高中数学人教B版选修4-4教学案第二章 2.1 曲线的参数方程

曲线的参数方程
[读教材·填要点]
定义：设在平面上取定了一个直角坐标系，把坐标，表示为第三个变量的
函数
(\\(＝((，＝((，))≤≤①
如果对于的每一个值(≤≤)①
式所确定的点(，)都在一条曲线上；而
这条曲线上的
任一点(，)，都可由
的某个值
通过
①
①
式得到，则称
变量
式为该曲线的参数方程，其中
参数
称为参数．如果从参数方程中消去
，就得到联系和的方程(，)＝，则
方程(，)＝
是这条曲线的直角坐标方程(即普通方
程)．
[小问题·大思维]
．参数方程中的参数是否一定有实际意义？
提示：参数是联系变数，的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，
也可以是没有明显实际意义的变数．
．曲线的参数方程一定是唯一的吗？
提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如
(\\(＝＋，＝(∈())和(\\(＝＋，＝))(∈) 都表示直线＝＋.
[例]指出下列参数方程表示什么曲线：
()(\\(＝＋，＝－＋；))(为参数)
()(\\(＝，＝；))(为参数)
()(\\(＝－－，＝＋－.))(为参数)
[思路点拨]本题考查化参数方程为普通方程的方法．解答此题需要从一个方程中解出，代入另一个方程．
[精解详析]()(－)＋(＋)＝＋＝，
即(－)＋(＋)＝，表示以(，－)为圆心，半径为的圆．
()＋＝＋＝，
即＋＝，表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆．
()－＝(－－)－(＋－)＝－，
即－＝.
又>，≥＝，
故－＝(≥)，它表示双曲线的上支．
()将参数方程化为普通方程时，消去参数的常用方法有：
①
代入法．先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示)，再代入另一个方程．
②
利用代数或三角函数中的恒等式消去参数．例如，对于参数方程
(\\(＝(＋()( θ，＝(－()( θ，))
如果是常数，θ是参数，那么可以利用公式θ＋θ＝消参；如果θ是常数，是参数，那么可以利用(＋)－(－)＝消参．
()一般来说，如果消去曲线的参数方程中的参数，就可以得到曲线的普通方程，但要注意，这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的．
．已知曲线的参数方程为(\\(＝θ＋，＝θ＋，))≤θ≤π.
把它化成普通方程，并说明它表示什么曲线．
解：由＝θ＋，＝θ＋可得θ＝－，
θ＝－.由θ＋θ＝得(－)＋(－)＝，
∴曲线的普通方程为(－)＋(－)＝，它表示以()为圆心为半径的圆．。