212空间中直线与直线之间的位置关系共31张PPT
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栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
跟踪训练
3．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB， E、F分别是BD1和AD中点，则异面直线CD1，EF所成的 角的大小为________．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
解析：取 CD1 的中点 G，连接 EG，DG， ∵E 是 BD1 的中点，∴EG∥BC，EG＝12BC.
栏目 导引
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
做一做 3.若正方体ABCD－A1B1C1D1中∠BAE＝25°， 则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________．
答案：65°
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
典题例证技法归纳
【题型探究】 题型一 直线位置关系的判定
例1 a，b，c是空间中的三条直线，下面给出的几 种说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ④若a，b与c成等角，则a∥b. 其中正确的是________(只填序号)
E，F
分别是另外两条对边
AD，BC
上的点，且AE＝BF ED FC
＝12，EF＝ 5，求 AB 和 CD 所成的角的大小．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
解：如图，过 E 作 EO∥AB，交 BD 于点 O，连接 OF， ∴AEED＝BOOD.又∵AEED＝BFFC，∴BOOD＝BFFC， ∴OF∥CD，∴∠EOF(或其补角)是 AB 和 CD 所成的角． 在△EOF 中，OE＝23AB＝2，OF＝13CD＝1. 又 EF＝ 5，∴EF2＝OE2＋OF2，∴∠EOF＝90°， 即异面直线 AB 和 CD 所成的角为 90°.
互动探究
2．在本例中，若N1是D1C1的中点，求证：四边形 M1N1CA是梯形． 证明：如图所示，连接 A1C1，∵M1、N1 分别是 A1D1、D1C1 的中点，∴M1N1∥A1C1，且 M1N1＝12A1C1. 由正方体的性质可知：A1C1∥AC，且 A1C1＝AC， ∴M1N1∥AC，且 M1N1＝12AC， ∴四边形 M1N1CA 是梯形．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
信息提炼 层层剖析 根据三角形中位线推出平行关系，确定两组异面直线 所成的角． 由PM＝PN，首先确定△PMN为等腰三角形，以下要 分类讨论． AB与MN所成的角有两个值，勿漏值．
关系
跟踪训练
4．如图，空间四边形 ABCD 中，两条对边 AB＝CD＝3，
答案：90°
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
【方法感悟】
1．求证角相等也有两种方法，一是应用等角定理，在 证明的过程中常用到公理4注意两角对应边方向的讨 论；二是应用三角形全等或相似． 2．求两异面直线所成的角的一般步骤： ①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成 的角； ②证：证明作出的角就是要求的角； ③计算：求角的值，常利用解三角形，可用“一作二证 三计算”来概括．如例3.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
4．异面直线所成的角(或夹角) 已知a，b是两条异面直线，过空间任意一点O作直线 __a_′__∥__a__，___b_′__∥__b__，我们把a′与b′所成的 _锐__角__(_或__直__角__)_叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．角 度范围为(0°，90°]．如果异面直线所成的角是90°， 称异面直线垂直．
