010=。

（6）∵13的算术平方根是13。

方法总结：正确理解算术平方根的定义，更主要的是找到哪个数的平方等于这个数，解决此
类题主要是依据乘方和开方互为逆运算来进行的.注意在解这类题时，要明确是求哪个数的算术平方根.
知识点二： 用计算器求一个正有理数的算术平方根（了解）
在计算数的算术平方根时，有些数据比较大或不容易求出，可以借助计算器求其算术平方根.
在计算器上按“”键，输入被开方数后，按“=”键直接计算出算术平方根.
知识警示：①计算器里显示的数值中，许多都是近似值；②不同的计算器按键的顺序有所不同；③计算器显示的是一个非负数的算术平方根，求一个非负数的平方根时，只要在算术平方根前加“±”号即可；④通常求一个分数的平方根时，要先把这个分数化成小数再计算.
【试练例题2】用计算器求下列各数的算术平方根
（1）441； （2）4225；（3）44.81.
思路导引：用计算器求一个正数的平方根，只需要直接按书写顺序按键即可.
解：（1）在计算器上依次键入 ，显示结果为21，所以441的算术平方根为;21441=
（2）在计算器上依次键入 ，显示结果为65，所以4225的算术平方根为;654225=
（3）在计算器上依次键入， ，显示结果为6.694027188，所以44.81的算术平方根为
.69.681.44≈
点拨：用计算器求算术平方根时，要特别注意计算器的型号及按键顺序.
知识点三：平方根的概念及其性质（重难点）
1.平方根的概念：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2
= a ，那么这个数x 叫做
4 2 2
5 = = 4 4 · 8 1
a 的平方根（也叫二次方根）.正数a 有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ”，另一个是“－a ”， 这两个平方根合起来可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”. 2.平方根的性质
（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数； （2）0只有一个平方根，它是0本身；
（3）没有一个数的平方是负数，所以负数没有平方根.
3.开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数. 知识拓展：关于算术平方根的公式 （1）
()
2
a
a =（a ≥0）
（2）()()⎪⎩
⎪⎨⎧〈-=〉==).0(,00,02
a a a a a a a
知识规律：平方根与算术平方根之间的区别和联系
算术平方根
平方根
区
别 定义不同 如果一个正数x 的平方等于a ，即
2x =a ，那么这个正数x 叫做a 的算
术平方根．
如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根．
个数不同 一个正数的算术平方根只有一个
一个正数有两个平方根，它们互为相反数
表示方法不同
非负数a 的算术平方根表示为
非负数a 的平方根表示为
取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数
正数的平方根是一正、一负
联 系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的正的那个 存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0的平方根与算术平方根都是0
知识警示：①一个正数的正的平方根就是它的算术平方根；②平方与开方是互逆运算关系.开平方是和加、
减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程.我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确；③平方根是它本身的数只有0.
【试练例题3】求下列各数的平方根。

(1)0.36 (2) (-1.3)2
(3) 2
49
46
(4 ) 31 思路导引：求一个正数的平方根，先找出平方等于这个正数的数，这样的数有两个，互为相反数，不能只考虑正数而把负数遗漏了；如果一个数为带分数一般先化为假分数；如果这个
关系
名称
正数a 不能写成有理数的平方形式，则可以将a 的平方根表示成±a 。

解：（1）∵（±0.6）2=0.36，∴0.36的平方根是±0.6，即±36.0=±0.6
（2）∵（±1.3）2=（-1.3）2，∴（-1.3）2的平方根是±1.3，即±2)3.1(-=±1.3
（3）2
4946=43144，∵（±712）2=49144，∴49144的平方根是±712，即±49462=±7
12
（4）31的平方根是±31
方法与规律:掌握平方根的定义，首先确定哪个数的平方等这个数，然后求出这个数的平方
根，注意书写。

