2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷(带答案)(11)

2020-2021高中三年级数学下期中模拟试卷(带答案)(11)
一、选择题
1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ）
A ．2
B ．-4
C ．2或-4
D ．4
2．设,x y 满足约束条件 202300
x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩
，则4
6y x ++的取值范围是
A ．3[3,]7
- B ．[3,1]- C ．[4,1]
-
D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞
3．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()2
2
4116x y +++=分成面积相等的两部分，则
12
2a b
+的最小值为( ) A ．10
B ．8
C ．5
D ．4
4．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198
B ．199
C ．200
D ．201
5．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，，
，则2
y
z x =
-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，
B ．11115⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
，
C ．111153⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦， D ．3153
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
6．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸
B ．二尺五寸
C ．三尺五寸
D ．四尺五寸
7．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12
B ．10
C
．D
．8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*1
1
n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S
D ．n S 的最小值是7S
9．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11
x y
+的最小值是 A ．10
B ．12?
C ．14
D ．16
10．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A ．1
B ．3
C ．6
D ．9
11．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
12．已知4213
3
3
2,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<
D ．c a b <<
二、填空题
13．已知函数1
()f x x x
=-
，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =_______.
14．若
为等比数列
的前n 项的和，
，则=___________
15．(广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积
术”，即ABC △的面积222222142a c b S a c ⎡⎤⎛⎫
+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，其中a b c 、、分别为ABC
△内角、、A B C 的对边.若2b =，且3sin tan 13cos B
C B
=-，则ABC △的面积S 的最大值为
__________．
16．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则
AC 的最大值为__________．
17．已知
的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．
18．若数列{}n a 通项公式是12,12
3,3
n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞
=______. 19．在△ABC 中，2BC =，7AC =3
B π
=
，则AB =______；△ABC 的面积是
______．
20．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，
，，则22
x y +的取值范围是 .
三、解答题
21．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且2cos 2a C c b +=.
（1）求角A 的大小；
（2）若1a =，求ABC ∆面积的最大值。

22．在△ABC 中，已知AC ＝4，BC ＝3，cosB ＝－
1
4
. (1)求sin A 的值； (2)求·BA BC u u u v u u u v
的值.
23．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1
cos 7
D =-
，2AD DC ==.
(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.
24．已知向量113
,sin 222x x a ⎛⎫+ ⎝=⎪ ⎪
⎭
v 与()1,b y =v 共线，设函数()y f x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及最大值.
（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有33f A π⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，边21
7,sin BC B ==
，求ABC ∆的面积. 25．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：对任意的n ∈N *，都有a n +1+S n +1＝1，又a 112
=
． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）令b n ＝log 2a n ，求
12231
111n n b b b b b b L ++++（n ∈N *） 26．在等比数列{}n a 中,(
)*
10a n N >∈,且3
28a
a -=,又15,a a 的等比中项为16.
（1）求数列{}n a 的通项公式:
（2）设4log n n b a =,数列{}n b 的前n 项和为n S ,是否存在正整数k ,使得
1231111
n
k S S S S ++++<L 对任意*n N ∈恒成立.若存在,求出正整数k 的最小值;若不存在,请说明理由.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】
∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，
2342S S S =+，12a =，
∴()()()34212122211q q q q
q
--+=
+
--，解得2q =-，
∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】
本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 先作可行域，而
46y x ++表示两点P （x,y ）与A （-6,-4）连线的斜率，所以4
6
y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-，选B.
点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】
圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即
41a b +=，故
()121288444282222b a b a a b a b a b a b a b
⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当
82b a
a b =，即11,82
a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()2
2
2x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是
()4,1.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果．
【详解】
∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()11989910019819819802
2
a a a a S +⨯+⨯=
=> ，
()1199199100
19919902
a a S a
+⨯=
=<，
由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2
y
z x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】
由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：
由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1
x y x =-⎧⎨
=⎩
，解得(11)B --，， 而2
y
z x =
-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，
的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13
BC k =， 所以2y z x =
-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，， 故选：A.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，
n S 是其前n 项和，则()19959985.52
a a S a +=
==尺，
所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

故选:B . 【点睛】
本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.
