高中数学人教A版必修一优化练习第一章 函数的概念含解析

C．(－∞，1)∪(1,2) 2－x
D．(－∞，1)∪(1,2]
解析：要使函数 y＝
有意义，则Error!解得 x≤2 且 x≠1，所以所求函数的
x－1
定义域为(－∞，1)∪(1,2]． 答案：D 5．图中可以表示以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以 N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数 的图象的是( )
6．对于函数 f(x)，若 f(x)＝x，则称 x 为 f(x)的“不动点”，若 f(f(x))＝x，则称 x 为 f(x)的“稳定点”，函数 f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B，即 A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}． (1)求证：A⊆B； (2)设 f(x)＝x2＋ax＋b，若 A＝{－1,3}，求集合 B. 解析：(1)若 A＝∅，则 A⊆B 显然成立．
3
(1)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈{－1,0,1,2,3}； (2)f(x)＝(x－1)2＋1； (3)f(x)＝5xx－＋14； (4)f(x)＝x－ x＋1.
解析：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则 f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得
f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}．
y∈[0,3]，故选 D.
答案：D
2．已知 f(x)的定义域是[0，＋∞)，则函数(x－2)0＋f(x－1)的定义域是( )
A．[0,2)∪(2，＋∞)
B．[1,2)∪(2，＋∞)
C．[－1,2)∪(2，＋∞)
D．[1，＋∞)
解析：Error!得 1≤x 且 x≠2.
答案：B 3．已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出：
由函数 A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1 的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的
增大而增大，
∴0＜A＜6.84. 故值域为{A|0＜A＜6.84}． (3)由于 A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线 h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象 过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到 0＜h＜1.8，∴A＝h2＋2h 的图象仅是抛物线的一 部分，如图所示．
6
若 A≠∅，设 t∈A， 则 f(t)＝t，f(f(t))＝t，t∈B， 从而 A⊆B，故 A⊆B 成立． (2)∵A＝{－1,3}， ∴f(－1)＝－1，且 f(3)＝3. 即Error!，∴Error!， ∴Error!，∴f(x)＝x2－x－3. ∵B＝{x|f(f(x))＝x}， ∴(x2－x－3)2－(x2－x－3)－3＝x， ∴(x2－x－3)2－x2＝0， 即(x2－3)(x2－2x－3)＝0， ∴(x2－3)(x＋1)(x－3)＝0， ∴x＝± 3或 x＝－1 或 x＝3. ∴B＝{－ 3，－1，3，3}．
(1)试将横断面中水的面积 A(m2)表示成水深 h(m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图象．
5
解析：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为 2 m，上底为(2＋2h)m，高为 h
m，∴水的面积
A＝[2＋
2＋2h 2
]h＝h2＋2h(m2)．
(2)定义域为{h|0＜h<1.8}．值域由二次函数 A＝h2＋2h(0＜h＜1. 8)求得．
(2)函数的定义域为 R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．
(3)函数的定义域是{x|x≠1}，y＝5xx－＋14＝5＋x－9 1，所以函数的值域为{y|y≠5}．
(4)要使函数式有意义，需 x＋1≥0，即 x≥－1，故函数的定义域是{x|x≥－1}．设
( ) t＝ x＋1，则 x＝t2－1(t≥0)，于是 f(t)＝t2－1－t＝
4
x
123
f(x) 1 3 1
x
123
g(x) 3 2 1
则 f(g(1))的值为________；满足 f(g(x))>g(f(x))的 x 的值是________． 解析：g(1)＝3，f(g(1))＝f(3)＝1；
f(g(1))＝1，f(g(2))＝3， f(g (3))＝1，g(f(1))＝3， g(f(2))＝1，g(f(3))＝3， ∴满足 f(g(x))>g(f(x))的 x 值为 x＝2. 答案：1 2 4．在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当 a≥b 时，a⊕b＝a； 当 a＜b 时，a⊕b＝b2.设函数 f(x)＝(1⊕x)－(2⊕x)，x∈[－2,2]，则函数 f(x)的值 域为________． 解析：由题意知，f(x)＝Error! 当 x∈[－2,1]时，f(x)＝－1； 当 x∈(1,2]时，f(x)∈(－1,2]． ∴当 x∈[－2,2]时，f(x)∈[－1,2]． 答案：[－1,2] 5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为 2 m，渠深为 1.8 m，斜坡的倾 斜角是 45°.(临界状态不考虑)
1 2
2－54.又 t≥0，故 f(t)≥－
t－
{ } 54.所以函数的值域是
y|y
5 ≥ －4
.
