薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒
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当 = 90°时， 90 0 , 90 max
由此可见：圆轴扭转时, 在横截面和纵截面上的剪 应力为最大值；在方向角
= 45的斜截面上作
用有最大压应力和最大拉 应力。根据这一结论，就 可解释前述的破坏现象。
45° ´
圆轴扭转时的强度计算
强度条件：
sin2 ; cos2
分析： 当 = 0°时， 0 0 , 0 max
当 = 45°时，
45 min , 45 0
当 = – 45°时， 45 max , 45 0
第6章 扭转
6.1、扭转的概念
扭转：受到的外力是一些转向不同的力偶，且力偶的作用 面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动 轴。
变形特点：
mC
mB
A
BO
mA
m
m
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
剪应变（）：直角的改变量。
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 单位：mm3或m3。
等直圆杆扭转时斜截面上的应力 M
´
x
´
´
Fn 0 ; dA (dAcos)sin ( dAsin)cos 0
Ft 0 ; dA (dAcos)cos ( dAsin)sin 0
A dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
T
2 r02
t
T 2 A0
t
A0：平均半径所作圆的面积。
剪切虎克定律：
LR
RL
T ( 2A 0t) ( LR)
当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp )，剪
G
d
dx
A
2dA
T
GI
d
dx
d T
dx GI
dA
O
T
I
对于实心圆截面：
d
I A 2dA
D
2 2 2 d 0
O
D
D4 0.1D4
32
对于空心圆截面：
I A 2dA
( Dd )
应力与剪应变成正比关系。
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，
因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料
的G值可通过实验确定。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质 的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间 存在 下列关系
G
E 2(1
)
剪应力互等定理：
max [ ]
对于等截面圆轴：
Tm a x Wt
[ ]
([] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面： ① 校核强度
② 设计截面尺寸
③ 计算许可载荷
6.4、等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件 扭转时的变形
d T
dx GI
d
l
0
T GI
dx
Tl (若T 值不变） GI
mz 0
t dxdy t dxdy 故
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
上式称为剪应力互等定理。
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力 必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的 交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用， 这种应力状态称为纯剪切应力状态。
d 表示相对扭转角沿杆长度
dx 的变化率，对于给定的横截面是常量。
在同一半径 的圆周上各点处的剪应变 均相同，且其值 与 成正比。
虎克定律：代 G
入上式得：
G
G
d
dx
G
d
dx
T A dA
A
G 2
d
dx
dA
D
2 d
2
2
d
d
2
(D4 d 4)
32
D4 (1 4 ) 0.1D4 (1 4 )
32
d
D O
应力分布情况?
确定最大剪应力：
由
T
Ip
知：当
R
d 2
,
max
Td
max
2 I
T I
d 2
T
Wt
单位扭转角 ：
d
dx
T GIp
(rad/m)
或
d
dx
T GI p
180
(/m)
刚度条件
max
T GIp
(rad/m)
或
max
T GI p
180
(/m)
[ ]称为许用单位扭转角。
Hale Waihona Puke 例题：长为 L=2m 的圆杆受 均布力偶 m= 20Nm/m 的作 用，如图，若杆 的内外径之比为
=0.8 ，G=80GPa ， 许用剪应力 []=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m ，试
校核此杆的刚度，并求右端面转角。
解：①设计杆的外径
Wt
截面法求内力
T = m ----扭矩
扭矩的符号规定：“T”
的转向与截面外法线方向
m
m
满足右手螺旋规则为正，
反之为负。 扭矩图
x
m
T
6.2、薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
r0为平均半径
实验前：
①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
实验后：
①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。
现象 ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动；
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ；
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论 ①无正应力
②横截面上各点处，只产生垂直
于半径的均匀分布的剪应力 ，
沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
薄壁圆筒剪应力 大小
在纯剪切应力状态下无体积应变。
6.3、等直圆杆在扭转时的应力
实验观察现象 圆周线绕杆轴线相对旋
