高三数学精品课件： 数学归纳法

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考点三 归纳猜想证明 (核心考点——合作探究)
解析：(1)当 n＝1 时，由已知得 a1＝a21＋a11－1，a12＋2a1－2＝ 0.∴a1＝ 3－1(a1＞0)． 当 n＝2 时，由已知得 a1＋a2＝a22＋a12－1， 将 a1＝ 3－1 代入并整理得 a22＋2 3a2－2＝0. ∴a2＝ 5－ 3(a2＞0)．同理可得 a3＝ 7－ 5. 猜想 an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*)．
法的原理．
素养
2.能用数学归纳
☆
形成
法证明一些简单
的数学命题.
考查 主要通过数学归纳法证明问题，考查
角度 逻辑推理能力.
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1．数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 n 取 第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n＝k＋1 时命题也成立．
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考点二 证明不等式 (核心考点——合作探究)
当 n＝k＋1 时，左边＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋3k1＋3＝(k＋1 1＋k＋1 2 ＋k＋1 3＋…＋31k)＋3k1＋1＋3k1＋2＋3k1＋3－k＋1 1>56＋3k1＋3×3 －k＋1 1＝56， 所以当 n＝k＋1 时，命题也成立． 综合①②可知原命题成立．
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考点一 证明等式 (核心考点——合作探究)
[方法总结] 应用数学归纳法证明等式的 3 个注意点 1．明确初始值 n0 的取值并验证 n＝n0 时等式成立． 2．由 n＝k 证明 n＝k＋1 时，弄清左边增加的项，且明确变形 目标． 3．掌握恒等变形常用的方法：(1)因式分解；(2)添拆项；(3)配 方法．
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小题诊断
1．某个命题和正整数 n 有关，如 果当 n＝k，k 为正整数时命题成立， 那么可推得当 n＝k＋1 时，命题也 成立．现已知当 n＝7 时命题不成 立，那么可以推得( A ) A．当 n＝6 时该命题不成立 B．当 n＝6 时该命题成立 C．当 n＝8 时该命题不成立 D．当 n＝8 时该命题成立
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考点二 证明不等式 (核心考点——合作探究)
(2019·泰州模拟)(1)当 x>1 时，求证：x2＋x12>x＋1x； (2)用数学归纳法证明n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n≥56(n∈N*)． 证明：(1)x2＋x12－(x＋1x)＝x－12xx22＋x＋1， ∵x>1， ∴(x－1)2>0，x2>0，x2＋x＋1>0，
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考点二 证明不等式 (核心考点——合作探究)
[方法总结] 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 1．当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他办法不 容易证，则可考虑应用数学归纳法． 2．用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 成立，证明 n＝k ＋1 时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合 法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．
由数学归纳法知，对一切 n≥2，都有 an≤n＋1 2.
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考点三 归纳猜想证明 (核心考点——合作探究)
(2019·莱芜实验中学模拟)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：Sn＝a2n＋a1n－1，且 an＞0，n∈N*. (1)求 a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．
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小题纠偏
对于不等式 n2＋n＜n＋1(n∈N＋)，某同学用数学归纳法的证 明过程如下： (1)当 n＝1 时， 12＋1＜1＋1，不等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N＋且 k≥1)时，不等式成立．即 k2＋k＜k ＋ 1， 则 当 n ＝ k ＋ 1 时 ， k＋12＋k＋1＝ k2＋3k＋2＜
左边＝(k＋求1证＋：1)((nk＋＋11＋)(n2＋)·…2)·(·k…＋·(1n＋＋kn＋)＝1) 2n·1·3·5·…·(2n－1)(n ∈＝N(k*＋)．2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)
＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)． 这就是说当 n＝k＋1 时等式也成立， 故由(1)(2)可知，对所有 n∈N*等式成立．
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考点三 归纳猜想证明 (核心考点——合作探究)
(2)证明：①由(1)知，当 n＝1,2,3 时，通项公式成立． ②假设当 n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立， 即 ak＝ 2k＋1－ 2k－1. 由于 ak＋1＝Sk＋1－Sk＝ak2＋1＋ak1＋1－a2k－a1k， 将 ak＝ 2k＋1－ 2k－1代入上式，整理得 a2k＋1＋2 2k＋1ak＋1－2＝0， ∴ak＋1＝ 2k＋3－ 2k＋1，
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考点一 证明等式 (核心考点——合作探究)
②假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那么，当 n＝k＋1 时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)
猜想 an 的表达式是( B )
A．3n－2
B．n2
C．3n－1
D．4n－3
计算出 a1＝1，a2＝4， a3＝9，a4＝16.可猜想 an＝n2.