[B 组 能力提升]
1．函数 y＝ 5＋4x－x2的值域为( )
A．(－∞，3)
B．[3，＋∞)
C．[0,9]
D．[0,3]
解析：由函数性质可得 5＋4x－x2≥0 的值域开方即是．结合函数图象(图略)可得
6. 答案：[－2 6，2 6] 8．若函数 f(x)的定义域为[2a－1，a＋1]，值域为[a＋3,4a]，则 a 的取值范围为 ________． 解析：由区间的定义知 Error!⇒1<a<2. 答案：(1,2) 9．若 f(x)的定义域为[－3,5]，求 φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定义域． 解析：由 f(x)的定义域为[－3,5]，得 φ(x)的定义域需满足Error! 即Error!解得－3≤x≤3. 所以函数 φ(x)的定义域为[－3,3]． 10．试求下列函数的定义域与值域：
7
定义域与对应法则都相同．故选 C.
答案：C 3．y＝x2(－1≤x0,1] D．[0,2]
解析：由图可知 f(x)＝x2(－1≤x≤2)的值域是[0,4]．
答案：C
1
4．函数 y＝ 2－x的定义域为( ) x－1
A．(－∞，2]
B．(－∞，2)
2
数 f(x)的值，这是一个常量． 解析：函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，所给出的对应是否可以 确定为 y 是 x 的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征．①是正确的．函数 值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之
对应．②是错误的．函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集， 但一定不是空集，如函数 f(x)＝1，x＝1 的定义域为{1}，值域为{1}．③是正确 的．根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对 应．④是错误的．当 x 不同时，函数值 y 的值可能相同，如函数 y＝x2，当 x＝1 和－1 时，y 都为 1.⑤是正确的．f(a)表示当 x＝a 时，函数 f(x)的值是一个常量．故 填①③⑤. 答案：①③⑤ 7．已知函数f(x)＝ 2x2－mx＋3，若f(x)的定义域为R，则m 的取值范围是________． 解析：由已知得 2x2－mx＋3≥0 对 x∈R 恒成立，即 Δ＝m2－24≤0，∴－2 6≤m≤2
解析：根据函数的定义，在定义域[0,1]内任意一个元素都有唯一的函数值与它对 应，同样，对于值域[0,1]中的任意一个函数值，在定义域内也一定有自变量和它 对应．A 中函数值域不是[0,1]，B 中函数定义域不是[0,1]，故可排除 A，B；再 结合函数的定义，可知对于集合 M 中的任意一个 x，N 中都有唯一的元素与之对 应，故排除 D.故选 C. 答案：C 6．下列说法正确的有________．(只填序号) ①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；②函数的定义域和值 域一定是无限集合；③若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素；④ 对于任何一个函数，如果 x 不同，那么 y 的值也不同；⑤f(a)表示当 x＝a 时，函
答案：C
2．已知四组函数：
①f(x)＝x，g(x)＝( x)2；②f(x)＝x，g(x)＝3 x3；③f(n)＝2n－1，
g(n)＝2n＋1(n∈N)；④f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
其中是同一函数的为( )
A．没有
B．仅有②
C．②④
D．②③④
解析：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应法则不同；对于第二、四组，
[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 的公共点有( )
A．0 个
B．1 个
C．0 或 1 个
D．无数个
解析：当 x＝1 在函数 f(x)的定义域内时，函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 有一个
公共点
(1，f(1))；当 x＝1 不在定义域内时，函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 没有公共点．