九年级数学三角函数全章知识点整理

九年级数学三角函数全章知识点整理
初中三角函数整理复
一、三角函数定义
在直角三角形中，对于一个锐角A，定义如下三个比值：
siaA=A的对边/斜边，cosA=A的邻边/斜边，
tanA=A的对边XXX的邻边
二、特殊角的三角函数
根据特殊角的三角函数值，可以得出以下归纳结果：
siaA：30°=1/2，45°=√2/2，60°=√3/2
cosA：30°=√3/2，45°=√2/2，60°=1/2
XXX：30°=1/√3，45°=1，60°=√3
练：
1) 求sia 30°+cos30°的值为1
2) 求2sia 45°-cos30°的值为2
3) 求cos30°+tan60°-tan30°的值为sia45°
三、解直角三角形的依据
解直角三角形的主要依据有：
1) 勾股定理：a²+b²=c²
2) 锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
3) 边角之间的关系：sinA=cosB，XXX∠A的对边/∠A的邻边
例题评析：
1) 在△ABC中，∠C为直角，且b=2，a=6，求解这个三
角形。

2) 在△ABC中，∠C为直角，b=20，∠B=35°，求解这个三角形（精确到0.1）。

3) 在Rt△ABC中，a=104.0，b=20.49，求解这个三角形。

4) 在△ABC中，∠C为直角，AC=6，BAC的平分线
AD=43，求解此直角三角形。

四、仰角和俯角
在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角。

例题：
1) 如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角
α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)。

2) 如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′。

已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B 的水平距离BC(精确到1m)。

3) 如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A 点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD。

1.在某一时刻，太阳光线与地平面的夹角为78°，此时测得烟囱的影长为5米。

求烟囱的高（精确到0.1米）。

答：设烟囱高为h，则tan78°=h/5，解得h≈22.4米。

2.在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房。

从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°。

求西楼高（精确到0.1米）。

答：设西楼高为h，则tan45°=h/d和tan10°=h/(d+30)，其中d为两楼房之间的距离。

解得h≈22.2米，d≈41.9米。

3.在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5米。

测得斜坡的倾斜角是24°。

求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1米）。

将实际问题转化为数学问题画出图形（如下图）。

已知：直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5.5，
∠A=24°，求AB。

答：由正弦定理得AB≈6.0米。

4.正午10点整，一渔轮在小岛O的XXX°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行。

那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？（精确到1分）。

答：设渔轮向东航行t小时到达O的正东方向，则有以下三角函数关系式：
tan30°=OA/AD，tan60°=OD/AD+t×10
解得t≈0.9，即渔轮在正午10点54分左右到达O的正东方向。

5.如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于XXX°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于XXX°。

如果鱼船不改变航向继续向东航行，有没有触礁的危险？用三角函数等知识解决问题。

答：设鱼船继续向东航行x海里到达D点，则有以下三角函数关系式：
tan60°=AB/BC，tan30°=AC/BC，tan120°=AD/BD，
tan150°=CD/BD+x
解得x≈10.9海里，因此鱼船不会触礁。

利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数。

解析：首先，我们可以通过图像看出，横断面ABCD是
一个等腰梯形。

为了求出面积，我们需要先求出AD。

根据题目中给出的坡度1∶1.5，我们可以得到
AE=1.5×0.6=0.9米。

由于ABCD是等腰梯形，因此FD=AE=0.9米。

所以，AD=2×0.9+0.5=2.3米。

因此，横断面ABCD的面积为(0.5+2.3)×0.6/2=0.8平方米。

接下来，我们需要求出修建100米长的渠道需要挖去的土方数。

根据横断面面积和渠道长度的公式，我们可以得到总土方数为0.8×100=80立方米。