高中数学选修2-3课时作业16：2.4正态分布

2.4 正态分布
A 级 基础巩固
一、选择题
1．设随机变量X~N (1，22)，则D ⎝⎛⎭⎫12X ＝( )
A ．4
B ．2 C.12
D ．1 2．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)＝( )
A ．0.6
B ．0.4
C ．0.3
D ．0.2
3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )
[附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44]
A ．4.56
B ．13.59
C ．27.18
D ．31.74
4．若随机变量X ~N (1，4)，P (X ≤0)＝m ，则P (0＜X ＜2)＝( )
A.1－2m 2
B.1－m 2 C ．1－2m D ．1－m
5．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，
则有( )
A ．μ1<μ2，σ1<σ2
B ．μ1<μ2，σ1>σ2
C ．μ1>μ2，σ1<σ2
D ．μ1>μ2，σ1>σ2 二、填空题
6．已知随机变量ξ服从正态分布，且落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f (x )在x ＝________时，达到最高点．
7．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件
3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布
N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．
8．若随机变量ξ~N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________．
三、解答题
9．公共汽车门的高度是按照确保99 以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ~N(173，72)(单位：cm)，问车门应设计多高(精确到1 cm)？[参考数据：φ(2.33)＝0.99]
10.已知某地农民工年均收入ξ(单位：元)服从正态分布，其密度函数图象如图所示．
(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；
(2)求此地农民工年均收入在8 000 8 500元的人数百分比．
B级能力提升
1．正态分布N(1，9)在区间(2，3)和(－1，0)上取值的概率分别为m，n，则()
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不确定
2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60，102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．
3．有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布，即X~N(20，4)．若这批零件共有5 000个．
(1)试求这批零件中尺寸为18 22 mm的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸为24 26 mm的零件不合适，则这批零件中不合适的零件大约有多少个？
5 000×2.15 ＝107.5，因此尺寸为24 2
6 mm的零件大约有107个．
——★ 参 考 答 案 ★——
A 级 基础巩固
一、选择题
1．D
[[解析]]因为X ~N (1，22)，所以D (X )＝4.
所以D ⎝⎛⎭⎫12X ＝14D (X )＝1.
2．C
[[解析]]由P (ξ＜4)＝0.8，知P (ξ＞4)＝P (ξ＜0)＝0.2，
故P (0＜ξ＜2)＝0.3，故选C.
3．B
[[解析]]由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 4，
故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝0.954 4－0.682 62
＝0.135 9＝13.59 . 4．C
[[解析]]由对称性：P (X ≥2)＝P (X ≤0)＝m ，
P (0＜X ＜2)＝1－P (X ≤0)－P (X ≥2)＝1－m －m ＝1－2m ，故选C.
5．A
[[解析]]μ反映的是正态分布的平均水平，x ＝μ是正态密度曲线的对称轴，
由图可知μ1<μ2; σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2.
二、填空题
6．0.2
[[解析]]由正态曲线关于直线x ＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2. 7．38
[[解析]]法一 设该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P (A )．
因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000，502)，
所以元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P 1＝12，P 2＝12，P 3＝12
. 因为P (A －)＝P 1P 2P 3＋P 3＝12×12×12＋12＝58，所以P (A )＝1－P (A －)＝38
. 法二 设该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P (A )．
因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000，502)，
所以元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P 1＝12，P 2＝12，P 3＝12
. 故P (A )＝P 1P 2P 3＋P 1P 2P 3＋P 1P 2P 3＝12×⎝
⎛⎭⎫1－12×12＋⎝⎛⎭⎫1－12×12×12＋12×12×12＝38. 8．0.3
[[解析]]由P (9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x ＝10为对称轴知，
P (9≤ξ≤11)＝2P (10≤ξ≤11)＝0.4，即P (10≤ξ≤11)＝0.2，
又P (ξ≥10)＝0.5，所以P (ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.
三、解答题
9．解：设公共汽车门的设计高度为x cm ，由题意，需使P (ξ≥x )＜1 .
因为ξ~N (173，72)，所以P (ξ≤x )＝φ⎝⎛⎭⎫x －1737＞0.99.
查表得x －1737
＞2.33，所以x ＞189.31， 即公共汽车门的高度应设计为190 cm ，可确保99 以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞．
10.解：设农民工年均收入ξ~N (μ，σ2)，结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.
(1)此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式
P (x )＝12πσe －（x －μ）22σ2＝15002π
e －（x －8 000）22×5002，x ∈(－∞，＋∞)． (2)因为P (7 500<ξ≤8 000)＝P (8 000－500<ξ≤8 000＋500)＝0.682 6.
所以P (8 000<ξ≤8 500)＝12
P (7 500<ξ≤8 500)＝0.341 3， 即农民工年均收入在8 000 8 500元的人数占总体的34.13 .
B 级 能力提升
1．C
[[解析]]正态分布N (1，9)的曲线关于x ＝1对称，区间(2，3)与(－1，0)到对称轴距离相等，故m ＝n .
2．229
[[解析]]依题意，P (60－20＜X ≤60＋20)＝0.954 4，P (X ＞80)＝12
(1－0.954 4)＝0.022 8， 故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．
所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．
3．解：(1)因为X ~N (20，4)，所以μ＝20，σ＝2.
所以μ－σ＝18，μ＋σ＝22.
于是零件尺寸X 为18 22 mm 的零件所占百分比大约是68.26，
(2)μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
所以零件尺寸X 为14 26 mm 的百分比大约是99.74 ，而零件尺寸X 为16 24 mm 的百分比大约是95.44 .
所以零件尺寸为24 26 mm 的百分比大约是99.74%～95.44%2
＝2.15 . 5 000×2.15 ＝107.5，因此尺寸为24 26 mm 的零件大约有107个．。