中考数学考点总动员 第25讲 视图与投影(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题

第25讲视图与投影
1．三视图
(1)主视图：从正面看到的图形；(2)左视图：从左面看到的图形；(3)俯视图：从上面看到的图形．2．画“三视图”的原则
(1)位置：主视图；左视图；俯视图．
(2)三种视图边的关系：长对正，高平齐，宽相等．
(3)虚实：在画图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．3．几种常见几何体的三视图
4.投影
物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．
(1)平行投影：太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影．
在同一时刻，物体高度与影子长度成比例．
物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影．
(2)中心投影：探照灯、手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线，像这样的光线所形成的投影称为中心投影．
5．立体图形的展开
(1)常见几何体的展开图
(2)正方体展开图的三种类型
第一类：“141”型，特点：四个连成一排，两侧各有一个正方形．如下图：
如图中数字“1”与“6”相对，“2”与“4”相对，“3”与“5”相对．
第三类：“222”型和“33”型，特点：两面三行，像楼梯；三面两行，两台阶．如图：
图中“1”与“4”，“2”与“5”，“3”与“6”相对．
6．立体图形的折叠
一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图形就可以折叠成相应的几何体，展开与折叠是一对互逆的过程.
考点1：立体图形的展开与折叠
【例题1】（2019▪某某某某▪3分）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是（）
A．国B．的C．中D．梦
【答案】B
【解答】解：根据正方体相对的面的特点，“中”字所在的面的对面的汉字是“的”，
故选：B．
归纳：1．可通过具体操作强化空间观念，即熟练的进行平面图形与立体图形之间的互相转化．2．折叠与展开是一个互逆的过程，可通过折叠验证展开，也可通过展开验证折叠．
考点2：三视图
【例题2】（2019•某某•3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为（18+23）cm2．
【答案】（18+23）cm 2
．
【分析】由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．
【解答】解：该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm ，高为3cm ，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×＝3cm 2
）．
故答案为（3cm 2．
归纳：先要明确俯视图的观察方向，再区分俯视图中的线段是实线还是虚线．观察俯视图时要从上往下看，注意看到的部分用实线，看不到的部分用虚线． 考点3： 涉及三视图计算问题
【例题3】图，一透明的敞口正方体容器ABCD －A′B′C′D′中装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α)．
探究：如图①，液面刚好过棱CD ，并与棱BB′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示． 解决问题：
(1)CQ 与BE 的位置关系是________，BQ 的长是________dm ； (2)求液体的体积(提示：V 液＝S △BCQ ×高AB)；
(3)求液面到桌面的高度和倾斜角α的度数⎝
⎛⎭⎪⎫注：sin37°≈35，tan37°≈34.
【解析】：(1)平行 3(4分)
(2)V 液＝12×3×4×4＝24(dm 3
)．(7分)
(3)过点B 作BF⊥CQ，垂足为F. ∵S △BCQ ＝12×3×4＝1
2×5×BF，
∴BF＝12
5
dm ，
∴液面到桌面的高度是12
5dm.
∵在Rt△BCQ 中，tan∠B CQ ＝BQ BC ＝3
4，
∴∠BCQ≈37°.由(1)可知CQ∥BE， ∴α＝∠BCQ≈37°.
归纳：一般把左视图画在主视图的右方，俯视图画在主视图的下方，并使得视图各部分的比例恰当。

