四川省成都外国语学校高三数学8月月考试题 文

成都外国语学校高2014级高二（下）期末考试
文科数学试题
试题分第Ｉ卷和第Ⅱ卷两部分。

满分150分，考试时间120 分钟。

注意事项：
1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓
名、准考证号和座位号填写在相应位置，
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；
3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上； 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。

第Ｉ卷
一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上) 1、计算
1234i
i +-的结果是（ ） A 、1255i -+ B 、1255i -- C 、2155i -+ D 、2155
i -
2、设0.3
3log 3,2,log sin
6
a b c ππ
===，则（ ）
A 、a b c >>
B 、c a b >>
C 、b a c >>
D 、b c a >>
3、下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（ ）
A 、sin y x =
B 、cos y x =
C 、tan y x =
D 、||y x x = 4、已知向量(1,1)a =，则与a 垂直的单位向量的坐标是（ ）
A 、(1,1)-或(1,1)-
B 、(或
C 、(1,1)-
D 、(
5、设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间
(－2，1]上的图像，则(2013)f ＋(2014)f ＝（ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、0
6、等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则
313
2310l o g l o g l o g a a a +++
=为（ ）
A 、12
B 、10
C 、8
D 、32log 5+
7、ABC ∆的三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足
cos cos a b
B A
=，则ABC ∆的形状是（ ）
A 、正三角形
B 、等腰三角形
C 、等腰直角三角形
D 、等腰三角形或直角三角形 8、已知集合1
2{|4210},{|1}1x
x x
A x a
B x x +=⋅--==≤+，若A B ≠∅，则实数a 的取值范围为（ ）
A 、5(,8]
4
B 、5[,8)
4
C 、 5
[,8]4 D 、5
(,8)4
9、已知α是ABC ∆的一个内角，且1sin cos 5
αα+=
，则2
sin 2cos αα+的值为（ ） A 、35- B 、825- C 、3325
D 、35-或825-
10
、
已
知
函
数
2342013()1...2342013x x x x f x x =+-+-++,2342013()1 (2342013)
x x x x g x x =-+-+--,
设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，
则
-b a 的最小值为（ ）
A 、11
B 、10
C 、9
D 、8
第Ⅱ卷
二．填空题（本大题5个小题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡上） 11、函数x x f 6log 21)(-=的定义域为____。

12、数列{}n a 是等差数列，123(1),0,(1)a f x a a f x =+==-，其中2()42f x x x =-+，
则此数列的前n 项和n S =_______ 。

13、已知||4,||3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=。

则,a b 的夹角为_______________。

14、海水受日月的引力作用，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。

一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。

在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。

下面是港口在某季节每天的时间与水深关系的表格： 时刻 ０：００
３：００
６：００
９：００
１２：００
１５：００
１８：００
２１：００
２４：００
水
深
５.０ ７.５ ５.０ ２.５ ５.０
７.５
５.０
２.５
５.０
选用函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>来模拟港口的水深与时间的关系。

如果一条货船的吃水深度是5米，安全条例规定至少有2.25米的安全间隙(船底与洋底的距离)，则该船一天之内在港口内呆的时间总和为____________小时 15、有如下列命题：
①三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍的三角形存在且唯一；②若
||||a b a b ⋅≥⋅，则存在正实数λ
，使得
a b λ=；③若函数
3
221()(33)13
f x x ax a a x =
-++-+在点1x =处取得极值，则实数1a =或2a =-；④函数
()sin f x x x =-有且只有一个零点。

其中正确命题的序号是 ．
三．解答题：（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
16、（12分）已知向量m u r =(sin()A B -，sin()2
A π-)，n r =(1，2sin
B )，且m u r ⋅n r =sin 2
C -，
其中A 、B 、C 分别为ABC ∆的三边a 、b 、c 所对的角. （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若3
sin sin sin 2
A B C +=，且ABC S ∆，求边c 的长.
17、（12分）小波以游戏方式决定：是去打球、唱歌还是去下棋。

