江苏省无锡市惠山区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

江苏省无锡市惠山区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
一、单选题
1．sin 60︒的值是（ ）
A ．1
2 B C D 2．一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．1k <
B ．1k ≤
C ．1k >
D ．1k ≥
3．如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BDC ＝130°，则∠BOC 的度数为（ ）
A ．130°
B ．120°
C ．110°
D ．100°
4．下列命题：①邻边之比相等的两个平行四边形相似；②对角线所夹锐角相等的两个矩形相等；③边长相等的两个菱形相似；④任意两个正方形相似．其中真命题个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．小明沿斜坡AB 上行40m ，其上升的垂直高度CB 为20米，则斜坡AB 的坡度为（ ）
A ．30°
B ．12
C
D 6．如图，已知ABCD 中，点
E 是DC 边的中点，连接BD BE AE 、、，AE 交BD 于点
F ，则下列结论正确
的是（ ）
A ．2BD DF =
B ．2AF BF =
C ．2ABF DEF S S =
D ．ADF BEF S S =
7．关于下列一元二次方程，说法正确的是（ ）
A ．2560x x ++=的两根之和等于5
B ．231x x -=的两根之积等于1
C ．20x x m ++=两根不可能互为倒数
D ．210x mx ++=中m =0时，两根互为相反数
8．如图，AB 是O 的直径，DC 是O 的切线，切点是点D ，过点A 的直线与DC 交于点C ，则下列结论错误的是（ ）
A ．2AOD ADC ∠=∠
B ．如果AD 平分BA
C ∠，那么AC DC ⊥
C ．如果CO A
D ⊥，那么AC 也是O 的切线
D ．如果2AD CD =，那么AD =
9．一艘货轮从小岛A 正南方向的点B 处向西航行30km 到达点C 处，然后沿北偏西60°方向航行20km 到达点D 处，此时观测到小岛A 在北偏东60°方向，则小岛A 与出发点B 之间的距离为（ ）
A ．
km B ．()20km C ．10)km D ．()10km
10．AB 是O 的弦，点C 在过点B 的切线上，且OC OA ⊥，OC 交AB 于点P ．若1tan 2PAO ∠=
，则cos BCP ∠的值为（ ）
A ．45
B ．35
C ．43 D
二、填空题
11．若关于x 的一元二次方程250x x a -+=的一个根是3，则a 的值为______．
12．如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于H ，若108AB CD ==，，则图中阴影部分的面积为_______．
13．在平坦的操场上，某一时刻阳光照射下，身高1.8m 的小明影长1.2m ，同一时刻附近旗杆影长为10m ，则旗杆高度为_______m ．
14．如图，ABC ∆中，AB AC =，AH BC ⊥，CD AB ⊥，若:74AH CD =:，则:AB BH =______．
15．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，已知1tan 2B ∠=，2ACD S =△，则ABC S =______．
16．某型号电动汽车，第一年充满电可行驶500km ，第三年充满电可行驶405km ，则该型号电动汽车续航里程平均每年衰减的百分比为_______．
17．如图，AB 、DE 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠ABC =20°，点D 从点C 出发沿顺时针方向绕圆心O 旋转α°（0＜α＜180），当α=______时，直径DE 在△ABC 中截得的三角形与△ABC 相似．
18．如图，ABC 中90ACB ∠=︒，5cm AC BC ==，CDE 中,90DCE ∠=︒，3cm DC EC ==，直线BD 与直线AE 交于点F ．现将DCE △绕点C 旋转1周，在旋转过程中，F ∠=______°，线段AF 长度的最大值是______cm ．
三、解答题
19．计算：
(1)2sin30tan30cos30︒+︒⋅︒
()012cos45sin45-︒-︒
20．解方程：
(1)2420x x --=
(2)()()2312x x --=
21．如图，四边形ABCD 中，E 在AD 边上，2DE AE =，CE AB ∥，BE CD ∥．
(1)求证：ABE ECD ∽△△；
(2)已知ABE 面积为3，求四边形ABCD 的面积．
22．如图，ABC 中，,=⊥AB AC AD BC ，点O 在线段AD 上，O 与AB 相切于点E ．
(1)求证：O 与AC 相切；
(2)已知5,6AB BC ==，当O 与BC 也相切时，求O 的半径．
23．如图，格点图形中每一个最小正方形的边长为1单位长度，ABC 的顶点都在格点上．
(1)在图中建立平面直角坐标系，使得原点为点O ，点A B 、坐标分别为(3,1)(1,3)---、
； (2)以点O 为位似中心，画出△ABC 的位似三角形A B C '''，使得A B C '''与ABC 相似比为2:1；
(3)在边AB 上求作M N 、两点，使得CM CN 、将△ABC 面积三等分．
24．（1）如图1，直线a b ∥，点A 、B 在直线a 上．运用无刻度的直尺和圆规在图1中作O ，使得O 经过点A 、B ，并且与直线b 相切于点C ；
（2）点M 是直线b 上异于点C 的任意点，则ACB ∠AMB ∠（横线上填“>”或“<”）．
（3）如图2，在平面直角坐标系中，点C 坐标为()2,2，点D 坐标为()6,6，点N 在x 轴上.当CND ∠最大时，点N 的坐标是．
25．某商店销售一种服装，经市场调研发现，该服装销量y （件）与售价x （元/件）之间存在如图像中折线A-B-C 所示的函数关系．已知该服装进货价为42元/件，x 的取值范围为55≤x ≤65．
(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式及相应取值范围；
(2)若以相同价格销售一批服装获得利润12000元，求每件服装的售价．
26．如图是某小区地下停车场入口处栏杆的示意图，MQ 、PQ 分别表示地面和墙壁的位置，OM 表示垂直于地面的栏杆立柱，OA 、AB 是两段式栏杆，其中OA 段可绕点O 旋转，AB 段可绕点A 旋转.图1表示栏杆处于关闭状态，此时O 、A 、B 在与地面平行的一直线上，并且点B 接触到墙壁；图2表示栏杆处于打开状
态，此时AB MQ ∥，OA 段与竖直方向夹角为30︒．已知立柱宽度为30cm ，点O 在立柱的正中间，
120cm OM =，120cm OA =，150cm AB =．
(1)求栏杆打开时，点A 到地面的距离；
(2)为确保通行安全，要求汽车通过该入口时，车身与墙壁间需至少保留10cm 的安全距离，问一辆最宽处为
2.1m
，最高处为2.1m 取1.73）
27．如图，矩形ABCD 中，10AB =，3AD =，点E 是AB 边中点，将ADE 沿DE 翻折得FDE ，EF 与DC 边交于点G ，点M 在BC 边上，将BEM △沿EM 翻折得NEM ，点N 恰好在CD 边上．
(1)求GN 的长；
(2)求sin GEN ∠的值．
28．在Rt △ABC 中，AC ＝BC ，将线段CA 绕点C 旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD ，连接AD 、BD ．
(1)如图1，将线段CA 绕点C 逆时针旋转α，则∠ADB 的度数为 ；
(2)将线段CA 绕点C 顺时针旋转α时
①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB 的度数；
②若∠BCD 的平分线CE 交BD 于点F ，交DA 的延长线于点E ，连结BE ．用等式表示线段AD 、CE 、BE 之间的数量关系，并证明．。