7．A
解析：A 【解析】
由已知24356a a q q +=+=，∴2
2q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.
8．D
解析：D
【分析】
将所给条件式变形，结合等差数列前n 项和公式即可证明数列的单调性，从而由
870a a +<可得7a 和8a 的符号，即可判断n S 的最小值.
【详解】
由已知，得()11n n n S nS ++<， 所以
1
1
n n S S n n +<+， 所以()()()
()
1111221n n n a a n a a n n ++++<+， 所以1n n a a +<，
所以等差数列{}n a 为递增数列. 又870a a +<，即
8
7
1a a <-， 所以80a >，70a <，
即数列{}n a 前7项均小于0，第8项大于零， 所以n S 的最小值为7S ， 故选D. 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式的简单应用，等差数列单调性的证明和应用，前n 项和最值的判断，属于中档题.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】
∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1，
∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭
当且仅当9y x x y =时成立，即11
,124
x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】
本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.
解析：D 【解析】 【分析】
首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知
()6
121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.
【详解】
由3132312log log log 12a a a +++=L ，
可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6
121212673a a a a a ==L ，
679a a ∴= .
【点睛】
本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.
11．C
解析：C 【解析】
因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以611611115
0,0,,2
a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2
n d
S n =
--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 12．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
因为4
2
2
2
33332=4,3,5a b c ===，且幂函数2
3y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.
点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.
二、填空题
13．【解析】【分析】由于是等比数列所以也是等比数列根据题目所给条件列方程解方程求得的值【详解】设数列的公比为则是首项为公比为的等比数列由得即①由得②联立①②解得【点睛】本小题主要考查等比数列的性质考查等
解析：
22
【解析】 【分析】
由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得1
a 的值. 【详解】
设数列{}n a 的公比为0q >，则1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
是首项为11a ，公比为1
q 的等比数列，由()()()()()1239101f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-得
1210112
10111a a a a a a a ⎛⎫+++-+++=- ⎪⎝⎭L L ，即()1010111
1111111a q a q a q q
⎛⎫
- ⎪-⎝⎭-=---①，由61a =，得511a q =②，联立①②解得122
a =
. 【点睛】
本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.
14．-7【解析】设公比为q 则8a1q=-a1q4所以q3=-8S6S3=q6-1q3-1=q3+1=-8+1=-7
解析：-7 【解析】 设公比为，则
，所以
．
．
15．【解析】由题设可知即由正弦定理可得所以当时故填 3
【解析】 由题设可知
)sin 3sin sin 3sin cos cos sin cos 13cos C B
C B C B C C B
=⇒=+-，即sin 3sin C A =，由正弦定理可得3c a =，所以
2
24
421441384222a S a a a ⎛⎫-=-=
-+- ⎪⎝⎭
242a a =⇒=时， 4max 1
284432
S =
-+⨯-=3
16．4【解析】【分析】由题知：四边形为圆内接四边形的最大值为四边形外接圆的直径由正弦定理即可求出的最大值【详解】因为所以故的最大值为四边形外接圆的直径当为四边形外接圆的直径时得到：又因为所以在中由正弦定 解析：4
【解析】
【分析】
由题知：四边形ABCD 为圆内接四边形，AC 的最大值为四边形外接圆的直径，由正弦定理即可求出AC 的最大值.
【详解】
因为120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，所以
故AC 的最大值为四边形外接圆的直径.
当AC 为四边形外接圆的直径时，
得到：90ADC ABC ∠=∠=︒，又因为2AB AD ==，60BCD ∠=︒，
所以30ACD ACB ∠=∠=︒.
在ABC V 中，由正弦定理得：
sin 90sin 30AC AB =︒︒
，解得：4AC =. 故答案为：4
【点睛】
本题主要考查正弦定理得应用，判断四边形ABCD 为圆内接四边形是解题的关键，属于中档题.
