【数学】百校联盟2018届高三TOP20四月联考(全国II卷)试题(文)(word版附答案)

百校联盟2018届高三TOP20四月联考（全国II 卷）
数学试题（文）
第Ⅰ卷
一、选择题
1. 已知集合{}(){}25,30A x x B x x x =<<=-<，则A B ⋃=（ ） A ．()0,5 B ．()2,3 C.()3,5 D ．()0,3
2.已知复数1-i
2-i
z =
，则z 的虚部为（ ） A ．35- B ．3i 5 C.15- D ．1i 5
-
3.已知()(),1,2,4a x b ==-，若()
a b b +⊥，则x =（ ） A ．8 B ．10 C.11 D ．12
4.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻面系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点
M 与两定点,A B 的距离之比为()0,1λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知()()
2,0,2,0A B -，点M 满足
MA MB
=则直线:4l x =被点M 的轨迹截得的弦长为（ ）
A ．
B ． C. D ． 5.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）
A ．5
B ．11 C. 14 D ．19
6.已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线与y 轴交于点A ，点()
01,M y
在抛物线C 上，0
54
y MF =，则tan FAM ∠=（ ） A ．
25 B ．52 C.45 D ．54
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A ．
72 B ．236 C. 4 D ．256
8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()22x f x x =+，则不等式()21f x -<3的解集为（ ）
A ．(),1-∞
B ．(),2-∞ C. ()2,2- D ．()1,2-
9.某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取n 名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在[)75,80中的学生有1名，若从成绩在[)75,80和[)90,95两组的所有学生中任取2名进行问卷调查，则2名学生的成绩都在[)90,95中的概率为（ ）
A ．
23 B ．12 C. 35
D ．34
10.在三棱锥P ABC -中，ABC ∆和PBC ∆均为边长为3的等边三角形，且PA =棱锥P ABC -外接球的体枳为（ ）
A B D 11.下列关函数()sin cos f x x x =⋅的命题正确的个数为（ ） ①()f x 的图象关于π
2
x =
对称；②()f x 的周期为π；③若()()12f x f x =，则
()12π2k x x k =+
∈Z ；④()f x 在区间π3π44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上单调递减. A ．1 B ．2 C. 3 D ．4
12.已知数列{}n a 中，()111,1n n n a na a ++==，定义111n n
n n n n
a a a a a a +++⊗=-，则
2132
2018
2017
111
a a a a a a --
-
=⊗⊗⊗（ ）
A ．20172018-
B ．20172018 C.12018 D ．1
2018
- 第Ⅱ卷
二、填空题
13.已知,x y 满足不等式20,
40,4,
x y x y y -+≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
则5y z x =-的最大值为 ．
14.已知()2
2,1,
log ,1,x m x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩若
124f f ⎛
⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则m = ． 15.已知双曲线()22
22:10,0x y a b a b
Γ-=>>的左焦点(),0F c -，直线y x c =+与双曲线Γ的渐
近线分别交于,A B 两点，其中点A 在第二象限，若3
2
AF AB =，则双曲线Γ的离心率
为 ．
16.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，222sin a b bc A =+，角C 最大，则
tan 4tan A B -a 的取值范围为 ．
三、解答题
17. 已知数列{}n a 的前n 项和1122n n S k -⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，且34a =，等差数列{}n b 满足，3374,b a b a ==.
（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .
18. 如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PAB ∆为等腰直角三角形，PA PB =，
ABCD 为 直角梯形，//,90,24CD AB BAD CD AB ∠=︒==.
（1）若O 为AB 的中点，PC 上一点E 满足4PC PE =，求证://OE 平面PAD ；
（2）若2AD =，求四棱锥P ABCD -的表面积.
19.某地区农产品近几年的产量统计如下表：
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，2011,6t x z y =-=-得到下表:
（1）根据表中数据，求y 关于x 的线性回归方程；
（2）若近几年该农产品每万吨的价格v (万元)与年产量y (万吨）满足 4.20.3v y =-，且每年该农产品都能售完，当年产量y 为何值时，销售额S 最大？ 附：对于一组数据()()()1122,,,,
,,n n t z t z t z ，其回归直线z bt a =+的斜率和截距的最小二乘
估计分別为:()()
()
1
2
1
,n
i
i i n
i
i t
t z z
b a z bt t
t
==--=
=--∑∑.
20.已知N 为圆()2
21:224C x y ++=上一动点，圆心1C 关于y 轴的对称点为2C
，点,
M P 分别是线段12,C N C N 上的点，且2220,2MP C N C N C P ⋅==. （1）求点M 的轨迹方程；
（2）直线l 与曲线Γ交于,A B 两点，AB 的中点在直线1
2
y =上，求OAB ∆（O 为坐标原点）面积的取值范围.
