江苏高二高中数学期末考试带答案解析

江苏高二高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、填空题
1.已知复数（为虚数单位），则复数的实部为__________.
2.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，若圆C的极坐标方程为，
则圆心C的直角坐标为__________.
3.若，则的值为．
4.已知向量，，且与互相垂直，则的值是_______．
5.二项式的展开式中常数项是．
6.在3名男教师和3名女教师中选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则有___________种不同的选取
方法（用数字作答）.
7.已知曲线在矩阵对应的变换下得到曲线，则曲线的方程为_________.
8.甲、乙、丙三人各自独立的破译一个密码，假定它们译出密码的概率都是，且相互独立，则至少两人译出密码
的概率为___________.
9.已知矩阵，则的逆矩阵_____________.
10.已知P为曲线（为参数，）上一点，O为坐标原点，若直线OP的倾斜角为，则P
点的坐标为___________.
11.现有10件产品，其中6件一等品，4件二等品，从中随机选出3件产品，其中一等品的件数记为随机变量X,则X的数学期望___________.
12.从3名男生和3名女生中选出4人分别分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不能担任一辩手，那么不同的编队形式有_____________种.（用数字作答）
13.除以9的余数为．
14.利用等式可以化简
等式有几种变式，如：又如将赋给，可得到，类比上
述方法化简等式：__________.
二、解答题
1.已知矩阵M＝，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4，0)，求实数a的值；并求
矩阵M的特征值及其对应的特征向量．
2.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合.曲线C的极坐标方程为
，曲线D的参数方程为（为参数）.
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线D的参数方程化为普通方程；
（2）若点P为直线（为参数）上的动点，点Q为曲线D上的动点，求P,Q两点间距离的最小值.
3.在某次问卷调查中，有a,b两题为选做题，规定每位被调查者必须且只需在其中选做一题，其中包括甲乙在内的
4名调查者选做a题的概率均为，选做b题的概率均为
（1）求甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率；
（2）设这4名受访者中选做b题的人数为，求的概率分布和数学期望.
4.如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，是侧棱
上一点.
（1）若，求的值；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
5.已知.
（1）当时，求的值；
（2）设
①求的表达式；
②使用数学归纳法证明：当时，
6.设函数
（1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（2）已知的展开式中各项的二项式系数和比的展开式中各项的二项式系数和大992，若
，且，求；
（3）已知正整数与正实数，满足
求证：
江苏高二高中数学期末考试答案及解析
一、填空题
1.已知复数（为虚数单位），则复数的实部为__________.
【答案】1
【解析】由题意可得：，
则复数的实部为1.
2.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，若圆C的极坐标方程为，则圆心C的直角坐标为__________.
【答案】
【解析】极坐标方程即：，化为直角坐标即：，
据此可得圆心C的直角坐标为
3.若，则的值为．
【答案】7
【解析】因为，所以，因为，所以
【考点】排列数与组合数
4.已知向量，，且与互相垂直，则的值是_______．
【答案】
【解析】由已知，据向量坐标的线性运算可得，，两向量互相垂直，则数量积为．则有，解得．故本题填．
5.二项式的展开式中常数项是．
【答案】15
【解析】二项式展开式的通项为，当时，，
.
【考点】二项式定理.
【思路点晴】在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；②是展开式中的第项，而不是第项；③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置；④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．
6.在3名男教师和3名女教师中选取3人参加义务献血，要求男、女教师都有，则有___________种不同的选取方法（用数字作答）. 【答案】18
【解析】选择3人参加义务献血的方法有： 种，其中只有男老师或者只有女老师的都有1种，据此可得：有
种不同的选取方法.
7.已知曲线在矩阵
对应的变换下得到曲线，则曲线的方程为_________.
【答案】
【解析】设P(x 0,y 0)为曲线C 上任意一点,点P 在矩阵A 对应的变换下得到点Q(x,y)， 则：
,即
,解得 ， 又(x 0−y 0)2+y 20=4,∴ ,即
，
∴曲线C′的方程为
8.甲、乙、丙三人各自独立的破译一个密码，假定它们译出密码的概率都是，且相互独立，则至少两人译出密码的概率为___________. 【答案】
【解析】两人译出密码的概率为 ,
三人译出密码的概率为
,
据此有：至少两人译出密码的概率为
.
点睛：求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．
②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
9.已知矩阵，则
的逆矩阵
_____________.
【答案】
【解析】由题意可得： ,则的逆矩阵.
10.已知P 为曲线
（为参数，）上一点，O 为坐标原点，若直线OP 的倾斜角为，则P
点的坐标为___________. 【答案】 【解析】设点P 的坐标为 ，由题意可得： ，
据此可得：
，即P 点的坐标为
.
11.现有10件产品，其中6件一等品，4件二等品，从中随机选出3件产品，其中一等品的件数记为随机变量X,则X 的数学期望___________. 【答案】
【解析】由题意可得：随机变量X 服从超几何分布：
，
据此计算可得X 的数学期望
.