17．【解析】【分析】利用余弦定理得到进而得到结合正弦定理得到结果【详解】由正弦定理得【点睛】本题考查解三角形的有关知识涉及到余弦定理正弦定理及同角基本关系式考查恒等变形能力属于基础题 解析：
33
【解析】
【分析】 利用余弦定理得到cos C ，进而得到sin C ，结合正弦定理得到结果.
【详解】
925491cos ,sin 3022C C +-==-=
，由正弦定理得2sin c R R C ===. 【点睛】
本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于 基础题.
18．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题 解析：
5518
. 【解析】
【分析】 利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论.
【详解】
Q 数列{}n a 通项公式是12,123,3
n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ， 当3n ≥时，数列{}n a 是等比数列，
331112731115531123118183182313n n n n S --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-， 5531lim 5518218l m 3i n n n n S →∞→∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
=. 故答案为：
5518
. 【点睛】
本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n 项和公式的应用，是基础题. 19．；【解析】试题分析：由余弦定理得即得考点：余弦定理三角形面积公式 解析：
；2
【解析】
试题分析：由余弦定理得22202cos60AC AB BC AB BC =+-⋅，即
2174222
AB AB =+-⋅⋅，得2230AB AB --=，31()AB ∴=-或舍，
011333sin 60322222
S AB BC =
⋅=⨯⨯⨯=. 考点：余弦定理，三角形面积公式. 20．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行 解析：4[,13]5
【解析】
【分析】
【详解】
画出不等式组表示的平面区域，
由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为22x y +的最小值，为2455
=，原点到直线24=0x y -+与33=0x y --的交点(2,3)距离的平方为22x
y +的最大值为13，因此22x y +的取值范围为4
[,13].5
【考点】
线性规划
【名师点睛】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.
三、解答题
21．（1）
3π；（23【解析】
【分析】
(1)根据2cos 2a C c b +=,利用正弦定理将边化为角,进一步求出角A ;
(2)根据条件由余弦定理,可得222212cos
3a b c bc π==+-,再结合222b c bc +≥,求出bc 的范围,进一步求出ABC ∆面积的最大值.
【详解】
解:(1)∵2cos 2a C c b +=,∴2sin cos sin 2sin A C C B +=,
又∵A B C π++=,∴()2sin cos sin 2sin cos cos sin A C C A C A C +=+,
∴sin 2cos sin C A C =,∴()sin 2cos 10C A -=,
∵sin 0C ≠,∴1cos 2A =
, 又()0,A π∈,∴3A π=
(2)由(1)知,3A π
=,
∵1a =,∴由余弦定理,有222212cos
3a b c bc π==+-,∴221bc b c +=+. ∵222b c bc +≥, ∴12bc bc +≥,
∴1bc ≤,当且仅当1b c ==时等号成立,
∴()max 11sin 1sin 23234
ABC S bc ππ∆==⨯⨯=,
∴三角形ABC 的面积的最大值为
4. 【点睛】
本题考查了正弦定理,余弦定理,面积公式和均值不等式,考查了转化思想和计算能力,属中档题.
22．（1）
16；（2）32- 【解析】
【分析】
（1）先求得sin 4
B =,再根据正弦定理求得sin A 即可； （2）根据余弦定理解得2AB =,再由数量积的定义求解即可
【详解】
（1）1cos 4
B =-Q ,
sin B ∴=,
根据正弦定理可得,sin sin BC AC A B =,
即3sin A =,
sin 16
A ∴= （2）根据余弦定理可得,2222cos AC A
B B
C AB AC B =+-⋅⋅, 即2223432
AB AB =++,解得2AB =, 13cos 2342BA BC BA BC B ⎛⎫∴⋅=⋅⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r 【点睛】
本题考查利用正弦定理求角,考查向量的数量积运算,考查运算能力
23．
(1) cos DAC ∠=
AC =(2) 3 【解析】
【分析】
（1）用余弦定理求AC ，再求cos DAC ∠；
（2）先求出sin BAC ∠和sin B ，再用正弦定理可求得BC ．
【详解】
（1）ACD ∆中，由余弦定理可得：222164222277AC ⎛⎫=⨯-⨯⨯-
= ⎪⎝⎭，
解得AC =
112
72cos 27
AC DAC AD ∴∠===； （2）设DAC DCA α∠==∠，
由（1
）可得：cos sin 7
αα==， ()sin sin 120BAC α︒∴∠=
-1272714
=+⨯=， ()sin sin()sin 1802B BAC BCA α︒=∠+∠=-
sin 22777
α==⨯= 在BAC V 中，由正弦定理可得：sin sin BC AC BAC B
=∠，
3
BC
∴==.
