2019届全国新高三原创试卷(十一)数学(理)

绝密 ★ 启用前
2019届全国新高三原创试卷
理 科 数 学（十一）
本试题卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝你考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的一律无效。

6、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}33,log M a =，{},N a b =，若{}0M N =，则M
N =（ ）
A ．{}30,
B ．{}301,,
C ．{}302,,
D ．{}3012,,,
【答案】B 【解析】因为{}0M
N =，0a >，所以0b =，所以3log 0a =，
所以1a =，所以{}3,0M =，{}1,0N =，所以{}3,0,1M N =，故选B ．
2．已知a ∈R ，i a 的值为（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】C
【解析】 则10a -=，即1a =，故选C ．
3，则sin 2a 的值为（ ）
A B C D
【答案】A
【解析】
又因为sin 0α<，所以
A ． 4．已知等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足54643S S S =+，且21a =则4a 等于（ ） A ．
1
27
B ．27
C ．
19
D ．9
【答案】D
【解析】因为54643S S S =+，所以546533S S S S -=-，所以563a a =， 故3q =，由等比数列的通项公式得42242139a a q -==⨯=，故选D ．
5．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ） A ．
110
B ．
15
C ．
310
D ．
25
【答案】C
【解析】将5张奖票不放回地依次取出共有35C 10=种不同的取法，若获恰好在第四次抽奖结
束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽的最后一张奖票，共有2
3C 3=种取法，所以概率
为3
10
P =
，故选C ． 6．一个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A ．4π
B ．5π
C ．8π
D ．9π
【答案】D
【解析】由三视图可知几何体的原图如下图所示：
在图中AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，2BC =，1BD =，2AB =．
由于BCD △是直角三角形，所以它的外接圆的圆心在斜边的中点E ，且12r CD =
=
，
设外接球的球心为O ，如图所示，由题得22291(
24
R =+=， 所以该几何体的外接球的表面积为2
9
4π4π9π4
R =⨯
=，故选D ． 7．执行如下图所示的程序框图，则输出的S =（ ）
A ．
920
B ．
940
C ．
29
D ．
49
【答案】B
【解析】运行程序如下：
1
24S =
⨯，4n =，419<； 112446S =+⨯⨯，6n =，619<；
111244668
S =++⨯⨯⨯，8n =，819<；
11112446681820
S =
++++⨯⨯⨯⨯，20n =，2019>； 111111111119()244668182022446182040
S =++++=-+-++-=⨯⨯⨯⨯；
故选B ．
8．()()
3
2
12x x x +--的展开式中，含5x 项的系数为（ ）
A ．6-
B ．12-
C ．18-
D ．18
【答案】A
【解析】由题得()()()()()()()
3
3
3
4
3
2
12
12112x x x x x x x x +--+-+=+-=，
因为()4
1x +的展开式中4
x 的系数为04C 1=，(
)3
2x -的展开式中x 的系数为 ()2
2
32C 12-=，所以此时5x 项的系数为11212⨯=．
因为()41x +的展开式中3
x 的系数为14C 4=，(
)3
2x -的展开式中2
x 的系数为
()1
132C 6-=-，所以此时5
x 项的系数为()4624⨯-=-，
因为()4
1x +的展开式中2x 的系数为24
C 6=，()3
2x -的展开式中3
x 的系数为()0
03C 21-=， 所以此时5x 项的系数为616⨯=．综上所述，展开式中含5x 项的系数为122466-+=-， 故选A ．
9
称．且(
)f x ω的值为（ ） A ．2 B ．
103
C ．23
D ．38
【答案】C 【解析】由题意
k ∈Z k
∈Z ，
()f x
令0k =C ． 10．己知m 、n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，
l β⊄，则（ ）
A ．αβ∥，且l α∥，l β∥
B ．αβ⊥，且l α∥，l β∥
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l
【答案】D
