【试题】河北省石家庄市2017届高三下学期模拟联考理数试题Word版含答案

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河北省石家庄市第二中学2017届高三下学期模拟联考
数学（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.设集合，，则（）
A．B．C．D．
2.若复数满足，则（）
A．B．C．D．1
3.已知点在角终边的延长线上，且，则的坐标为（）
A. B. C. D.
4.若，，则（）
A. B. C. D.
5.根据如图的程序框图，当输入为2017时，输出的为28，则判断框中的条件可以是（）A．B． C. D．
6.在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几天后两鼠相遇？（）
A．B． C. D．
7. 已知函数，若，都是从任取的一个数，则满足时的概率（）
A．B． C. D．
8.函数图象上的某点可以由函数上的某点向左平移个单位长度得到，则的最小值为（）A．B． C. D．
9. 如图所示，网络纸上每个小格都是边长为1的正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．B． C. D．
10. 某计算器有两个数据输入口，一个数据输出口，当分别输入正整数1时，输出口输出2，当输入正整数，输入正整数时，的输出是；当输入正整数，输入正整数时，的输出是；当输入正整数，输入正整数时，的输出是；当输入60，输入50时，的输出是（）
A. 494
B.485 D.483
11.已知直线与双曲线交于，两点，且中点的横坐标为，过且与直线垂直的直线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为（）
A．B． C. D．
12.已知，若关于的方程，恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知二项式展开式中，则项的系数为.
14.已知向量，，则．
15.已知函数，无论取何值，函数在区间总是不单调.则的取值范围是．
16.已知中，角为直角，是边上一点，是上一点，且，，则．
三、解答题
17. 已知数列前项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，为的前项和，求证：.
18. 已知中，，分别为边上的两个三等分点，为底边上的高，，如图1.将，分别沿，折起，使得，重合于点，中点为，如图2.
（1）求证：；
（2）若直线与平面所成角的正切值为2，求二面角的大小.
19. 某中学高二年级开设五门大学先修课程，其中属于数学学科的有两门，分别是线性代数和微积分，其余三门分别为大学物理，商务英语以及文学写作，年级要求每名学生只能选修其中一科，该校高二年级600名学生各科选课人数统计如下表：
其中选修数学学科的人数所占频率为0.6，为了了解学生成绩与选课情况之间的关系，用分层抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行分析.
（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少2人选修线性代数的概率；（2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记为选择线性代数人数与选择微积分人数差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望.
20. 已知椭圆的离心率为，短轴长为，右焦点为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过点且与椭圆有且仅有一个公共点，过点作直线交椭圆与另一点.
①证明：当直线与直线的斜率，均存在时，为定值；
②求面积的最小值.
21. 已知函数在处的切线与直线垂直.
（1）求函数（为的导函数）的单调递加区间；
（2）记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别是2
44x t y t ⎧=⎨=⎩（t 是参数）和
cos ,
1sin x y ϕϕ
=⎧⎨
=+⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的极坐标方程； （2）射线:OM ([,])64
ππ
θαα=∈与曲线1C 的交点为O ，P ，
与曲线2C 的交点为O ，Q ，求||||OP OQ ⋅的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+.
（1）当3a =时，求不等式()6f x ≤的解集；
（2）设函数()|21|g x x =-.当x R ∈时，2
()()213f x g x a +≥-，求a 的取值范围.
2017届普通高中毕业班第一次适应性测试
数学试卷参考答案（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1-5:DBCBC 6-10:ABBAD 11、12：BC 二、填空题（每小题5分，共20分）
15. 3
4
a £ 16. 2 三、解答题
17.解：（1）当3n ≥时，可得112(42)(42)0n n n n S S S S --------=14n n a a -⇒= 又因为12a =，代入已知等式，可得28a =，满足上式.
所以数列{}n a 是首项为12a =，公比为4的等比数列，
故：121
242n n n a --=⋅=.
（2）21
2log 2
21n n b n -==-，213(21)n T n n =+++-=.
111111(1)()()2231n n =+-+-++--1
22n
=-<.
18.解：（1）因为A ，B 是PQ 的三等分点，所以PA AB BQ CA CB ====， 所以ABC ∆是等边三角形，又因为M 是AB 的中点， 所以CM AB ⊥.
因为DB AB ⊥，DB BC ⊥，AB
BC B =，所以DB ⊥平面ABC ，
又//EA DB ，所以EA ⊥平面ABC ；
CM ⊂平面ABC ，所以CM EA ⊥.
因为AM
EA A =，
所以CM ⊥平面EAM . 因为EM ⊂平面EAM ， 所以CM EM ⊥.
（2）以点M 为坐标原点，MC 所在直线为x 轴，MB 所在直线为y 轴，过M 且与直线BD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -. 因为DB ⊥平面ABC ，
所以DMB ∠为直线DM 与平面ABC 所成角. 由题意得tan 2DB
DMB MB
∠==，即2BD MB =， 从而BD AC =.
不妨设2AC =，又2AC AE =，则CM =，1AE =.
故(0,1,0)B ，C ，(0,1,2)D ，(0,1,1)E -.
于是(3,1,0)BC =-，(0,0,2)BD =，(1,1)CE =--，(2)CD =-， 设平面BCD 与平面CDE 的法向量分别为111(,,)m x y z =，222(,,)n x y z =，
由00
m BC m BD ⎧=⎪⎨
=⎪⎩••
得1110
20
y z -==⎪⎩，令11x =
，得1y =，
所以(1,3,0)m =.
由00n CE n CD ⎧=⎪⎨=⎪⎩••
得2222220
20
y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩，令21x =
得23y =-
，23z =.
所以3(1,33
n =-
. 所以cos ,0||||
m n
m n m n =
=•.