【点睛】
本题考查余弦定理，正弦定理，考查两角和与差的正弦公式，诱导公式，二倍角公式等．本题属于中档题．解三角形注意公式运用：
①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；
②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．24．(1) 2,
Tπ
=当2,
6
x k k Z
π
π
=+∈时，()max2
f x=
(2)
2
ABC
S
∆
=
【解析】
【分析】
【详解】
（1）因为a
r
与b
r
共线，所以
11
(sin)0
22
y x x
-+=
则()2sin3
y f x x
π
⎛⎫
==+
⎪
⎝⎭
，所以()
f x的周期2
Tπ
=
当2
6
x k
π
π
=+，k Z
∈，max2
f=
（2
）∵
3
f A
π
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
∴2sin
33
A
ππ
⎛⎫
-+=
⎪
⎝⎭
∴sin A=
∵0
2
A
π
<<
∴
3
A
π
=
由正弦定理得
sin sin
BC AC
A B
=
又sin
7
B=
∴
sin
2
sin
BC B
AC
A
==
，且sin
14
C=
∴1sin 22
ABC S AC BC C ∆== 25．(1) a n 12n =
；(2) 1
n n +． 【解析】
【分析】 （1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到112n n a a +=，计算112
a =，得到答案. （2）计算得到n
b n =-，()1111111
n n b b n n n n +==-++，利用裂项求和计算得到答案. 【详解】
（1）根据题意，由a n +1+S n +1＝1，①，则有a n +S n ＝1，②，（n ≥2）
①﹣②得：2a n +1＝a n ，即a n +112=a n ，又由a 112
=， 当n ＝1时，有a 2+S 2＝1，即a 2+（a 1+a 2）＝1，解可得a 214=
， 则所以数列{a n }是首项和公比都为
12的等比数列，故a n 12n =； （2）由（1）的结论，a n 12n
=，则b n ＝log 2a n ＝﹣n ，则()()()()()()()12231111111111122311223
1n n b b b b b b n n n n ++++=+++=+++-⨯--⨯--⨯--⨯⨯⨯+L L L L L ＝（112
-）+（1231-）+……+（111n n -+）＝1111n n n -=++． 【点睛】
本题考查了求通项公式，裂项求和法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的综合应用.
26．（1）12n n a +=（2）3.
【解析】
试题分析：
（1）由题意可得316a =，又328a a -=，故28a =，由此可得等比数列的公比2q =，
因此可得12n n a +=．（2）由（1）得12n n b +=，所以()34
n n n S +=，从而()14411333n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，求和可得123111141111141122113231233239
n S S S S n n n L ⎛⎫⎛⎫++++=⨯++---<⨯++= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，
所以可得229
k ≥
，故存在满足题意得k ，且k 的最小值为3． 试题解析： （1）设等比数列{}n a 的公比为q ，
∵15a a ，的等比中项为16．
∴316a =，
又328a a -=，
28a ∴=， ∴32
2a q a ==， ∴2182
2n n n a -+=⨯==． （2）由（1）得141log 22
n n n b ++==， ∴数列{}n b 为等差数列，且11b =． ∴()113224
n n n n n S +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==， ∴()14411333n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， ∴123111141111111131425363n S S S S n n ⎛⎫++++=⨯-+-+-++- ⎪+⎝⎭
L L 4111111323123n n n ⎛⎫=⨯++--- ⎪+++⎝⎭ 4112213239⎛⎫<
⨯++= ⎪⎝⎭， ∴229
k ≥， ∴存在满足题意得k ，且k 的最小值为3．
点睛：用裂项法求和的原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，消项后的剩余部分具有对称性．。