人教A版文科数学一轮复习直线与圆锥曲线的位置关系A专题精选课时习题(含解析)

课时作业(五十三)A [第53讲 直线与圆锥曲线的位置关系]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．过点P (－1,0)的直线l 与抛物线y 2＝5x 相切，则直线l 的斜率为( )
A ．±22
B ．±32
C ．±52
D ．±62
2．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0
3．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则双曲线的离心率是( ) A. 3 B ．2 C. 5 D. 6
4．方程x 2m 2＋y 2
(m －1)2
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________． 能力提升
5．直线y ＝x ＋m 与抛物线x 2＝2y 相切，则m ＝( )
A ．－12
B ．－13
C ．－14 D.12
6．“|C |A 2＋B 2
≤a ”是“曲线Ax ＋By ＋C ＝0与x 2a ＋y 2
b ＝1(a >b >0)有公共点”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 7．抛物线x 2
＝16y 的准线与双曲线x 29－y 2
3＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积是( ) A ．16 3 B ．8 3 C ．4 3 D ．2 3
8．椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为( )
A.32
B.3－1
C.22
D.2－1 9． 已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( ) A ．2 3 B ．2 5 C ．4 3 D ．4 5
10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1与抛物线交于P 、Q 两点，
l 2与抛物线交于M 、N 两点，l 1的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫p k 2＋p ，p k ，则弦MN 的中点坐标为________．
11．若直线y ＝(a ＋1)x －1与y 2＝ax 恰有一个公共点，则a ＝________.
12． 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)和椭圆x 216＋y 29
＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________________．
13． 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C
的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝________.
14．(10分) 已知动圆P 过点F ⎝⎛⎭⎫0，14且与直线y ＝－14
相切． (1)求点P 的轨迹C 的方程；
(2)过点F 作一条直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 在A ，B 两点处的切线相交于点N ，M 为线段AB 的中点，求证：MN ⊥x 轴．
15．(13分) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的长轴长为4. (1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，求椭圆焦点坐标；
(2)若点P 是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，记直线PM ，PN 的斜
率分别为k PM ，k PN ，当k PM ·k PN ＝－14
时，求椭圆的方程． 难点突破
16．(12分)已知圆C 1的方程为(x －2)2＋(y －1)2
＝203，椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，C 2的离心率为22
，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程．
课时作业(五十三)A
【基础热身】
1．C [解析] 显然斜率存在不为0，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入抛物线方程消去x 得ky 2－5y
＋5k ＝0，由Δ＝(－5)2－4×5k 2＝0，得k ＝±52
.故选C. 2．A [解析] 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b a
x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．故选A.
3．C [解析] 设切点为P (x 0，y 0)，则切线斜率为k ＝y ′＝2x 0，依题意有y 0x 0
＝2x 0.又y 0＝x 20＋1，解得x 0＝±1，所以b a ＝2x 0＝2，b ＝2a ，所以e ＝1＋b 2a
2＝ 5.故选C. 4．m <12
且m ≠0 [解析] 首先m ≠0，m ≠1，根据已知，m 2<(m －1)2，即m 2－(m 2－2m ＋1)<0， 解得m <12.所以实数m 的取值范围是m <12
且m ≠0. 【能力提升】
5．A [解析] 将直线方程代入抛物线方程，得x 2－2x －2m ＝0，由Δ＝4＋8m ＝0，得m ＝－12
.故选A. 6．B [解析] 如果两曲线有公共点，可得椭圆中心到直线的距离d ＝
|C |A 2＋B 2≤a ；反之不一定成立．故选B.
7．A [解析] 抛物线的准线为y ＝－4，双曲线的两条渐近线为y ＝±33
x ，这两条直线与y ＝－4的交点是A (－43，－4)，B (43，－4)，故围成三角形的面积为
S ＝12|AB |×4＝12
×83×4＝16 3.故选A. 8．D [解析] 依题意直线y ＝2x 与椭圆的一个交点坐标为(c,2c )，所以c 2a 2＋4c 2
b
2＝1，消去b 整理得a 2－2ac －c 2＝0，所以e 2＋2e －1＝0，解得e ＝－1±2.又e ∈(0,1)，所以e ＝2－1.故选D.
9．B [解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±b a x ，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得－p 2＝－2，即p ＝4.又∵p 2＋a ＝4，∴a ＝2，将(－2，－1)代入y ＝b a
x 得b ＝1， ∴c ＝a 2＋b 2＝4＋1＝5，∴2c ＝2 5.