【解析】m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以l α∥， 又n ⊥平面β，l n ⊥，l β⊄，所以l β∥，
由直线m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，
则α与β相交，否则，若αβ∥则推出m n ∥，与m 、n 异面矛盾， 故α与β相交，且交线平行于l ．故选D ．
11的左、右顶点分别为A 、B ，点F 为双曲线的左
焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线分别在第二、第三象限交双曲线C 于P 、Q 两点，连接PB 交
y 轴于点E ，连接AE 交QF 于点M ，且2QM
MF =，则双曲线C 的离心率为（ ）
A B ．2
C ．3
D ．5
【答案】 B
【解析】，得(),0A a -，(),0B a ，(),0F c -，
又过点F 作垂直与x 轴的直线分别在第二，第三象限角双曲线C 于P 、
Q 两点，
2,b Q c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
如图所示，设()11,M x y ，因为2QM MF =，解得2
13b y a =-，即2
,3b M c a ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，
又由直线PB 的方程为()a c
y x a a
-=
-，令0x =，得y c a =-，即()0,E c a -， 又由M ，A ，E 三点共线，所以AE MA k k =，即2
3b c a
a a c a
-=-，
又因为2
2
2
b c a
=-，整理得()223c a c a a a c a --=
-，即2c a =，所以2c
e a
==，故选B ．
12．已知函数()()()2
11e 2
x f x ax x a =
--∈R 若对区间[]01，内的任意实数1x 、2x 、3x ，都有()()()123f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]1,2 B ．[]e,4
C ．[]1,4
D ．[)[]1,2e,4
【答案】C
【解析】由题得()()()
e 1e e e x x x x
f x ax x ax x x a '⎡⎤=-+-=-=-⎣⎦
， 当1a <时，()0f x '<，所以函数()f x 在[]
0,1单调递减，
因为对区间[]
0,1内的任意实数1x 、2x 、3x ，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以()()()110f f f +≥，所以
11
122
a a +≥， 故1a ≥，与1a <矛盾，故1a <不成立．
当1e a ≤<时，函数()f x 在[]0,ln a 单调递增，在(]ln ,1a 单调递减． 所以()()2max 1
ln ln ln 2
f x f a a a a a a ==
-+， 因为对区间[]
0,1内的任意实数1x 、2x 、3x ，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以()()()01ln f f f a +≥，所以211
1ln ln 22
a a a a a a +≥-+， 即
211
ln ln 1022
a a a a a -+-≤， 令()2
11ln ln 122g a a a a a a =-+-，()1e a ≤<，
所以()()2
1ln 102
g a a '=-<，所以函数()g a 在()1,e 上单调递减，
所以()()max 10g a g ==，所以当1e a ≤<时，满足题意． 当e a ≥时，函数()f x 在()0,1单调递增，
因为对区间[]
0,1内的任意实数1x 、2x 、3x ，都有()()()123f x f x f x +≥，
所以()()()001f f f +≥，故1
112
a +≥，所以4a ≤，故e 4a ≤≤； 综上所述，[] 1,4a ∈；故选C ．
第Ⅱ卷
卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．若两个非零向量a 、b 满足2+=-=a b a b b ，则向量+a b 与a 的夹角为__________． 【答案】
π
6
【解析】设1=b ，则2+=-=a b a b ，
∴0⋅=a b ，故以a 、b
为邻边的平行四边形是矩形，且=a 设向量+a b 与a 的夹角为θ，则()(
)2()cos 2θ⋅++⋅====+⋅+⋅+a a a b a a b a b
a a
b a a b ，
∴π6θ=
，故填π
6
． 14．设变量x ，y 满足约束条件0
0 34x y x y x y +⎧≥-≥+≤⎪
⎨⎪⎩
，则32x y +的最大值为__________．
【答案】5
【解析】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示， 设目标函数32z x y =+，化简得322
z y x =-+， 由图象可知，当直线322
z
y x =-
+过点A 点时，直线在纵轴的截距最大， 此时目标函数取得最大值，由034x y x y -=+=⎧⎨