转了一个角度,大小和 形状均未改变； 圆周线间的距离未变； 纵向线倾斜了一个角度。
满足平面假设
横截面上只有剪应力
剪应力计算
tg
G1G dx
d
dx
此式表达了横截面上任 一处的剪应变随该点在横 截面上的位置而变化的规律。
由此可见：圆轴扭转时, 在横截面和纵截面上的剪 应力为最大值；在方向角
= 45的斜截面上作
用有最大压应力和最大拉 应力。根据这一结论，就 可解释前述的破坏现象。
45° ´
圆轴扭转时的强度计算
强度条件：
sin2 ; cos2
分析： 当 = 0°时， 0 0 , 0 max
当 = 45°时，
45 min , 45 0
当 = – 45°时， 45 max , 45 0
第6章 扭转
6.1、扭转的概念
扭转：受到的外力是一些转向不同的力偶，且力偶的作用 面与直杆的轴线垂直，杆发生的变形为扭转变形。
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动 轴。
变形特点：
mC
mB
A
BO
mA
m
m
扭转角（）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。
剪应变（）：直角的改变量。
Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 单位：mm3或m3。
等直圆杆扭转时斜截面上的应力 M
´
x
´
´
Fn 0 ; dA (dAcos)sin ( dAsin)cos 0
Ft 0 ; dA (dAcos)cos ( dAsin)sin 0
A dA r0 T
r0 AdA r0 2 r0 t T
T
2 r02
t
T 2 A0
t
A0：平均半径所作圆的面积。
剪切虎克定律：
LR
RL
T ( 2A 0t) ( LR)
当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ ≤τp )，剪
G
d
dx
A
2dA
T
GI
d
dx
d T
dx GI
dA
O
T
I
对于实心圆截面：
d
I A 2dA
D
2 2 2 d 0
O
D
D4 0.1D4
32
对于空心圆截面：
I A 2dA
( Dd )
应力与剪应变成正比关系。
G
式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，
因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料
的G值可通过实验确定。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质 的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间 存在 下列关系
G
E 2(1
)
剪应力互等定理：
max [ ]
对于等截面圆轴：
Tm a x Wt
[ ]
([] 称为许用剪应力。)
强度计算三方面： ① 校核强度
② 设计截面尺寸
③ 计算许可载荷
6.4、等直圆杆在扭转时的变形 · 刚度条件 扭转时的变形
d T
dx GI
d
l
0
T GI
dx
Tl (若T 值不变） GI
mz 0
t dxdy t dxdy 故
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
上式称为剪应力互等定理。
该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力 必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的 交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。
单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用， 这种应力状态称为纯剪切应力状态。
d 表示相对扭转角沿杆长度
dx 的变化率，对于给定的横截面是常量。
在同一半径 的圆周上各点处的剪应变 均相同，且其值 与 成正比。
虎克定律：代 G
入上式得：
G
G
d
dx
G
d
dx
T A dA
A
G 2
d
dx
dA
D
2 d
2
2
d
d
2
(D4 d 4)
32
D4 (1 4 ) 0.1D4 (1 4 )
32
d
D O
应力分布情况?
确定最大剪应力：
由
T
Ip
知：当
R
d 2
,
max
Td
max
2 I
T I
d 2
T
Wt
单位扭转角 ：
d
dx
T GIp
(rad/m)
或
d
dx
T GI p
180
(/m)
刚度条件
max
T GIp
(rad/m)
或
max
T GI p
180
(/m)
[ ]称为许用单位扭转角。
Hale Waihona Puke 例题：长为 L=2m 的圆杆受 均布力偶 m= 20Nm/m 的作 用，如图，若杆 的内外径之比为
=0.8 ，G=80GPa ， 许用剪应力 []=30MPa，试设计杆的外径；若[]=2º/m ，试
校核此杆的刚度，并求右端面转角。
解：①设计杆的外径
Wt
截面法求内力
T = m ----扭矩
扭矩的符号规定：“T”
的转向与截面外法线方向
m
m
满足右手螺旋规则为正，
反之为负。 扭矩图
x
m
T
6.2、薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒：壁厚
t
1 10
r0
r0为平均半径
实验前：
①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。
实验后：
①圆周线不变； ②纵向线变成斜直线。
现象 ①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动；
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 ；
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。
结论 ①无正应力
②横截面上各点处，只产生垂直
于半径的均匀分布的剪应力 ，
沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。
薄壁圆筒剪应力 大小
在纯剪切应力状态下无体积应变。
6.3、等直圆杆在扭转时的应力
实验观察现象 圆周线绕杆轴线相对旋
转了一个角度,大小和 形状均未改变； 圆周线间的距离未变； 纵向线倾斜了一个角度。
满足平面假设
横截面上只有剪应力
剪应力计算
tg
G1G dx
d
dx
此式表达了横截面上任 一处的剪应变随该点在横 截面上的位置而变化的规律。