10．(k 2p ＋p ，－kp ) [解析] 因为两直线互相垂直，所以直线l 2的斜率为－1k
，只需将弦PQ 中点坐标中的k 替换为－1k
，就可以得到弦MN 的中点坐标，于是得弦MN 的中点坐标为(k 2p ＋p ，－kp )． 11．0或－1或－45 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝(a ＋1)x －1，y 2＝ax 得(a ＋1)y 2－ay －a ＝0.当a ≠－1时，令Δ＝a 2＋4a (a
＋1)＝0，解得a ＝0或a ＝－45
；当a ＝－1时，方程仅有一个根y ＝－1，符合要求．所以a ＝0或－1或－45
. 12.x 24－y 23＝1 [解析] 椭圆方程为x 216＋y 29
＝1，则c 2＝a 2－b 2＝7，即c ＝7，又双曲线离心率为椭圆离心率的2倍，所以双曲线的离心率为e ＝
72
，又c ＝7，所以a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝7－4＝3，所以双曲线方程为x 24－y 2
3
＝1. 13．2 [解析] 抛物线的准线方程为x ＝－p 2
，过点M 的直线方程为y ＝3(x －1)，所以交点A ⎝⎛⎭⎫－p 2，－3⎝⎛⎭⎫1＋p 2.因为AM →＝MB →，所以点M 是线段AB 的中点，由中点公式得B ⎝⎛⎭⎫2＋p 2
，3⎝⎛⎭⎫1＋p 2.又点B 在抛物线上，于是3⎝⎛⎭⎫1＋p 22＝2p ×⎝⎛⎭
⎫2＋p 2，即p 2＋4p －12＝0，解得p ＝－6(舍去)或p ＝2. 14．[解答] (1)由已知，点P 到点F ⎝⎛⎭⎫0，14的距离等于到直线y ＝－14
的距离，根据抛物线的定义，可得动圆圆心P 的轨迹C 为抛物线，其方程为x 2＝y .
(2)证明：设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)． ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，
∴AN ，BN 的斜率分别为2x 1,2x 2，
故AN 的方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，
BN 的方程为y －x 22＝2x 2(x －x 2)，
即⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x 1x －x 21，y ＝2x 2x －x 22. 两式相减，得x N ＝x 1＋x 22
. 又x M ＝x 1＋x 22
， 所以M ，N 的横坐标相等，于是MN ⊥x 轴．
15．[解答] (1)由b ＝21＋1
得b ＝2， ∴又2a ＝4，a ＝2，a 2＝4，b 2＝2，
c 2＝a 2－b 2＝2，
∴两个焦点坐标为(2，0)，(－2，0)．
(2)由于过原点的直线l 与椭圆相交的两点M ，N 关于坐标原点对称，
不妨设：M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (x ，y )，
M ，N ，P 在椭圆上，则它们满足椭圆方程，故有x 20a 2＋y 20b 2＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，两式相减得：y 2－y 20x 2－x 20
＝－b 2a 2.
由题意它们的斜率存在，则k PM ＝y －y 0x －x 0，k PN ＝y ＋y 0x ＋x 0
， k PM ·k PN ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20
＝－b 2a 2， 则－b 2a 2＝－14
，由a ＝2得b ＝1， 故所求椭圆的方程为x 24
＋y 2＝1. 【难点突破】
16．[解答] 由e ＝22，得c a ＝22
，得a 2＝2c 2，b 2＝c 2. 设椭圆C 2方程为x 22b 2＋y 2
b
2＝1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由圆心为(2,1)，得x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.
又x 212b 2＋y 21b 2＝1，x 222b 2＋y 22b
2＝1， 两式相减，得x 21－x 222b 2＋y 21－y 22b
2＝0. 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)
＝－1， 所以直线AB 的方程为y －1＝－(x －2)，
即x ＋y －3＝0.
将上述方程代入x 22b 2＋y 2
b
2＝1， 得3x 2－12x ＋18－2b 2＝0，(*)
又直线AB 与椭圆C 2相交，所以Δ＝24b 2－72>0. 且x 1，x 2是方程(*)的两根，
所以x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝6－2b 2
3
. 由|AB |＝2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝2×
203， 得2×
8b 2－243＝2×203. 解得b 2＝8，故所求椭圆方程为x 216＋y 2
8
＝1.。