其中主视图、左视图的高度相等；主视图、俯视图的长度相等；左视图的宽度（横向）与俯视图的宽度（纵向）相等。

写成口诀就是：“主俯长对正，主左高平齐、左俯宽相等”。

一、选择题：
1. （2018年某某省某某市•3分）下列几何体中，主视图与俯视图不相同的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
正方体四棱锥圆柱球 【答案】B
【解答】解：四棱锥的主视图与俯视图不同．
故选：B．
2. （2019▪某某池河▪3分）某几何体的三视图如图所示，该几何体是（）
A．圆锥B．圆柱C．三棱锥D．球
【答案】A
【解答】解：由已知三视图得到几何体是以圆锥；故选：A．
3. （2018·某某省某某·3分）把图1中的正方体的一角切下后摆在图2所示的位置，则图2中的几何体的主视图为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：从正面看是一个等腰三角形，高线是虚线，
故选：D．
4. （2018·某某某某·3分）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（）
A．12cm2B．（12+π）cm2C．6πcm2D．8πcm2
【答案】C
【解答】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是2÷2=1cm，高是3cm．
所以该几何体的侧面积为2π×1×3=6π（cm2）．
故选：C．
5. （2019•某某省某某市•3分）如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（）
A．B． C．D．
【答案】B
【解答】解：选项A和C带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式；
选项B能折叠成原几何体的形式；
选项D折叠后下面带三角形的面与原几何体中的位置不同．
故选：B．
二、填空题：
6. （2019•某某某某•3分）如图，一个正方体由27个大小相同的小立方块搭成，现从中取走若干个小立方块，得到一个新的几何体．若新几何体与原正方体的表面积相等，则最多可以取走 4 个小立方块．
【答案】4
【解答】解：若新几何体与原正方体的表面积相等，则新几何体的三视图与原来的几何体的三视图相同，所以最多可以取走4个小立方块．
故答案为：4
7. （2018•某某）三棱柱的三视图如图所示，已知△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EFG=45°．则AB的长为4cm．
【答案】4
【解答】解：过点E作EQ⊥FG于点Q，
由题意可得出：EQ=AB，
∵EF=8cm，∠EFG=45°，
∴EQ=AB=×8=4（cm）．
故答案为：4．
8. （2018•某某）一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有10 种．
【答案】10
【解答】解：设俯视图有9个位置分别为：
由主视图和左视图知：①第1个位置一定是4，第6个位置一定是3；
②一定有2个2，其余有5个1；
③最后一行至少有一个2，当中一列至少有一个2；
根据2的排列不同，这个几何体的搭法共有10种：如下图所示：
故答案为：10．
9. （2019•某某省•2分）图2是图1中长方体的三视图，若用S 表示面积，S 主＝x 2
+2x ，S 左＝x 2
+x ，则S 俯是.
【答案】x 2
+3x+2，
【解答】解：∵S 主＝x 2
+2x ＝x （x+2），S 左＝x 2
+x ＝x （x+1）， ∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，
则俯视图的面积S 俯＝（x+2）（x+1）＝x 2
+3x+2， 三、解答题：
10. 一个几何体的三视图如图所示(单位：mm)，你能画出这个几何体的图形吗？并求出其表面积和体积．
【解析】：该几何体如图所示．(4分)表面积为2×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫822
＋8π×10＋5×8－π×82×5＝(92π＋
40)(mm 2
)；(8分)体积为π×⎝ ⎛⎭⎪⎫822×10－12π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫822
×5＝120π(mm 3
)．(12分)
11. 如图，花丛中有一路灯杆AB ，在灯光下，大华在点D 处的影长DE ＝3米，他沿BD 方向行走到点G ，DG ＝5米，这时他的影长GH ＝5米．如果大华的身高为2米，求路灯杆AB 的高度．
【解析】：∵CD ∥AB ，∴△ECD ∽△EAB ， ∴
CD AB ＝DE BE ，即2AB ＝33＋BD
①. ∵FG ∥AB ，∴△HFG ∽△HAB ， ∴
FG AB ＝HG HB ，即2AB ＝5BD ＋5＋5
②. 由①②得33＋BD ＝5BD ＋5＋5，
解得BD ＝，∴2
AB ＝，解得AB ＝7.
答：路灯杆AB 的高度为7 m.
12. 小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD ＝1.2 m ，CE ＝0.8 m ，CA ＝30 m(点A 、E 、C 在同一直线上)．
已知小明的身高EF 是1.7 m ，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1 m)．
word 11 / 11 【解析】：如题图，过点
D 作DG ⊥AB ，分别交AB ，EF 于点G ，H ，则
EH ＝AG ＝CD ＝，
DH ＝CE ＝，DG ＝CA ＝30.
∵EF ∥AB ，∴FH BG ＝DH DG
. 由题意，知FH ＝EF －EH ＝－＝0.5.
∴0.5BG ＝0.830，解之，得BG ＝18.75. ∴AB ＝BG ＋AG ＝＋＝≈，
∴楼高AB 约为米．
13. 如图，在一座大厦(图中BC 所示)前面30m 的地面上，有一盏地灯A 照射大厦，身高为1.6m 的小亮(图中EF 所示)站在大厦和灯之间，若小亮从现在所处位置径直走向大厦，当他走到距离大厦只有5m 的D 处时停下．
(1)请在图中画出此时小亮的位置(可用线段表示)及他在地灯照射下投在大厦BC 上的影子；
(2)请你求出此时小亮的影长．
【解析】：(1)如图，DG 为小亮的位置，BH 为他在地灯照射下投在大厦BC 上的影子；
(2)设此时小亮的影长BH 为xm.依题意得GD⊥AB，CB⊥AB，
∴∠ADG＝∠ABH＝90°.
又∵∠DAG＝∠BAH，∴△ADG∽△ABH，∴DG BH ＝AD AB
. 由题意得AB ＝30m ，DG ＝1.6m ，BD ＝5m ，
∴AD＝AB －BD ＝25m ，
∴BH＝DG·AB AD ＝1.6×3025
＝1.92(m)． 答：小亮此时的影长是1.92m.。