⎩，解得1
1
x y ==⎧⎨⎩，即()1,1A ，
所以目标函数的最大值为31215⨯+⨯=．
15．已知F 为抛物线()2
:20E y px p =>的焦点，过F 作倾斜角为30︒的直线l 与抛物线E
交于A 、B 两点，过A 、B 向E 的准线作垂线，垂足分别为C 、D ，设CD 的中点为M ，则MF =__________． 【答案】2P
【解析】设直线的方程为02p y x x p ⎫-=
-=⎪⎝⎭， 联立直线和抛物线的方程得224280x px p -+=， 设()11,A x y 、()22,B x y ，则127x x p +=， 所以设AB 的中点为N 且其的横坐标为
127
22
x x p +=，
所以N 的纵坐标为72y p p =
=，
所以2MF p ==，故填2p ． 16．记1122...n n
d a d a d a m n
+++=
，若{}n d 是等差数列，则称m 为数列{}n a 的“n d 等差均值”；
若{}n d 是等比数列，则称m 为数列{}n a 的“n d 等比均值”．已知数列{}n a 的“21n -等差均值”为2，数列{}n b 的“1
3
n -等比均值”为3．记32
log n n n
c k b a =
+⋅，数列{}n c 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n 都有6n S S ≤，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】
131154
K ≤≤ 【解析】由题得()123212n
a a n a n
++
+-=
，所以()123212n a a n a n ++
+-=，
所以()12132322n a a n a n -+++-=-，两式相减得2
21
n a n =
-， 又由题得112333n n b b b n
-++
+=
，所以112333n n b b b n -++
+=，
所以21213333n n b b b n --++
+=-，
两式相减得23n n b -=，所以()221n c k n k =-+-， 因为对任意的正整数n 都有6n S S ≤，所以670
c c ≥≤⎧⎨⎩，
解之得
131154K ≤≤，故填131154
K ≤≤． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 其面积为S ，且
(
)
2
2b c a +-=．
（1）求角A ；
（2
）若a =()0b m m =>，当ABC △有且只有一解时，求实数m 的范围及S 的最大值．
【答案】（1）π3A =
；（2
． 【解析】（1
）由己知2
2
2
2sin b c a bc A +-+=，
由余弦定理得2cos 2sin bc A bc A +=，
所以cos 1A A +=，即1sin 2
π6A ⎛
⎫-
= ⎪⎝
⎭， ()0,πA ∈，5π,666ππA ⎛⎫
∴-∈- ⎪⎝⎭
，所以6ππ6A -=，π3A =．
（2）由己知，当ABC △有且只有一解时，
sin
π
3
m =
或0m <≤
(
{}2m ∈；
①当2m =时，ABC △
为直角三角形，112S =
⋅=
，
②当0m <≤
2sin sin sin 3
m m B B =⇒=，
212π3
sin sin sin cos 232S B C B B B B B ⎛⎫=⋅=⋅-= ⎪⎝⎭
31cos 2sin cos 222π26B B B B B -⎛
⎫=+=-+
⎪⎝⎭
03πB <≤
，ππ262π
6B ∴<-≤， 所以，当π3B =
时，max S =>，
综上所述，max 4
S =
．
18．（12分）某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身不低于1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．
（1）求该市高一学生身高高于1.70米的概率，并求图1中a 、b 、c 的值．
（2）若从该市高一学生中随机选取3名学生，记ξ为身高在(]150,170..的学生人数，求ξ的分布列和数学期望；
（3）若变量S 满足()06826P S μσμσ-<≤+>.且()2209544P S μσμσ-<≤+>．，
则称变量S 满足近似于正态分布()
2,N μσ的概率分布．如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布()1.6,0.01N 的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）由图2可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70的概率为0.15． 记X 为学生的身高，结合图1可得：
()()2
1.30 1.40 1.80 1.900.02100f X f X <≤=<≤=
=， ()()13
1.40 1.50 1.70 1.800.13100f X f X <≤=<≤==，
()()()1
1.50 1.60 1.60 1.70120.0220.130.352f X f X <≤=<≤=-⨯-⨯=，
又由于组距为0.1，所以02a =.