易错易混辨析
易错点1 对平方根的理解错误
【易错典例1】下列说法：①36的平方根是6；②±9的平方根是±3；③16＝±4；④0.01是0.1的平方根；⑤42
的平方根4.其中正确的个数有（ ）
**个 B.1个 C.3个 D.5个
思路导引：①这种说法是错误的.因为任何一个正数的平方根都有两个，它们是互为相反数.所以36的平方根应该是±6；②这种说法是不正确的.因为负数没有平方根，正确的说法是9的平方根是±3，而－9没有平方根；③显然这个等式不成立，由于左边16的结果是4，而右边却是±4，所以这种说法是错误的；④这种说法是错误的.因为（±0.1）2＝0.01，即0.01的平方根是±0.1.所以正确地说法是0.1是0.01的平方根.所以这五种说法都是错误的.⑤∵（±4）2=16， ∴42的平方根是±4
解： 选A . 误区总结：一定要注意，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；负数没有平方根；
a 表示a 的算术平方根，a ±表示a 的平方根。

易错点2：误将用算术平方根表示的数值当成原数，造成错误 【易错典例2】求81的平方根
思路导引：一定要认真审题，不要被题目的表面现象迷惑，81=9，所以此题求的是9的平方根。

解：∵81=9，∴9的平方根是3±，即81的平方根是3±. 误区总结：易将“求81的平方根”当成求“求81的平方根”. 易错点3：求带分数的算术平方根出错 【易错典例3】求的9
1
16
值。

思路导引：如果一个数为带分数一般先化为假分数. 解：91
16=2516=54
误区总结：不能将一个带分数的整数部分和分数部分分开分别开方，显然91
16=2516=5
4
≠9116+
=1+3
4
. 易错点4：考虑问题片面
【易错典例4】当x 时，31x -有意义.
思路导引：根据算术平方根的意义，可知被开方数是非负数解题。

解：当3x-1≥0时，即x ≥
1
3
时 31x -有意义. 误区总结：不能忽略被开方数可以等于0.
易错点5：化简含有2
a 的式子时，没有考虑a 的取值范围，造成错误 【易错典例5】化简2(3)π-.
思路导引：根据()()⎪⎩
⎪⎨⎧〈-=〉==).0(,00,02
a a a a a a a 进行化简，注意3π
-的取值范围。

解：
2(3)π-=|3π-|= 3.π-
误区总结：此题容易忽略3π-<0这一隐含条件，因为2
(3)π->0，所以其值不能为负数，会出
现错解：
2(3)π-=3.π-
基础经典全析
题型1求一个数的算术平方根或平方根
【题型典例1】 求下列各数的平方根和算术平方根 (1)121； (2) 2
9
7； (3) (－13)2； (4)－(－4)3
. 思路导引：根据开方和乘方互为逆运算来解此题；把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂，如其中2
9
2597=，(－13)2= 169，－(－4)3
=64， 解：(1)∵(±11)2
=121
∴121的平方根是±11，算术平方根是11，即±121=±11；121=11
(2) ∵2
92597=，(±35)2=925，∴297的平方根是±35，算术平方根是3
5
即±972
=±3
5
；972=35 (3) ∵(－13)2
=169，(±13)2
=169，∴(－13)2
的平方根是±13，算术平方根是13 即±2)13(-=±13；2)13(-=13
(4) ∵－(－4)3
=64，(±8)2
=64，∴－(－4)3
的平方根是±8，算术平方根是8 即±3)4(--=±8. 3)4(--=8.
方法总结：根据平方根与算术平方根的定义及平方与开平方互为逆运算，可以通过平方运算
来求一个数的平方根和算术平方根.要熟记一些简单的平方数对求一个非负数的算术平方根十分有益。