这个性质也叫做空间平行线的__传__递__性_______．
(2)符号语言：设 a、b、c 为直线，则
a∥b⇒ c∥ b
__a_∥__c__.
想一想空间中垂直于同一直线的两直线平行吗？ 提示：不一定，可能平行，也可能相交或异面．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
3．等角定理 (1)文字语言：空间中如果两个角的两边分别对应 __平__行___，那么这两个角相等或___互__补___． (2)符号语言：已知在∠AOB和∠A′O′B′中， AO∥A′O′，BO∥B′O′，则∠AOB＝ ∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°.如图 (1)、(2)所示．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
(2)连接AB1，B1D1， ∵AB1∥DC1， ∴AB1与AD1所成的夹角即为DC1与AD1所成的夹角． 又AD1＝AB1＝B1D1， ∴△AB1D1为正三角形． ∴AD1与AB1所成的夹角为60°. ∴AD1与DC1所成的夹角为60°. 【名师点评】 利用“平移角”的方法作角时，往往过 其中一条直线的端点或中点，结合平行四边形或者三角 形中位线作平行线．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
【名师点评】 空间中，如果两个角的两边分别对应平 行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都 相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补，因 此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对 应平行是不够的．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
跟踪训练
1．(2013·淮北高一检测)如图，AA1是长方体的一条 棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是( ) A．6 B．4 C．5 D．8 解析：选B.与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1 共4条．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1 都是锐角． ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1＝BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM. 又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1. ∴∠BMC＝∠B1M1C1.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
∵F 是 AD 的中点，且 AD∥BC，AD＝BC， ∴ DF∥ BC， DF＝12BC， ∴ EG∥ DF， EG＝ DF， ∴四边形 EFDG 是平行四边形，∴EF∥DG， ∴∠DGD1(或其补角)是异面直线 CD1 与 EF 所成的角． 又∵A1A＝AB，∴四边形 ABB1A1，四边形 CDD1C1 都是正 方形，且 G 为 CD1 的中点， ∴ DG⊥ CD1，∴∠ D1GD＝ 90°， ∴异面直线 CD1，EF 所成的角为 90°.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
精彩推荐典例展示
名师解题
求异面直线所成的角
例4 已知三棱锥A-BCD中，AB＝CD，且直线AB与 CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线 AB和MN所成的角．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
【解】 取 AC 的中点 P，连接 MP、NP.M、N 分别是 BC，AD 的中点， 所以 PM∥AB，且 PM＝12AB； PN∥CD，且 PN＝1CD，
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
做一做 2.已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，
AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝( )
A．30°
B．150°
C．30°或150° D．大小无法确定
解析：选C.当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时，
∠B′A′C′＝30°，方向相反时，∠B′A′C′＝150°.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
3.有以下方法可以判断两条直线是异面直线： ①定义法(直观判断法)：由定义判断两条直线不可能 在同一个平面内．或者用下面的结论：过平面外一点 与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是 异面直线． ②排除法：排除两直线共面(平行或相交)，则两直线 是异面直线．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
【解析】 ①正确，是公理4；②错，a与c平行、相交、 异面都有可能；③错；a与c相交，异面、平行都有可 能；④错，a与b三种位置关系都有可能． 【答案】 ① 【名师点评】 判定两条直线的位置关系时，若要判定 直线平行或相交可用平面几何中的定义处理．判定异面 直线的方法往往用定义和反证法．借助几何模型判定两 直线的位置关系，也是常用的一种方法，更直观．
题型二 公理4与等角定理的应用
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1 分别是棱AD和A1D1的中点． (1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1. 【证明】 (1)在正方形ADD1A1中，M、M1分别为 AD、A1D1的中点， ∴MM1綊AA1.又∵AA1綊BB1， ∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1， ∴四边形BB1M1M为平行四边形．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
题型三 异面直线所成的角
例3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求： (1)异面直线AB与A1D1所成的夹角； (2)AD1与DC1所成的夹角． 【解】 (1)∵A1B1∥AB，而A1D1⊥A1B1， ∴A1D1⊥AB， ∴AB与A1D1所成的夹角为90°.