21.已知()()()1
21ln 112
f x x x f x '=-+-. （1）求()f x 在11,f
e
e ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线方程； （2）证明 ：()1f x >-.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为1
2x y α
α
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ (α为参数），直线1:0l x =，
直线2:0l x y -=，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）写出曲线C 和直线12,l l 的极坐标方程；
（2）若直线1l 与曲线C 交于,O A 两点，直线2l 与曲线C 交于,O B 两点，求AB .
23.选修4-5：不等式选讲 已知()22f x x a x =+--.
（1）当2a =-时，求不等式()4f x ≤的解集；
（2）若关于x 的不等式()2332f x a x ≥--恒成立，求a 的取值范围.
【参考答案】
一、选择题
1-5: ACDAB 6-10: CBACC 11、12：AC 二、填空题
13.34- 14. 1-或92 16.1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
三、解答题
17.解：（1）当3n =时，()
2332224a S S k =-=-=， 解得2k =，所以21n n S =-， 当1n =时，11S =，
当2n ≥时，()
11121212n n n n n n a S S ---=-=---=，所以21n n a =-， 设等差数列{}n b 的公差为d ，
由3374,b a b a ==，得1124,68b d b d +=+=， 解得12,1b d ==，
所以()2111n b n n =+-⨯=+.
（2）由（1）得()112n n n n c a b n -==+⋅， 所以()2121324212n n T n -=⨯+⨯+⨯+
++⨯， ()2312223242212n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+
+⨯++⨯，
两式相减得()2312222212n n n T n --=++++
+-+⨯，
即()()121221212
n n n T n ---=+
-+⨯-，
整理得2n n T n =⨯.
18.（1）证明：过点E 作//EF CD ，连接AF ， 因为4PC PE =，所以4PD PF =， 14
EF PE CD PC ==，即4CD EF =， 因为24CD AB ==，所以4CD AO =， 所以EF AO =， 又因为////EF CD AO ，
所以AFEO 为平行四边形，故//OE AF , 因为OE ⊄平面PAD ,AF ⊂平面PAD .
所以//OE 平面PAD .
（2）解：因为平面PAB ⊥平面ABCD . 平面PAB ⋂平面ABCD AB =,
AD ⊂平面ABCD ，且AD AB ⊥,
所以AD ⊥平面PAB .
又因为PA ⊂平面PAB ,所以PA AD ⊥,
所以22
PAD S ∆==连接PO ,同理，由平面PAB ⊥平面ABCD ,
AB PO ⊥,可得PO ⊥平面ABCD .
过点O 作//OG AD 交CD 于点G ,连接PG . 则由,,CD GO CD PO GO PO O ⊥⊥⋂=, 得CD PG ⊥.
因为1,2PO GO ==,所以PG =.
则1
42
PCD S ∆==.
过点P 作PH CB ⊥,连接OH ,易得CH HO ⊥.
由平面几何知识得45HOB ∠=︒,所以HO =PH =,
所以12PCB S ∆=
⨯=, 又因为1
2112PAB S ∆=⨯⨯=,
()1
24262
ABCD S =⨯+⨯=,
所以四棱锥P ABCD -7. 19.解：（1）由题意知，123456
3.56
t +++++=
=，
0.60.71 1.1 1.2 1.4
16
z +++++=
=，
()()()()()()6
1
2.50.4 1.50.300.50.1 1.50.2 2.50.4 2.8i
i
i t
t
z z =--=-⨯-+-⨯-++⨯+⨯+⨯=∑，
()
()()()2
6
222
2221
2.5 1.50.50.5 1.5 2.517.5i
i t
t
=-=-+-+-+++=∑，
所以 2.8
0.1617.5
b =
=， 又10.16 3.50.44a z bt =-=-⨯=，
所以z 关于t 的线性回归方程为 1.60.44z t =+. 由 1.60.44z t =+，得60.160.44y t -=+， 即0.16 6.44y t =+.
（2）当年产量为y 时，销售额s=()24.20.30.3 4.2S y y y y =-=-+， 当7y =时，函数S 取得最大值， 即年产量为7万吨时，销售额S 最大.
20.解：（1）因为222C N C P =，所以P 为2C N 的中点， 因为20MP C N ⋅=，所以2MP C N ⊥，
所以点M 在2C N 的垂直平分线上，所以2MN MC =，
因为1214MN MC MC MC +=+=，所以点M 在以12,C C 为焦点的椭圆上，
因为2a c =，所以22b =，
所以点M 的轨迹方程为22
162
x y +=.