题型2用计算器求一个数的平方根
【题型典例2】用计算器求下列各式的值：
思路导引：按正确的按键顺序按键即可得出结果。

题型3 运用算术平方根进行计算
【题型典例3】计算：49916225++-
思路导引：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算即可． 解：原式=7+5-15=-3．
点拨：本题主要考查了简单的实数的计算，解题时容易出现是： 916+=916+的错误．
题型4 利用算术平方根的定义求值 【题型典例4】
题型5 求未知数的取值范围
【题型典例5】x 为何值时，下列各式有意义？ （1）1x + ； （2）2x x +-； （3）
2
2
x x +- 思路导引：只有非负数才有算术平方根和平方根，因此算术平方根和平方根的被开方数大于或等于0.式子中含有分母是，分母不能等于0. 解：（1）当1x +≥0，即x ≥-1时，1x +有意义。

（2）当0
20
x x ≥⎧⎨
-≥⎩，即02x ≤≤时，2x x +-有意义。

（3）当2x +≥0，且20x -≠，即x ≥-2且2x ≠时，
2
2
x x +-有意义。

题型6 利用平方根的性质求值
【题型典例6】一个正数的两个平方根分别是21a +和4a -，求这个数
思路导引：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以21a +和4a -互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0，易列方程求解。

解：因为一个正数的平方根是21a +和4a -， 则有21a ++4a -=0
即330a -=，解得1=a
所以这个数为22
(21)(21)9a +=+=
方法总结：本题考查对一个正数的两个平方根的关系的理解：一个正数的两个平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零，建立含a 的方程，再求a 的值，进而求出这个数. 题型7 利用平方根的定义解方程 【题型典例7】求下列各式中x 的值．
（1）4x 2=9 （2）（x-1）2
=25． 思路导引：（1）先得到x 2
=
9
4
，然后根据平方根的定义直接求解； （2）根据平方根的定义得到）x-1=± 25=±5，然后解两个一元一次方程即可．
解：（1）x 2
=
94，∴x=± 94，x=± 3
2
；
（2）x-1=± 25，∴x-1=±5，∴x-1=5或x-1=-5，∴x=6 或x=-4．
方法：根据平方根的意义，先把方程化成两个一次方程进行求解。

题型8利用被开方数a 的非负性求值 【题型典例8】已知522+-+-=
x x y ，求y x +2的值
思路导引：因为只有非负数才有平方根，由此我们可以构造关于x 的不等式组，从而求出不等式组的解集，确定x 、y 的值，进而得到y x +2的值.
解：由题意，得⎩⎨⎧≥-≥-0202x x 所以⎩⎨⎧≤≥2
2
x x ，所以2=x
当2=x 时552222=+-+-=
y
所以95222=+⨯=+y x
方法：在算术平方根中，当被开方数是相反数时，只有它们都等于0时，这两个式子才有意
义.根据这个特点，我们可以列出不等式组，从而求出这个不等式组的解集，进而使问题得到解决.
题型 9利用a 是非负数求值
【题型典例9】 已知x ，y 是实数，1-x +3（y-2）2
= 0，则x-y 的值是（ ）
** B.－3 C.1 D.－1
思路导引：因为1-x ≥0，y - 2≥0，所以两个非负数之和为0，必须每个加数均为0，
因此，x －1 = 0，y – 2 = 0，解得x =1，y =2. 所以x －y = 1－2 =－1. 故应选D.
方法总结：任何一个非负数的算术平方根均为非负数，即a ≥0（a ≥0）. 常见的非负数
有三种形式：（1）a ≥0（a ≥0）；（2）|a|≥0；(3)a 2
≥0.
题型10算术平方根的实际应用
【题型典例10】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限，近似地满足如下的关系式：d=7× （t≥12）．其中d 代表苔藓的直径，单位是厘米；t 代表冰川消失的时间，单位是年．
（1）计算冰川消失16年后苔藓的直径；
（2）如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 思路导引：（1）根据题意可知分别是求当t=16时，d 的值，直接把对应数值代入关系式即可求解；（2）根据题意可知是求当d=35时，t 的值，直接把对应数值代入关系式即可求解． 解：（1）当t=16时，d=7× =7×2=14cm； （2）当d=35时， =5，即t-12=25，解得t=37年．
答：冰川消失16年后苔藓的直径为14cm ，冰川约是在37年前消失的．
点拨：本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．会根据题意把数值准确的代入对应的关系式中是解题的关键．
题型11比较两个数的大小
【题型典例11】比较大小：（1） 35与6； （2）51-+与22
-
．
思路导引：（1）可把6还原成带根号的形式再比较被开方数即可比较大小；（2）可采用近似求值的方法来比较大小．
解：（1）∵6=
36，35＜36，∴ 35＜6；
（2）∵-51-
++1≈-2.236+1=-1.236，2
2
-≈-0.707，1.236＞0.707，∴ 51-
+＜ 2
2
-
．
方法：此题主要考查了数的大小比较，当一个带根号的数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把有理数还原成带根号的形式，比较被开方数．也可采用近似求值的方法来比较大小．
综合创新探究
题型12 算术平方根的估算
【题型典例12】已知77+的小数部分是a ，77-小数部分是b ，求a+b 的值。

