垂直平分线性质与判定应用
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（结合全等三角形来证明）
几何语言:如图，∵⊥AB，AC＝BC，点P在上，∴PA＝PB
例题讲解
如图，在△ 中，的垂直平分线分别交、于、两点，＝4，
△ 的周长是25，则△ 的周长为（ ）
. 13
. 15
. 17
. 19
解题方法
根据线段垂直平分线性质得出＝，＝＝4，求出＝8， +
上，作∠ = 90°，且 = ，过点作//，且 = ，
联结，CE．
（1）求证： ⊥ ；
（2）如果 = ，求证：点在线段的垂直平分线上
课堂小结
课堂大总结
垂直平分线性质：
垂直平分线判定：
帮助每一个孩子成就最好的自己！
∴∠ = ∠ = 70°，
∵是的垂直平分线，
∴ = ，
∴∠ = ∠ = 40°，
∴∠ = ∠ − ∠ = 30°
应用练习
如图，在△ 中，∠ = 90°，垂直平分，平分∠，
则∠ =
. 30°
. 35°
. 45°
. 60°
∠ = ∠
=
∴△ ≅△ ，
∴ = ，
∴点在线段的垂直平分线上．
应用练习
已知，如图， = ， = ， ⊥ 于点， ⊥ 于点，
（1）求证： = ．
（2）连接，求证：线段垂直平分线段．
应用练习
如图，已知在△ 中，∠ = 90°， = ，点在边
垂直平分线性质与判定
√
√
思维导图
课程目标
掌握并能运用垂直平分线性质求边长以及角度
掌握并能运用垂直平分线判定进行证明
能灵活应用判定和性质解决综合题
知识讲解
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
知识讲解
线段的垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
. 18
. 22
. 24
. 26
)
原题证明
如图，△ 中，垂直平分交于，∠ = 30°，∠ =
80°，则∠ =________度．
知识讲解
线段垂直平分线的判定:
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
几何语言:如图，已知线段，
如图，在△ 中， = ，∠ = 40°，的垂直平分线交
于点，交于点，连接，则∠的度数为________°．
解题方法
根据等腰三角形的性质求出∠ = ∠ = 70°，根据线段的垂直平
分线的性质得到 = ，计算即可
解：∵ = ，∠ = 40°，
应用练习
如图，在 △ 中，∠ = 90°，作 的垂直平分线，交 于 ，
交于，连接Байду номын сангаас已知∠ = 40°，则∠ = ________ 度.
课堂小结
原题证明
如图，△ 中，是的垂直平分线， = 4，△
的周长为14，则△ 的周长为(
∵＝，∴点在线段的垂直平分线上.
知识讲解
注意:结论中的是用于线段垂直平分线的判定，若直线上有两个“与一条
线段两个端点距离相等”的点，则可判定该直线为线段的垂直平分线.
例题讲解
如图，△ 中，平分∠，过作 ⊥ 于， ⊥ 交
于，且 = ．求证：点在线段的垂直平分线上．
解题方法
根据已知求出∠ = ∠ = 90°， = ，根据推出△
≅△ ，根据全等三角形的性质得出 = 即可．
证明：∵平分∠， ⊥ ， ⊥ ，
∴∠ = ∠ = 90°， = ，
在△ 和△ 中
=
应用练习
如图，在△ 中，是的垂直平分线， = 3，△ 的周
长为13，则△ 的周长是________．
应用练习
如图△ 中，的垂直平分线交于点，交于点，△ 的
周长为12， = 5，则△ 的周长是________.
例题讲解
＝17，求出△ 的周长为 + ，代入求出即可．
∵的垂直平分线分别交、于，两点，
∴＝，＝＝4，
即＝8，
∵△ 的周长为25，
∴ + + ＝25，
∴ + ＝25 − 8＝17，
∴△ 的周长为 + + ＝ + + ＝ + ＝17
几何语言:如图，∵⊥AB，AC＝BC，点P在上，∴PA＝PB
例题讲解
如图，在△ 中，的垂直平分线分别交、于、两点，＝4，
△ 的周长是25，则△ 的周长为（ ）
. 13
. 15
. 17
. 19
解题方法
根据线段垂直平分线性质得出＝，＝＝4，求出＝8， +
上，作∠ = 90°，且 = ，过点作//，且 = ，
联结，CE．
（1）求证： ⊥ ；
（2）如果 = ，求证：点在线段的垂直平分线上
课堂小结
课堂大总结
垂直平分线性质：
垂直平分线判定：
帮助每一个孩子成就最好的自己！
∴∠ = ∠ = 70°，
∵是的垂直平分线，
∴ = ，
∴∠ = ∠ = 40°，
∴∠ = ∠ − ∠ = 30°
应用练习
如图，在△ 中，∠ = 90°，垂直平分，平分∠，
则∠ =
. 30°
. 35°
. 45°
. 60°
∠ = ∠
=
∴△ ≅△ ，
∴ = ，
∴点在线段的垂直平分线上．
应用练习
已知，如图， = ， = ， ⊥ 于点， ⊥ 于点，
（1）求证： = ．
（2）连接，求证：线段垂直平分线段．
应用练习
如图，已知在△ 中，∠ = 90°， = ，点在边
垂直平分线性质与判定
√
√
思维导图
课程目标
掌握并能运用垂直平分线性质求边长以及角度
掌握并能运用垂直平分线判定进行证明
能灵活应用判定和性质解决综合题
知识讲解
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
知识讲解
线段的垂直平分线的性质:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
. 18
. 22
. 24
. 26
)
原题证明
如图，△ 中，垂直平分交于，∠ = 30°，∠ =
80°，则∠ =________度．
知识讲解
线段垂直平分线的判定:
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
几何语言:如图，已知线段，
如图，在△ 中， = ，∠ = 40°，的垂直平分线交
于点，交于点，连接，则∠的度数为________°．
解题方法
根据等腰三角形的性质求出∠ = ∠ = 70°，根据线段的垂直平
分线的性质得到 = ，计算即可
解：∵ = ，∠ = 40°，
应用练习
如图，在 △ 中，∠ = 90°，作 的垂直平分线，交 于 ，
交于，连接Байду номын сангаас已知∠ = 40°，则∠ = ________ 度.
课堂小结
原题证明
如图，△ 中，是的垂直平分线， = 4，△
的周长为14，则△ 的周长为(
∵＝，∴点在线段的垂直平分线上.
知识讲解
注意:结论中的是用于线段垂直平分线的判定，若直线上有两个“与一条
线段两个端点距离相等”的点，则可判定该直线为线段的垂直平分线.
例题讲解
如图，△ 中，平分∠，过作 ⊥ 于， ⊥ 交
于，且 = ．求证：点在线段的垂直平分线上．
解题方法
根据已知求出∠ = ∠ = 90°， = ，根据推出△
≅△ ，根据全等三角形的性质得出 = 即可．
证明：∵平分∠， ⊥ ， ⊥ ，
∴∠ = ∠ = 90°， = ，
在△ 和△ 中
=
应用练习
如图，在△ 中，是的垂直平分线， = 3，△ 的周
长为13，则△ 的周长是________．
应用练习
如图△ 中，的垂直平分线交于点，交于点，△ 的
周长为12， = 5，则△ 的周长是________.
例题讲解
＝17，求出△ 的周长为 + ，代入求出即可．
∵的垂直平分线分别交、于，两点，
∴＝，＝＝4，
即＝8，
∵△ 的周长为25，
∴ + + ＝25，
∴ + ＝25 − 8＝17，
∴△ 的周长为 + + ＝ + + ＝ + ＝17