点睛：超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X 的概率分布，超几何分布主要
用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．
12.从3名男生和3名女生中选出4人分别分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不能担任一辩手，那么不同的编队形式有_____________种.（用数字作答）
【答案】300
【解析】若选出的4人中没有男生甲，则选法为：，
若选出的4人中有男生甲，则选法为：，
由加法原理，不同的编队形式有种.
点睛： (1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部
分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．
13.除以9的余数为．
【答案】7
【解析】因为，所以除以9的余数为
【考点】二项式定理应用
14.利用等式可以化简
等式有几种变式，如：又如将赋给，可得到，类比上
述方法化简等式：__________.
【答案】
【解析】由题意可得：
二、解答题
1.已知矩阵M＝，其中a∈R，若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4，0)，求实数a的值；并求
矩阵M的特征值及其对应的特征向量．
【答案】a＝3.特征向量为.特征值为－1与4.
【解析】由＝，∴2－2a＝－4a＝3.
∴M＝，则矩阵M的特征多项式为
f(λ)＝＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4
令f(λ)＝0，得矩阵M的特征值为－1与4.
当λ＝－1时，x＋y＝0，
∴矩阵M的属于特征值－1的一个特征向量为；
当λ＝4时，2x－3y＝0，
∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.
2.已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合.曲线C的极坐标方程为
，曲线D的参数方程为（为参数）.
（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线D的参数方程化为普通方程；
（2）若点P为直线（为参数）上的动点，点Q为曲线D上的动点，求P,Q两点间距离的最小值.【答案】（1）x－y＋3＝0. （2）
【解析】
(1)首先求得直线的直角坐标方程为：x－y＋3＝0.然后消去参数可得曲线的普通方程为；
(2)首先求得圆心到直线的距离，然后减去半径可得P,Q两点间距离的最小值为.
试题解析：
（1）因为曲线的极坐标方程，
所以曲线的直角坐标方程为：x－y＋3＝0.
因为曲线的参数方程为 (α为参数).
所以曲线的普通方程为
（2）将直线方程化为普通方程，
圆D：的圆心到直线的距离
,
所以的最小值为
3.在某次问卷调查中，有a,b两题为选做题，规定每位被调查者必须且只需在其中选做一题，其中包括甲乙在内的
4名调查者选做a题的概率均为，选做b题的概率均为
（1）求甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率；
（2）设这4名受访者中选做b题的人数为，求的概率分布和数学期望.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
(1)利用古典概型公式可得甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率
(2)利用二项分布的公式首先求得分布列，然后可得数学期望为 .
试题解析：
（1）设事件表示“甲选做第题”，事件表示“乙选做第题”，则甲、乙2名受访者选做同一道题的事件为
“”，且事件、相互独立.
所以=
答：甲、乙两位被调查者选做同一道题的概率
（2）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且～.
所以，
所以变量的分布表为：
所以（或）
点睛：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：
一是是否为n次独立重复试验．在每次试验中事件A发生的概率是否均为p.
二是随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．且P(X＝k)＝p k(1－p)n－k表示在独立重复试
验中，事件A恰好发生k次的概率.
4.如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，是侧棱
上一点.
（1）若，求的值；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）（2）
【解析】
(1)建立空间直角坐标系，结合几何关系可得；
(2)结合(1)中的空间直角坐标系和题意可得直线与平面所成角的正弦值为.
试题解析：
（1）以为坐标原点，以射线、、
分别为、、轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则,，，
设，则，
由得，即
解得，
故；
(2)因为，所以，
设平面的一个法向量为，由
则，
设直线与平面所成的角为,所以，
所以直线与平面所成的角正弦值为.
5.已知.
（1）当时，求的值；
（2）设
①求的表达式；
②使用数学归纳法证明：当时，
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
(1)由函数的展开式可得时，求的值为；
(2)由二项式定理的展开式可得，然后利用数学归纳法证明题中的命题即可.
试题解析：
（1）记，令，
令，
故；
（2）设，则原展开式变为：，
则，
所以，
证明：①当时，，结论成立；
②假设时成立，即，
那么时，
所以当时结论也成立．
综上①②当时，．
6.设函数
（1）当时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（2）已知的展开式中各项的二项式系数和比的展开式中各项的二项式系数和大992，若
，且，求；
（3）已知正整数与正实数，满足
求证：
【答案】（1）T
＝=，；（2）242（3）见解析
4
【解析】
＝，；
(1)由杨辉三角的性质可得展开式中二项式系数最大的项为T
4
(2)有题意可得m=2，则242；
(3)利用题意结合二项式展开式的性质即可证得题中的结论.
试题解析：
（1）因为f(7，y)＝，故展开式中二项式系数最大的项分别是第4项和第5项，即T
＝=，
4
；
（2）由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，
所以2n＝32，解得n＝5
则由，又，且，所以，则
="242；"
(3)证明：由，得(1＋m)n＝m n(1＋)n＝(m＋)n，
则1＋m＝m＋，所以m＝，
又＝(1＋)2 017＝(1＋)2 017
1＋＋ ()2＋ ()31＋2＋2＋1＝6，
而＝(1＋)－2 017<1，
所以．。