题眼直击：算术平方根 估算 整数部分 小数部分 思路导引：∵27<
<3，∴7的整数部分是2，小数部分是72-，∴77+的小数
部分也是72-，∴a=72-；∵77-的整数部分是4，∴77-的小数部分是
77--4=3-7，所以b=3-7，从而可以求出a+b 的值。

解：根据题意可得，a=72-，b=3-7，所以a+b=(72)-+（3-7）=1.
方法归纳：先估算带根号的数的整数部分，根据它的整数部分，推出其小数部分，再根据
它参与的算式确定算式结果的整数部分和小数部分。

题型13 算术平方根的化简求值
【题型典例13】化简：2
(2)x +－2
(1)x -+(
)
2
2x -
题眼直击：算术平方根 化简 取值范围 思路导引：注意挖掘题目中的隐含条件，由
2x -可知2x ≥，∴ｘ＋２≥０,１－ｘ≤０，
再根据()()2
000(0)a a a a a a a 〉⎧⎪===⎨⎪-〈⎩
，
()
2
a
a =化简即可．
解：依题意可知2x ≥，∴ｘ＋２≥０,１－ｘ≤０，
∴
2(2)x +－2
(1)x -+
(
)
2
2
x -＝2x +－1x -+（2x -）＝ｘ＋２－
()1x --⎡⎤⎣⎦+（2x -）＝ｘ＋２＋１－ｘ＋ｘ－２＝ｘ＋１
点拨：化简2
a 时，一定要注意ａ的取值范围，特别是当ａ代表一个代数式时，还应该注意挖掘题目中的隐含条件。

题型14 算术平方根在图案设计中的应用
【题型典例14】如图①所示，将两块边长都为3cm 的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图②所示的一个大正方形，你能求出这个大正方形的面积吗？它的边长是整数吗？若不是整数，那么请你估计这个边长的值在哪两个整数之间？
题眼直击：算术平方根 图案设计 拼图 估算
解：由图可知，大正方形纸板的面积是由两个小正方形纸板拼凑而成，因此大正方形的面积为32
＋32
＝18（cm 2），大正方形的边长是18cm （－18舍去），显然18不是整数，由
于42
＝16，52
＝25，因此可以估计18在整数4与5之间.
点拨：本题中大正方形的面积即为两个小正方形面积之和，表示大正方形边长的数是18，它既不是整数，也不是分数。

在一些数学计算的结果中，可以直接用含根号的数表示。

题型16 规律探索 【题型典例16】
题眼直击：算术平方根 阅读理解 规律探索
思路导引：从给出的运算过程中找出规律：即根式的系数为被开方数的分子，得数中的被开方数为分式，分子为原式中分子的立方，分母为原分式中的分母．然后依规律计算即可；
3cm 3cm 3cm 3cm
3cm 3cm
点拨：这类题目注重培养学生的观察总结能力，聚合思维能力，是难度稍大且较为灵活的一类题目。