所以二面角B CD E --的平面角的大小为90°.
19.解：（1）因为选修数学学科人数占总人数频率为0.6，即
1800.6600
x
+=，
可得：180x =， 又180********x y ++++=，所以60y =，则根据分层抽样法：
抽取10人中选修线性代数的人数为：180103600⨯
=人；选修微积分的人数为：180
103600⨯=人；选修大学物理的人数为：120102600⨯=人；选修商务英语的人数为：60
101100⨯=人；
选修文学写作的人数为：60
101100
⨯=人；
（1）现从10人中选3人共有3
10120C =种选法，且每种选法可能性相同，令事件:A 选中
的3人至少两人选修线性代数，事件:B 选中的3人有两人选修线性代数，事件:C 选中的3
人都选修线性代数，且,B C 为互斥事件，()()()P A P B P C =+=213
37333
101011
60
C C C C C ⨯+=. （2）记X 为3人中选修线性代数的人数，X 的可能取值为0,1，2,3，记Y 为3人中选修微积分的人数；Y 的可能取值也为0,1,2,3，
则随机变量||x X Y =-的可能取值为0,1,2,3； (0)(0,0)P P X Y ξ====(1,1)P X Y +==1113
334433
10101
3C C C C C C =+=••； 121
2343333
10109
2220
C C C C C C =+=••••， (2)(0,2)(2,0)P P X Y P X Y ξ====+==21
343
101
25
C C C ==••，
(3)(0,3)(3,0)P P X Y P X Y ξ====+==333101
260
C C ==
•； 所以x 的分布列为 所以19(3)01320E ξ==
⨯+⨯1192356010
+⨯+⨯=. 20.解：（1）设椭圆的焦距为2c
，由题意可得：32c a b ⎧=⎪
⎨⎪=⎩
解得26a =，22b =，24c =，
故椭圆方程为：22
162
x y +=. （2）①由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程：y kx m =+，因为点(3,)M t 在直线上，
所以3t k m =+，联立直线与椭圆方程：
由22
360
y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩可得222
(13)6360k x kmx m +++-=， 又直线与椭圆有且只有一个公共点，故0D =，即2262m k =+. 由韦达定理，可得P 点坐标22
3(,)1313km m
P k k
-
++. 因为直线PQ 过椭圆右焦点为(2,0)F ，所以直线PQ 的斜率2
326PQ PF m
k k km k ==---；
而直线OM 的斜率333
OM t k m
k +=
=
， 所以： 233263OM PQ
m k m k k km k +==---••22313263km m km k +=---•2311
333
km km m =-
--•. ②因为(1,)FM t =，222
326(,)1313km k m
FP k k ---=++，所以2
2
326013mt km k FM FP k ---==+•，即FM PF ⊥；
所以三角形PQM 的面积1
||||2
DPQM S PQ MF =
；
||MF =FM 的斜率为t ，可得直线PQ 的方程：2x ty =-+，与椭圆方程
联立可得：
||PQ =.
所以DPQM S =23(3)t m m +=•
，则PQM S ∆=，单调递增，
故3
PQM
S ∆=当且仅当0t =时成立.
21.解：（1）由题意可得：1
'()2f x ax x
=
-，'(1)121f a =-=-，可得：1a =； 又2
()'()ln 31y f x xf x x x =+=-+，所以2116'6x y x x x
-=-=(0)x >；
当x ∈时，'0y >，y 单调递增；
当时)x ∈+∞，'0y <，y
单调递减；故函数的单调增区间为x ∈. （2）21()ln (1)2g x x x b x =+-+，1
'()(1)g x x b x
=+-+2(1)1x b x x -++=，
因为1x ，2x 是()g x 的两个极值点，故1x ，2x 是方程2
(1)10x b x -++=的两个根，由韦达定理可知：
121211
x x b x x +=+⎧⎨=⎩，12x x <，可知101x <<，又1
111
1x b e x e +=+≥+， 令1t x x
=+，可证t 在(0,1)递减，由11()()h x h e ≥，从而可证11
0x e <≤. 所以11212122ln 1
()()()()ln 2
x g x g x x x x x x -=
+-+12(1)()b x x -+-= 112122ln 1()()ln 2x x x x x x =
+-+-1212()()x x x x +-=112122ln 1
()()ln 2
x x x x x x --+. 22211221111ln 222x x x x =-
-+11
(0)x e
<≤.
令222111()ln (0,]22h x x x x x e
=-
+∈，321
'()h x x x x
=--=
42223321(1)0x x x x x -+---=≤， 所以()h x 单调减，故2min
211()()222e h x h e e ==--，所以221
222e k e
≤--，即
2max
21
222e k e
=--. 22.解：（1）1C 的普通方程为2
4y x =，2C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （2）由（1）可得1C 的极坐标方程为2
sin 4cos ρθθ=，与直线a θ=联立可得：24cos sin a
r a
=
，
即2
4cos sin a
OP a
=
，同理可得2sin OQ a =. 所以8cos 8||||sin tan OP OQ ααα⋅==
，在[,]64
ππ
α∈上单调递减，所以
max ||||OP OQ ⋅=.
23.（1）解：当3a =，()|23|3f x x =-+. 解不等式|23|36x -+≤，得03x ≤≤， 因此，()6f x ≤的解集为{|03}x x ≤≤. （2）当x R ∈时，
()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212||1|x a x a a a ≥-+-+=-+，
当1
2
x =
时等号成立， 所以当x R ∈时，2
()()213f x g x a +≥-等价于2
|1|213a a a -+≥-.①
当1a ≤时，①等价于2
1213a a a -+≥-，解得a ≥，
当1a >时，①等价于2
60a a --≤，解得13a <≤，
所以a 的取值范围是[.
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