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小题诊断
由题意知 f(3)＝2，f(4)＝5，f(5)＝9，可以归纳出每增加一条
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整 数 n 都成立．
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2．数学归纳法的框图表示
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考点二 证明不等式 (核心考点——合作探究)
冲关演练
因为数列{an}各项均为正数，且满足 an＋1＝an－a2n，所以 a2＝a1－a21>0， 解得 0<a1<1.
当 n＝2 时，a3＝a2－a22＝14－(a2－12)2≤14，不等式成立，假设当 n＝k(k≥2，
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考点二 证明不等式 (核心考点——合作探究)
∴x2＋x12>x＋1x. (2)①当 n＝1 时，左边＝12＋13＝56≥56， 所以当 n＝1 时，命题成立； ②假设当 n＝k(k∈N*)时，命题成立， 则有k＋1 1＋k＋1 2＋…＋31k≥56，
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【知识拓展】 1．第一步验证 n＝n0 时，n0 不一定为 1，要根据题目要求选择 合适的起始值． 2．由 n＝k 时命题成立，证明 n＝k＋1 时命题成立的过程中， 一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．
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设k∈数N列*)时{a，n不}各等项式均成立为，正数，且满足 an＋1＝an－a2n.
求即证ak≤：k对＋1 2一，切 n≥2，都有 an≤n＋1 2.
则当 n＝k＋1 时，ak＋1＝ak－a2k＝14－(ak－12)2≤14－(k＋1 2－12)2＝kk＋＋212
<k＋k1＋k1＋3＝k＋11＋2，所以当 n＝k＋1 时，不等式也成立，
＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－k＋1 1]－k
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时结论仍然成立．
由①②可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈ N*)．
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4直．线设，平交面点内增有加n 的条个直数线为(n≥原3有)，直其线中的有条且数仅．有所两以条直f(4线)－互f(相3)
平行，任意三条直线不过同一点．若用 ＝3，f(5)－f(4)＝4，
f(n)表示这
n
条直线
交点的个数，则 f(4)＝____5____；当 n>4 时，f(n)＝ _猜 有_12_测(f_n(_n＋ 得_)_－1出_)_f((nf_3(－_n)_＝)2_－)_3_＋f((n用4－＋n1…)表＝＋示n(－n)．－1(1n)≥，4)．
第六章 不等式 第五节 数学归纳法
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考纲考情
素养形成
核心 数学 逻辑 数学 数学 直观 数据
1. 了 解 数 学 归 纳 素养 抽象 推理 建模 运算 想象 分析
解析：在 n＝k＋1 时，没用 n＝k 时的假设，不是数学归纳法．∴ 从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理不正确． 答案：D
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考点一 证明等式 (核心考点——合作探究)
(1)当 n＝1 时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； (2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立， 即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当 n＝k＋1 时，
所以 f(n)＝12(n＋1)(n－2)．
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1．数学归纳法证题时初始值 n0 不一定是 1. 2．推证 n＝k＋1 时一定要用上 n＝k 时的假设，否则不是数学 归纳法． 3．解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若 干具体项，这是归纳、猜想的基础．否则将会做大量无用功．
k2＋3k＋2＋k＋2＝ k＋22＝(k＋1)＋1， 所以当 n＝k＋1 时，不等式成立，则上述证法( )
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A．过程全部正确 B．n＝1 验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理不正确
由原命题与其逆否命 题的真假性相同，得 已知当 n＝7 时命题不 成立，那么可以推得 当 n＝6 时该命题不成 立．
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小题诊断
2．(2019·德州模拟)用数学归纳法 证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3 －1”，在验证 n＝1 时，左边计算 所得的式子为( D ) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23
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考点一 证明等式 (核心考点——合作探究)
冲关演练
设 f(n)＝1＋12＋13＋…＋n1(n∈N*)，求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n －1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
证明：①当 n＝2 时，左边＝f(1)＝1， 右边＝2(1＋12－1)＝1， 左边＝右边，等式成立．
当 n＝1 时，左边＝1 ＋2＋22＋23.
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小题诊断
3．(2019·常德模拟)数列{an}中，已
知 a1＝1，当 n≥2 时，an－an－1＝
2n－1，依次计算 a2，a3，a4 后，