题型15 阅读理解题
【题型典例15】请你观察思考下列计算过程：因为112＝121，所以121＝11；同样，因为1112＝12321，所以12321＝111；…；由此猜想12345678987654321＝＿＿＿＿.
题眼直击：算术平方根阅读理解规律探索
思路导引：观察121、12321、…，这些数字都是呈对称型的，而121＝112、12321＝1112、…，就是说，121、12321、…这些数的算术平方根分别是11、111、…，由此，因为112＝121，
即121＝11；1112＝12321，即12321＝111；…；所以XX654321＝1111111112，即XX654321的算术平方根是111111111.
答案：111111111.
点拨：本题是一道阅读理解题，要求我们通过阅读理解，从中找到规律才是求解本题的关键.
备战中考
本节的主要内容是算术平方根和平方根的概念和性质，中考题对算术平方根、平方根的概念的理解及估算为主，多以选择题、填空题的形式出现，有时和勾股定理等知识结合，设计探究性实际问题，考查学生分析、解决问题的能力。

考法1 求一个数的算术平方根
【中考典例1】（2011山东日照，1，3分）(-2)2的算术平方根是（）
A、2
B、±2
C、-2
D、2
思路导引：(-2)2=4，4=2；所以选择A；
答案：A
点拨：要先计算平方，然后在求算术平方根；
中考变式1.（2011福建漳州，3，3分）9的算术平方根是( )
A．3 B．±3 C．3D．3
1. A 因为32＝9，因此9的算术平方根是3
考法2 求一个数的平方根
【中考典例2】（2011四川成都，1，3分）4的平方根是（）
A．±16 B．16 C．±2 D．2
思路导引：由平方根的定义知：（±2）2＝4，所以4的平方根是±2．故选C．
答案：C
方法归纳：一个正数有两个平方根，它们是互为相反数；而一个正数的算术平方根只有一个．
中考变式2（2011贵州黔南，1,4分）9的平方根为（）
** B.±3 C. D.±
思路导引：先求出9=3，本题就是求3的平方根是多少。

因此应选D.
答案：D
点拨：本题考查了平方根的概念，掌握平方根和算术平方根的概念是解答本题的关键。

考法3 利用计算器求一个数的算术平方根
【中考典例3】（2011湖南张家界，12，3分）我们可以利用计算器求一个正数a的平方根，
其操作方法的顺序进行按键输入：a.小明按键输入16显示的结果为4，则他按键输入1600后显示的结果为.
思路导引：根据算术平方根的定义可知，1600的算术平方根是40．
答案：40
点拨：熟练掌握用计算器求平方根的做法是解答本题的关键.
中考变式3(华师大教材第12章数的开方12.1 平方根与立方根例3)
用计算器求下列各数的算术平方根：
（1） 529；（2） 1225；（3） 44.81 ．
思路导引：用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．
解（1）在计算器上依次键入
■ 5 2 ９＝，
显示结果为23，所以529的算术平方根为
529＝23．
（2）在计算器上依次键入
■ 1 2 2 5 ＝，
显示结果为35，所以1225的算术平方根为
1225＝35．
（3）在计算器上依次键入
■ 4 4 · 8 1 ＝，
显示结果为，如果要求精确到0.01，那么
44≈6.69．
81
.
考法4 估算大小
【中考典例4】（2011辽宁本溪，3，3分）下列整数中与15最接近的数是（）
A ．2
B ．4
C ．15
D ．16
思路导引：由于9<15<16，所以15的平方根应在3和4 之间，又因为3.52=12.25，所以15最接近的数为B ． 答案：B 方法：解决此类问题的步骤是首先确定所在整数的范围，然后再确定两个整数之间的数的平方，进而确定出其范围．
中考变式4（2011江苏徐州，3,2分）估计11的值
A.在2到3之间
B. 在3到4之间
C. 在4到5之间
D. 在5到6之间
思路导引：由于9<11<16，所以11的平方根应在3和4 之间，又因为3.52=12.25，所以11最接近的数为B ．
答案：B 方法：本题主要考查对实数的估算的知识，解决此类问题的步骤是首先确定所在整数的范围，然后再确定两个整数之间的数的平方，进而确定出其范围.
新题精练 1.
知识点1 题型1 2.
知识点1 题型1
3.用计算器求2008的算术平方根时，下列四个键中，必须按的键是（ ）
知识点2 题型2
4. 已知x 满足︳2008－x ︳＋2009-x ＝x ，那么x －20082
的值为（ ）
知识点1 题型9
5.当x 时，代数式1
1
x x +-有意义。

