初等函数

第一章 函数、极限与连续
§1.1 初等函数
在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，而函数的概念是变量间依赖关系在数学中的反映，函数的概念是微积分研究的主要对象。

下面我们首先复习和归纳中学数学中关于函数的知识，然后引入初等函数的相关概念。

一 邻域
邻域是一个经常用到的概念，以前我们学习过区间，那么什么是邻域呢？下面我们用区间来说明邻域的概念。

设有两个数,a δ∈且0δ>，则称实数集{}x x a δ-<为点a 的δ邻域。

记为(,)U a δ，即{}(,)U a x x a δδ=-<，a —(,)U a δ的中心，δ—(,)U a δ的半径。

用图形表示为
如果再把这邻域的中心a
去掉,就称它为a 的去心δ邻域,记作(,)U a ο
δ,即 {} 0 ),(δδο<-<=a x x a U 。

为了方便起见，称开区间(),a a δ-为点a 的左δ邻域，称(),a a δ+点a 的右δ邻域。

这里邻域的半径δ虽然没有规定其大小,但在使用中一般总是取为很小的正数．并且大多数情形下并不一定要指明δ的大小,这时我们往往把a 的邻域和a 的去心邻域分别简化为()U a 和()U a ο。

二 函数的概念
在具体研究某一自然现象或实际问题的过程中,我们还会发现问题中的变量并不是独立变化的,它们之间往往存在着相互依赖关系．为了说明函数的概念，我们首先看两个例子;
例1 自由落体问题
一个自由落体,从开始下落时算起经过的时间设为t (秒),在这段时间中落体的路程设为s (米)．由于只考虑重力对落体的作用,而忽略空气阻力等其它外力的影响,故从物理学知道s 与t 之间有如下的依赖关系
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s gt = (1) 其中g 为重力加速度(在地面附近它近似于常数,通常取9.8g =米/秒2)． 如果落体从开始到着地所需的时间为T ,则变量t 的变化范围(或称变域)为 0t T ≤≤．当t 在变域内任取一值时,由(1)可求出s 的对应值．例如 x a a a δδ+-
1t =(秒)时,219.81 4.92
s =⨯⨯=(米); 2t =(秒)时,219.8219.62
s =⨯⨯=(米)． 例2 圆的面积S 和半径r 之间存在这样的依赖关系：2r S π=
不考虑上面两个例子中量的实际意义，它们都给出了两个变量之间的相互依赖关系，这种关系是一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。

两个变量间的这种对应关系就是函数概念的实质。

下面给出函数的定义。

定义1 设有两个数集,,X Y f 是一个确定的对应法则，若x X ∀∈，通过对应法则f 都有唯一的y Y ∈和它对应，则称y 是x 的函数，记为()y f x =或
f x y −−→。

X f -的定义域，常记f D y 的取值范围称为函数的值域。

x -自变量，y -因变量。

由定义可知：
1）一个函数的两个要素：对应法则、定义域。

2）函数值域由定义域和对应法则确定。

3）函数f 与函数值()f x 是两个截然不同的概念．前者是确定自变量x 与因 变量y 之间数值对应的一个法则,后者表示函数f 在x 处的值。

4）当函数关系式表达一个实际问题时，函数的定义域要依据实际问题是否 有意义来确定。

5)函数的几何意义：设有函数()y f x =，定义域为f D ，以x 为横坐标，以 y 为纵坐标，就在xOy 面上确定一点（x ，y ），当x 取遍f D 内的每一个数值时，就得到点集P ：{}
(,)(),f P x y y f x x D ==∈。

点集P 称为函数()y f x =的图形。

函数的对应法则是多种多样的，但一般表示方法主要采用解析法、表格法和图示法，这三种方法在中学已经很熟悉了，在高等数学中，还常常用到分段函数，即用几个式子来表示一个函数，下面介绍几个分段函数的例子：
例3 绝对值函数 ,0,0
x x y x x x ≥⎧==⎨- <⎩
例4 符号函数
1, 0sgn 0, 01, 0x y x x x -<⎧⎪===⎨⎪>⎩
此函数定义域为(),D =-∞+∞,值域为W={-1, 0, +1},其图形如图所示，对任意的x R ∈,总有sgn x x x =⋅
三 函数的简单性质
函数以下几个性质并不是任何函数都具有的属性，可能函数只具备其中某个性质，这些特性在函数性态的研究中具有重要作用。

1 函数的有界性
若0,M ∃>s.t.(),f x M x I ≤∀∈，则称函数()f x 在区间I 上有界。

否则称()f x 在区间I 上无界，即对任何0M >，总存在11,..()x I s t f x M ∈>，则称()f x 在区间I 上无界。

一个函数如果在其定义域上有界,就称它为有界函数．有界函数的图形必位于两条直线y M =与y M =-之间．
例如:()sin f x x =在区间(),-∞+∞内是有界的。