游戏规则为：以O 为起点,
再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ,若0X >就去打球；若0X =就去唱歌；若0X <就去下棋。

(1) 写出数量积X 的所有可能取值
(2) 分别求小波去下棋的概率和不．
去唱歌的概率 18、（12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥
上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．
（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：
辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值。

（精确到1辆/小时）
19、（12分）如图,在长方体1111ABCD A BC D -中，11
,2AD AA AB ===，点E 为AB 的中点。

(1)求1A D 与平面1AD E 所成的角；
A 1
B 1
C 1
D 1
(2)求二面角1D CE D --的平面角的正切值。

20、（13分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足：*22()n n S a n n N =-∈。

（1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）若数列{}n b 的满足2log (2)n n b a =+，n T 为数列{
}2
n
n b a +的前n 项和，求证：12
n T ≥。

21、（14分）已知函数2()ln(1)f x ax x =++．
（1）当1
4
a =-时，求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当[0,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
（Ⅲ）求证：111
(1)(1)[1]1223
(1)
e n n ++⋅⋅+
<⨯⨯+（*n ∈N ，e 是自然对数的底数）。

提示：1
[ln(1)]'1
x x +=+
成都外国语学校高2014级高二下期期末考试
文科数学试题（参考答案）
一、选择题
1-5 ACDBC 6-10 BDBAB 二、填空题：
11
、(
0 12、
23n S n n =-或23n S n n =-+ 13、0120 14、8小时 15、①④ 三．解答题：（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 16、（12分）
解：（Ⅰ）m u r ⋅n r
=sin()A B -+2cos sin A B sin cos cos sin sin()A B A B A B =+=+ 在ABC ∆中，A B C π+=-，0C π<<
所以sin()sin A B C +=，又 m u r ⋅n r
=sin 2C - 所以sin sin 2=2sin cos C C C C =--
所以1cos 2
C =-，即23C π
=.
（Ⅱ）因为3sin sin sin 2A B C +=， 由正弦定理得3
2
a b c +=.
1sin 2ABC S ab C ∆===4=ab .
由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-222
29()44
a b ab a b ab c =++=+-=-
解得
5c =. 17、（12分）解:(1)X 的所有可能取值为2,1,0,1--． (2)数量积为-2的只有25OA OA ∙一种 数量积为-1的有
15OA OA ∙1624263435,,,,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙∙六
种
数量积为0的有13143646,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种 数量积为1的有12234556,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ∙∙∙∙四种 故所有可能的情况共有15种. 所以小波去下棋的概率为17
15
p = 因为去唱歌的概率为2415p =,所以小波不去唱歌的概率2411
111515
p p =-=-
=
18、（12分）解：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设
()b ax x v +=，
显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩
⎨⎧=+=+60200200b a b a
，1)
解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=320031b a
故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,
60x x x
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤-<≤.20020,2003
1,200,
60x x x x x
当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；
当20020≤≤x 时，()()()310000
220031200312
=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．