，13b =.，35c =.． （2）以样本的频率估计总体的概率，
可知从这批学生中随机选取1名，身高在[]1.50,1.70的概率为
()()()1.50 1.70 1.50 1.60 1.60 1.700.7P X f X f X <≤=<≤+<≤=，
因为从这批学生中随机选取3名，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量ξ服从二项分布()3,0.7B ， 故
的分布列为：()()33C 0.3
0.70,1,2,3n
n
n P n n ξ-⋅=⋅==，
()0002710189204413034321E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.....（或()30721E ξ=⨯=..）
（3）由()1.6,0.01N ，取160μ=.，01σ=.
， 由（2）可知，()()<X 1501700706826P P X μσμσ-≤+=<≤=>....， 又结合（1），可得：()()2<X 2 1.40 1.80P P X μσμσ-≤+=<≤，
()2 1.70<X 1.80 1.50 1.70)0.960.544f P X =⨯≤+<≤=>（，
所以这批学生的身高满足近似于正态分布()1.6,0.01N 的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．
19．（12分）如下图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，
AD BC ∥，3PA AB AC AD ====，4BC =，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N
为PB 的中点．
（1）证明：MN ∥平面PCD ；
（2）求直线PN 与平面AMN 所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析．（2． 【解析】（1）由己知得1
13
AM AD =
=，2DM ∴=， 取CP 的中点T ，连接DT ，TN 由N 为PB 中点知TN BC ∥，1
22
TN BC =
=， 又AD BC ∥故TN DM ∥，四边形DMNT 为平行四边形，于是MN DT ∥． 因为DT ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ，所以MN ∥平面PCD ．
（2）取BC 的中点E ，连结AE ，由AB AC =得AE BC ⊥，从而AE AD ⊥，
且AE ===
以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，
由题意知，()0,0,0A ，()0,0,3P ，()0,1,0M
，)
2,0B
-
，31,2N ⎫
-⎪⎪⎝
⎭， 531,22PN ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,0AM =，531,22AN ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，
设(),,x y z =n 为平面AMN 的法向量，
则00
AM AN
⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即03022
y x y z ⎧=-+=⎪⎩，可取1⎫=-⎪⎭n ，
故直线PN 与平面AMN 所成角的正弦值为
cos 7
14PN PN PN
⋅<>=
=
=
，n n n ． 20．（12分）已知椭圆2
215
x y +=的右焦点为F ，坐标原点为O ．椭圆C 的动弦AB 过右焦点F 且不垂直于坐标轴，AB 的中点为N ，过F 且垂直于线段AB 的直线交射线ON 于点
M ．
（1）求点M 的横坐标；
（2）当OMF ∠最大时，求MAB △的面积． 【答案】（1）见解析；（2）
10
． 【解析】（1）易知()2,0F ，设AB 所在直线为()()20y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y ，
联立方程组()2
2152x y y k x +==-⎧⎪⎨⎪⎩
，化简得()()2222
51202050k x k x k +-+-=，
由韦达定理得21222051k x x k +=+，2122205
51
k x x k -=+，
则222102,5151k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
，从而ON 所在直线方程为1
5y x k =-
又FM 所在直线方程为()1
2y x k
=-
-，联立两直线方程解得52M x =．
（2）由（1）得51,22M k ⎛⎫-
⎪⎝⎭，则11,22MF k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，51,22MO k ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，
则2
51
cos MF MO OMF
MF MO
k +
⋅∠=
=
=
⋅==≥2
15k =时取等号）， 当cos OMF ∠
取得最小值时，OMF ∠最大，此时122x
x +=，
1212
x x
=-
， 12
5
AB x =-==，