而1()f x x
=
在区间(0,1)内是无界的。

若0,M ∃>s.t.(),f x M x I ≤∀∈，则称函数()f x 在区间I 上有上界，并且对任何一个数N M >，N 都是函数()f x 在区间I 上的一个上界。

仿此，请同学们自己给出函数下界的概念。

显然，函数()f x 在区间I 上有界⇔()f x 在区间I 上既有上界又有下界。

2 函数的单调性
若函数()y f x =在区间I 上有定义，1212,,x x I x x ∀∈<，恒有12()()f x f x < ()12()()f x f x >，则称函数()y f x =在区间I 上为严格单调递增（严格单调递减）的函数。

单调递增和单调递减的函数统称为单调函数，从图形上看，单调增函数表现为从左到右上升，单调减函数表现为从左到右下降。

例如x y a y a x log ,==在其定义域区间内均为单调函数。

3 函数的奇偶性
若函数()y f x =在关于原点对称的区间I 上满足()()f x f x =-（或
()()f x f x =--）,则称()y f x =为偶函数（奇函数）。

偶函数的图形关于y 轴对
称，奇函数的图形关于原点对称。

如三角函数中,正弦函数sin y x =是奇函数,余弦函数cos y x =是偶函数,而sin cos y x x =+既不是奇函数,也不是偶函数．
4 函数的周期性
设函数()y f x =的定义域为f D ，如果存在非零常数T ，使得对于f x D ∀∈有 ()f x T D ±∈，且()()f x T f x +=恒成立，则称()y f x =为周期函数，T 称为()f x 的周期。

通常说周期函数的周期是指最小正周期。

如三角函数中,sin x 和cos x 是周期为2π的周期函数,tan x 和cot x 是周期为π的周期函数．但并非任何周期函数都有最小正周期．例如常量函数()f x C =是周期函数,任何实数都是它的周期,因而不存在最小正周期．
四 反函数与复合函数
1 反函数
设函数()y f x =的定义域为f D ，值域为f V 。

因为f V 是由函数值组成的数集，所以对任一数值f y V ∈，至少可以确定一个f x D ∈，使()y f x =。

如果把y 看作自变量，x 看作因变量，按照函数概念，就可以得到一个新的函数1()x f y -=，叫做()y f x =的反函数，1()x f y -=的定义域是f V ，值域是f D 。

相对于反函数1()x f y -=来说，原来的函数()y f x =称为原函数。

例如,函数3y x =的反函数是x =1y x
=的反函数是1x y =． 对反函数作以下说明：
1)虽然原函数()y f x =是单值函数，但是其反函数1()x f y -=却不一定是单值函数，例如2()y f x x ==的反函数。

2）如果原函数是单值严格单调函数，就能保证其反函数是单值函数。

原函数()y f x =与反函数1()x f y -=具有相同的图形，但是习惯上用x 表示自变量，y 表示因变量，于是我们约定1()y f x -=也是原函数()y f x =的反函数，这时，原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。

例5 求2,21;
2,12;2,24x x x y x x x ⎧ -<<⎪⎪⎪= ≤≤⎨⎪ <≤⎪⎪⎩
的反函数1()y f x -=。

解 当21x -<<时，值域112y -<<，故反函数2y x =，112
x -<<；当定义域为12x ≤≤时，值域为14y ≤≤
，反函数为y =14x ≤≤；当定义域为24x <≤时，值域为416y <≤，反函数为2log y x =，其定义域为416x <≤。

2 复合函数
定义 设(),y f u =其()u x ϕ=中，且()x ϕ的值全部或部分落在()f u 的定义域内，则称[()]y f x φ=为x 的复合函数，而u 称为中间变量.
简单说：几个基本初等函数的组合。

例如sin ,3,sin 3y u u x y x ===则。

五 初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数都是基本初等函数。

由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤构成，且可用一个解析式表示的函数，叫做初等函数，否则就是非初等函数。

例6
分析函ln(1y =+的结构。

解
令1u =，则ln y u =
，而1u =+
是两个基本初等函数的和，令1,v w ==
，则函数ln(1y =+的结构是
ln ,,1,y u u v w v w ==+==
在工程技术中，常用到的一类初等函数是双曲函数：
双曲正弦 2x x e e shx --= 双曲余弦 2
x x
e e chx -+= 双曲正切 x x
x x
shx e e thx chx e e ---==+ 由双曲函数的定义,易知它们满足以下的几个恒等式:
(1) ()sh x y shxchy chxshy +=+ (2) ()sh x y shxchy chxshy -=-
(3) ()ch x y chxchy shxshy +=+ (4) ()ch x y chxchy shxshy -=-。