所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值
310000
． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值33333
10000
≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
19、（12分）解：在长方体1111ABCD A BC D -中，11,AD AA ==11A D AD ∴⊥
又在长方体1111ABCD A BC D -中，
AB ⊥侧面111,ADD A A D ⊂侧面11ADD A ，
1A D AB ∴⊥即1A D AE ⊥，
又1
1,,AD AE A AD AE =⊂面1AD E ，
1AD ∴⊥面1AD E ，
则1A D 与平面1AD E 所成的角为0
90 (2) 连DE ，在矩形ABCD 中，
2,1AB AD ==，
且E 为AB 之中点，则DE CE ⊥
，且DE =， 又
1DD ⊥底面
,A B C D C E ⊂底面
A B C ，1DD CE
∴⊥，而
11,,DD DE D DD DE =⊂面1DD E ，CE ∴⊥面11,DD E D E ⊂面1DD E ，则
A
B
C
D
E
A 1
B 1
C 1
D 1
1D E CE ⊥，所以1DED ∠是二面角1D CE D --的平面角
在1Rt DD E ∆
中，11tan DD DED DE ∠=
==
，即二面角1D CE D --的平面角的正
切值为
2
20、（13分）
（1）解：当*
n N ∈时,22n n S a n =-,则当2n ≥时,1122(1)n n S a n --=--
①－②，得1222n n n a a a -=--,，即122n n a a -=+ ∴122(2)n n a a -+=+,∴
12
22
n n a a -+=+，当1n =时，1122S a =-，则12a =.
∴{2}n a +是以124a +=为首项,2为公比的等比数列,∴1242n n a -+=⋅,∴122n n a +=- （2）证明:122log (2)log 21n n n b a n +=+==+,∴11
22
n n n b n a ++=+, 则2
3123122
2n n n T ++=
+++
, 3
412
123
1222
22n n n n n T +++=+++
+ …………④ ③－④，得234
122
11(1)
1
21111114212222224212
n n n n n n n T +++-++=
++++-=+-- 1211114222n n n +++=
+--23342n n ++=- ∴13322n n n T ++=-.
当2n ≥时,111
3210222n n n n n n n n T T -+++++-=-+=>, ∴{}n T 为递增数列,∴11
2
n T T ≥=
21、（14分）解析：（1）当14a =-时，21
()ln(1)4
f x x x =-++（1x >-），
11(2)(1)
()212(1)
x x f x x x x +-'=-+=-++（1x >-），
由()0f x '>解得11x -<<，由()0f x '<解得1x >．
故函数()f x 的单调递增区间为(1,1)-，单调递减区间为(1,)+∞． ··· 4分
（2）因当[0,)x ∈+∞时，不等式()f x x ≤恒成立，即2ln(1)0ax x x ++-≤恒成立，设
2()ln(1)g x ax x x =++- （0x ≥）
，只需max ()0g x ≤即可． ····· 5分
由1()211g x ax x '=+
-+[2(21)]
1x ax a x +-=
+， （ⅰ）当0a =时，()1
x
g x x -'=+，当0x >时，()0g x '<，函数()g x 在(0,)+∞上单调递减，
故()(0)0g x g ≤= 成立． ···················· 6分
（ⅱ）当0a >时，由[2(21)]()01x ax a g x x +-'==+，因[0,)x ∈+∞，所以1
12x a
=-，
①若1102a -<，即12
a >时，在区间(0,)+∞上，()0g x '>，则函数()g x 在(0,)+∞上
单调递增，()g x 在[0,)+∞ 上无最大值（或：当x →+∞时，()g x →+∞），此时不满足条件； ②若1102a -≥，即102a <≤时，函数()g x 在1(0,1)2a -上单调递减，在区间
1
(1,)2a
-+∞上单调递增，同样()g x 在[0,)+∞上无最大值，不满足条件． ····························· 8分
（ⅲ）当0a <时，由[2(21)]
()1
x ax a g x x +-'=+，∵[0,)x ∈+∞，∴2(21)0ax a +-<，
∴()0g x '<，故函数()g x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0g x g ≤=成立．
综上所述，实数a 的取值范围是(,0]-∞． ············ 10分
（3）据（Ⅱ）知当0a =时，ln(1)x x +≤在[0,)+∞上恒成立 ······· 11分 则对任意的*n N ∈，有1111
ln[1](1)(1)1
n n n n n n +
≤=-
+++ 11111
1
ln{(1)(1)[1]}ln(1)ln(1)ln[1]
1223
(1)1223
(1)
n n n n +
+⋅⋅+
=++++
++
⨯⨯+⨯⨯+
111111
11122311n n n ≤-+-++-=-<++，
∴111(1)(1)[1]1223(1)
e n n ++⋅⋅+<⨯⨯+．。