知识点1 题型5
6.比较下列各数的大小： （1）15.9 4 （2）27- 5.2- 知识点1 题型 11
7.10在a 和b 两个连续的整数之间，即a ＜10＜b ，那么a+b= . 知识点1 题型12
8.求下列各数的算术平方根和平方根
（1）； （2）0.0001； （3）； （4）； （5）0
知识点1、3 题型1
9.求值：已知y=x 2
-5，且y 的算术平方根是2，求x 的值． 知识点1、2 题型4
10.计算：
知识点1、题型典例3 11.
知识点3 题型6
12.求下列各式中的x ：
①（x+1）2
+8=72；
②3（2x-1）2
-27=0． 知识点3 题型6
13.已知y ＝3x -+3x -－2.求y x
的值.
知识点1 题型8
14.已知一个高为cm 40的圆柱形水桶装L 6.28水，求水桶的底面半径长（π取14.3） 知识点1 题型10
15.已知0x <<3，化简：2
(31)4x x +--． 知识点1 题型13
16．学校要建一个面积是812m 的草坪，草坪周围用铁栅栏围绕，有两种方案.有人建议：
建成正方形的；也有人说要建成圆形的.如果从节省铁栅栏费用的角度考虑，你选择哪个？请说明理由（π取3.14）. 知识点3 题型14
17. 观察下列各式：0.0000010.001=，0.00010.01=，0.010.1=，11=，
10010=，10010=，10000100=．通过观察后再回答问题．
问：
（1）被开方数a 的小数点位置移动和它的算术平方根 a 的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律．
（2）已知： a =1800， 3.24 1.8-=-，你能求出a 的值吗？ （3）试比较 a 与a 的大小． 知识点1 题型15
18.先观察下列等式，再回答问题：
① 2211111111121112+
+=+-=+
②2211111111232216+
+=+-=+ ③22111111113433112
+
+=+-=+ （1） 请根据上面三个等式提供的信息，猜想22
11
145+
+的结果，并进行验证。

（2） 请按照上面各等式反映的规律，试写出含n 的式子表示的等式（n 为整数）。

知识点1 题型16
参考答案：
1.
2.
3.
4.答案：2009 思路导引：根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，就可得到x 的范围，就可去掉式子中的绝对值符号，求得x 的值．
5.答案：x ≥-1且1x ≠ 思路导引：根据算术平方根a 具有双重非负性可知，被开方数必
须是非负数，且使分母不等于0时1
1
x x +-有意义。

6. 答案：＜ ＞
思路导引：(1)可以求出两个数的平方，然后再比较大小，∵2
(15.9)15.9=，42
=16,15.9
＜16，∴15.9＜4；也可以利用计算器求出15.9的近似值，再与4比较大小。

(2) ∵
2(27)27=，5.22=27.04, 27＜27.04，∴27＜5.2，两个负数比较大小时，绝对值大
的反而小，∴27-＞ 5.2-；也可以利用计算器求出近似值，再与5.2比较大小。

方法：两数比较大小可以先求出近似值，再比较大小；也可以将两数分别平方，再比较大小。

7.思路导引：∵32=9，42
=16，而9＜10＜16，即9＜10＜16。

∴a 、b 的值分别是3、
4.故a+b=7. 答案：7.
方法总结：解答此类题通常采用“夹逼法”，先确定出与这个数的被开方数最近的两个完全平方数，再求出其算术平方根即可。