（2）由题意知直线l 的斜率存在， 设()()1122,,,A x y B x y ,:l y kx m =+，
由2216
2x y y kx m +==+⎧⎪
⎨⎪⎩得，()
222316360k x kmx m +++-=，
2121222
636
,3131
km m x x x x k k --+==++， ()()()()2
222264313612620km k m k m ∆=-+-=+->，
设AB 的中点为()00,x y ， 则0002
22
33,313131km km m
x y kx m m k k k --=
=+=+=+++， 由题意知
2
1
312
m k =+，所以2231m k =+， 由0∆>，得04m <<，
因为
AB ， 原点O 到直线AB
的距离d =
所以12OAB
S ∆=
)04m ==<<
，
即0OAB S ∆<
OAB ∆面积的取值范围为(
. 21.解：（1）由题意得，()()211
2ln 12
x f x x f x -''=++， 令1x =，得()()1
1112
f f ''=+， 解得()12f '=，
所以()()21ln 1f x x x x =-+-， 因为()()1
2ln 3,0,f x x x x
'=-
+∈+∞， 所以1=-2-e +3=1-e e f ⎛⎫
' ⎪⎝⎭
，
又因为11e e f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
所以切线方程为()111e e e y x ⎛⎫+
=-- ⎪⎝⎭， 即()e -21e e
y x =-+. （2）证法一：由（1）得()()12ln 3,0,f x x x x '=-
+∈+∞， 令()()12ln 3,0,h x x x x =-
+∈+∞， 所以()2221210x h x x x x
+'=+=>， 故()h x 在()0,+∞上单调递增，
又()1120,1ln 4ln 024e h h ⎛⎫=>=-=< ⎪⎝⎭
， 所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()00h x =， 即()00f x '=， 所以()00
12ln 30*x x -+=， 所以()(),f x f x '随x 的变化情况如下：
所以()()()0000min 21ln 1f x f x x x x ==-+-，
由()*式得0013ln 22
x x =-， 代入上式得()()()0000min 00131321122222f x f x x x x x x ⎛⎫==--+-=--+ ⎪⎝⎭
， 令()1312,,1222t x x x x ⎛⎫=--
+∈ ⎪⎝⎭， 所以()()()22121212022x x t x x x
+-'=-=<， 所以()t x 在112⎛⎫ ⎪⎝⎭
,上单调递减， ()()1t x t >，又()11t =-，
所以()1t x >-，即()01f x >-，
所以()1f x >-
.
证法2：()()()21ln 12ln ln 1,0,f x x x x x x x x x =-+-=-+-∈+∞ 令()()2ln ,0,h x x x x =∈+∞，
则()()2ln 1h x x '=+，
令()0h x '=得1e
x =，()(),h x h x '随x 的变化情况如下：
所以()min 12e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，即22ln e x x ≥-， 当且仅当1e
x =时取到等号， 令()()ln 1,0,t x x x x =-+-∈+∞，
则()1x t x x
-'=， 令()0t x '=得1x =，()(),t x t x '随x 的变化情况如下：
所以()()min 10t x t ==，即1ln 0x x --≥，
当且仅当1x =时渠道等号，
所以()22ln ln 11e
x x x x +-+->->-， 即()1f x >-.
22.解：（1）依题意，曲线()()22
:125C x y -+-=，即22240x x y y -+-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式得，
曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=+，
因为直线1:0l x =，直线2:0l x y -=，
故直线12,l l 的极坐标方程为()()12ππ:,:24l l θρθρ=∈=∈R R .
（2）设,A B 两点对应的极径分别为12,ρρ， 在2cos 4sin ρθθ=+中， 令π2θ=
得，12cos 4sin 4ρθθ=+=，
令π4θ=得，22cos 4sin ρθθ=+= 因为πππ244
-=，
所以AB ==. 23.解：（1）当2a =-时，由()4f x ≤， 得2124x x ---≤，
当1x ≤时，由()()2124x x ---≤，得41x -≤≤； 当12x <<时，由()()2124x x ---≤，得12x <<； 当2x ≥时，由()()2124x x ---≤，得24x ≤≤； 综上所述，()4f x ≤的解集为{}44x x -≤≤.
（2）不等式()2332f x a x ≥--， 即为22423x a x a ++-≥，
即关于x 的不等式22243x a x a ++-≥恒成立，而2244x a x a ++-≥+， 所以243a a +≥，
解得243a a +≥或243a a +≤-， 解得413
a -≤≤或a ∈∅. 所以a 的取值范围是41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
.。