FM ==，从而12MAB S AB FM =⋅=△．
21．（12分）已知函数()()1ln 1
m x f x x x -=-
+，()()()2
ln 1,g x x x n x m n =--∈R ．
（1）若函数()f
x ，()g x 在区间()0,1上均单调且单调性相反，求m ，n 的取值范围； （2）若0a b <<ln ln 2
a b a b
a b -+<
<-．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）()()()()
222
2211211x m x m f x x x x x +-+'=-=++， 令()()2
221h x x m x =+-+，
()010h =>，又函数()f x 在()0,1上单调，所以()f x 在()0,1上单调递增，
()1022h x m x x ⎛⎫≥⇒-≥-+ ⎪⎝⎭，而12x x ⎛
⎫-+<- ⎪⎝
⎭，
所以222m -≥-，即2m ≤，
所以()g x 在()0,1上单调递减．所以()ln 120g x x nx '=+-≤在()0,1上恒成立， 即ln 12x n x +≥
，令()()ln 1()0,1x x x x ϕ+=∈，()2ln 0x
x x
ϕ-'=>， 所以()x ϕ在()0,1上单调递增，()()11x ϕϕ<=， 所以21n ≥，即1
2
n ≥
． （2）在（1）中，令2m =，()()
21ln 1
x f x x x -=-
+在()0,1上单调递增， ()()()21ln 101x f x x f x -=-<=+，即()
21ln 1x x x -<+，
令()0,1a x b =∈，得()212ln 1a a b a b a b a b b
⎛⎫
- ⎪
-⎝⎭<=
++， ln 0a b <，ln ln 2
a b a b a b -+∴<-， 在（1）中，令1
2
n =，
由()g x 在()0,1上单调递减得()()10g x g >=， 所以()21ln 102x x x -
->即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭
，
取()0,1x =
得，12>，
即ln ln a b ->
ln ln 0a b -<
ln ln a b
a b -<-，
ln ln 2
a b a b
a b -+<
<-．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
已知直线
的参数方程为1212
x y t ⎧⎪⎪⎨=-=+⎪⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2π2cos 3ρθ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
． （1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）若(),P x y 是直线l 与圆2π2cos 3ρθ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
y +的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）∵圆C 的极坐标方程为2π2cos 3ρθ⎛⎫=-
⎪⎝⎭
， 2
2π2cos 3ρρθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭
，所以2
12cos 2ρρθθ⎫=-⎪⎪⎝⎭
， 又
222x y ρ=+，cos x ρθ=，2cos y ρθ==，
∴22x y x +-，∴圆C
普通方程为220x y x ++=．
（2）圆C
的方程为22
0x y x ++=
，即2
2
1122x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭， 将直线l
的参数方程1212x y t
⎧⎪⎪⎨=-=⎪⎪⎩，（t 为参数)
化为普通方程：12y x ⎫=+⎪⎝⎭，
∴直线l 与圆C
的交点为A ⎝⎭
和B ⎛ ⎝⎭
，
)
1A
y
∴
+=
，
)
1B
y
+=-．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()f x x x a =++．
（1）若不等式()21f x a ≥-对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若不等式()21f x a ≤-的解集为[],3b b +，求实数a ，b 的值．
【答案】（1）(],1-∞；（2）252a b =⎧⎪
⎨=-⎪⎩
．
【解析】（1）对x ∀∈R ，()()f x x x a x x a a =++≥-+=， 当且仅当()0x x a +≤时取等号，故原条件等价于21a a ≥-， 即21a a ≥-或()211a a a ≤--⇒≤， 故实数a 的取值范围是(],1-∞．
（2）由210a x x a -≥++≥，可知210a -≥， 所以1
2
a ≥
，故0a -<， 故()2,,02,0x a x a f x a a x x a x --<-⎧⎪
=-≤≤⎨⎪+>⎩
的图象如图所示，
由图可知()2
221523212a b a a b a a b =⎧--=-⎪
⇒⎨++=-=-
⎧⎨⎩⎪⎩
．。