8.思路导引：求一个数的平方根，就是根据平方根的定义，看这个数是哪两个互为相反数的平方；求一个数的算术平方根，就是根据算术平方根的定义，看这个数是哪个非负数的平方.
解：（1）因为，，所以的算术平方根是，平方根是；
（2）因为，所以0.0001的算术平方根是0.01，平方根是；
（3）因为，即算术平方根是，平方根是；
（4）因为，所以的算术平方根是2，平方根是；
（5）因为，所以0的算术平方根是0，平方根也是0.
解题关键：解这类题的关键是弄清三种符号的意义：表示a的平方根，表示a的
算术平方根，表示a的负的平方根.
9.思路导引：由于被开方数应等于它算术平方根的平方．那么由此可求得y，然后即可求出x．
解：∵y的算术平方根是2，∴y =2，∴y=4；又∵y=x2-5，∴4=x2-5，∴x2=9，∴x=±3．
10.思路导引：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可．
11.
12.解：①∵（x+1）2
=64，∴x+1=±8，∴x=7或-9；
②∵3（2x-1）2=27，∴（2x-1）2
=9，∴2x-1=±9，2x-1=±3，∴x=2或x=-1．
13.思路导引：已知条件中含有两个算术平方根，此时可利用此非负性即求.
解：由3x -可知3－x ≥0，即x ≤3；再由3x -可知x －3≥0，即x ≥3，所以x ＝3.当x ＝3时，y ＝0+0－2＝－2.所以y x
＝(－2)3
＝－8.
14.思路导引：这是一道实际问题，需要清楚圆柱的体积公式为底面积⨯高，还要清楚圆的面积公式，这样可以将其转化为求算术平方根问题.
解：设圆的半径为r ，则有 100026.28402⨯=⨯r π
因为π取14.3，所以2252=r ，因为225152=，所以225的算术平方根是15，即
15225=，所以水桶的底面半径长为cm 15.
点拨：根据圆柱的体积公式, 圆的面积公式将其转化为求算术平方根问题，即转化为求225•的算术平方根.要要注意单位的换算，3100010001cm mL L ==
15.思路导引：此题中含有算术平方根的化简和绝对值的化简，注意()
()2
000(0)a a a a a a a 〉⎧⎪===⎨⎪-〈⎩
．
解：因为0x <<3，所以314x x +>0,-<0
所以2
(31)4x x +--＝31(4)x x ++-＝３ｘ＋１＋ｘ－４＝４ｘ－３．
16．设正方形的边长为xm ，由题意得 2x ＝81，则x ＝±81即x ＝±9，又因为x ＞0，所以x ＝9m. 正方形周长＝4x ＝36m.设圆的半径为rm ，由题意知 π2
r ＝81，r ＝±
81
π
，又因为r ＞0
所以r ＝
81
π
m ，所以圆周长＝2π·
81
π
＝18π≈31.90（m ）因为36＞31.90，所以选
用圆形的方案用料少，因此选用圆形这种方案.
大１０倍，让后利用此规律解第（２）题；第（３）题注意分类讨论，观察已知中的式子找出答案。

17.思路导引：从已知中发现被开方数在逐渐扩大，并且每扩大１００倍，其算术平方根扩 解： （1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动2位，算术平方根的小数点向左（或向右）移动1位； （2）观察1.8和1800，小数点向右移动了3位，则a 的值小数点向右移动6位．a=3240000； （3）当0＜a ＜1时， a ＞a ；当a=1时， a ＝ａ；当a ＞1时，a ＜ａ．
点拨：对于此类问题阅读要从两个方面进行比较发现规律：第一、把被开方数进行比较，；第二，把它们的算术平方根进行比较，从中发现规律。

第三题要注意这里要分三种情况来 考虑．此题也利用了分类讨论的思想．
18.思路导引：注意观察每个式子第一个等号后的式子的特征。

解：（1）2211145+
+111
1144120
=+-=+. 验证：2211145+
+=11
11625
++4002516441400400400400++=211
12020
== （2）2211111
111(1)1(1)
n n n n n n ++=+-=+
+++.。