学习目标
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
学习导航
重点难点 重点：判断空间两直线的位置关系，求异面直线所成的角． 难点：异面直线的判定及异面直线所成的角的求解．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
新知初探思维启动
1．空间中两条直线的位置关系
位置关系 相交直线
共面情况
在同一平 面内
公共点个数 —有——且一——只个——有—
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
知能演练轻松闯关
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
本部分内容讲解结束
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平行直线
在同一平 面内
不同在任 异面直线 何一个平
面内
_无___ _无___
图示
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
做一做 1.平面内一点与平面外一点连线和这个平面内 直线的关系是________． 答案：相交或异面
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．公理 4
(1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线互相__平__行___，
2 所以∠MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角． 所以∠PMN(或其补角)为 AB 与 MN 所成的角．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
因为直线 AB 与 CD 成 60°角， 所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°. 又因为 AB＝CD，所以 PM＝PN， (1)若∠MPN＝60°，则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN＝60°，即 AB 与 MN 所成的角为 60°. (2)若∠MPN＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°，即 AB 与 MN 所成的角为 30°. 综上知：AB 与 MN 所成的角为 60°或 30°.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
跟踪训练
3．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB， E、F分别是BD1和AD中点，则异面直线CD1，EF所成的 角的大小为________．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
解析：取 CD1 的中点 G，连接 EG，DG， ∵E 是 BD1 的中点，∴EG∥BC，EG＝12BC.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
做一做 3.若正方体ABCD－A1B1C1D1中∠BAE＝25°， 则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________．
答案：65°
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
典题例证技法归纳
【题型探究】 题型一 直线位置关系的判定
例1 a，b，c是空间中的三条直线，下面给出的几 种说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ④若a，b与c成等角，则a∥b. 其中正确的是________(只填序号)
E，F
分别是另外两条对边
AD，BC
上的点，且AE＝BF ED FC
＝12，EF＝ 5，求 AB 和 CD 所成的角的大小．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
解：如图，过 E 作 EO∥AB，交 BD 于点 O，连接 OF， ∴AEED＝BOOD.又∵AEED＝BFFC，∴BOOD＝BFFC， ∴OF∥CD，∴∠EOF(或其补角)是 AB 和 CD 所成的角． 在△EOF 中，OE＝23AB＝2，OF＝13CD＝1. 又 EF＝ 5，∴EF2＝OE2＋OF2，∴∠EOF＝90°， 即异面直线 AB 和 CD 所成的角为 90°.
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2．在本例中，若N1是D1C1的中点，求证：四边形 M1N1CA是梯形． 证明：如图所示，连接 A1C1，∵M1、N1 分别是 A1D1、D1C1 的中点，∴M1N1∥A1C1，且 M1N1＝12A1C1. 由正方体的性质可知：A1C1∥AC，且 A1C1＝AC， ∴M1N1∥AC，且 M1N1＝12AC， ∴四边形 M1N1CA 是梯形．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
信息提炼 层层剖析 根据三角形中位线推出平行关系，确定两组异面直线 所成的角． 由PM＝PN，首先确定△PMN为等腰三角形，以下要 分类讨论． AB与MN所成的角有两个值，勿漏值．
关系
跟踪训练
4．如图，空间四边形 ABCD 中，两条对边 AB＝CD＝3，
答案：90°
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【方法感悟】
1．求证角相等也有两种方法，一是应用等角定理，在 证明的过程中常用到公理4注意两角对应边方向的讨 论；二是应用三角形全等或相似． 2．求两异面直线所成的角的一般步骤： ①作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成 的角； ②证：证明作出的角就是要求的角； ③计算：求角的值，常利用解三角形，可用“一作二证 三计算”来概括．如例3.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
4．异面直线所成的角(或夹角) 已知a，b是两条异面直线，过空间任意一点O作直线 __a_′__∥__a__，___b_′__∥__b__，我们把a′与b′所成的 _锐__角__(_或__直__角__)_叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．角 度范围为(0°，90°]．如果异面直线所成的角是90°， 称异面直线垂直．
这个性质也叫做空间平行线的__传__递__性_______．
(2)符号语言：设 a、b、c 为直线，则
a∥b⇒ c∥ b
__a_∥__c__.
想一想空间中垂直于同一直线的两直线平行吗？ 提示：不一定，可能平行，也可能相交或异面．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
3．等角定理 (1)文字语言：空间中如果两个角的两边分别对应 __平__行___，那么这两个角相等或___互__补___． (2)符号语言：已知在∠AOB和∠A′O′B′中， AO∥A′O′，BO∥B′O′，则∠AOB＝ ∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°.如图 (1)、(2)所示．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
(2)连接AB1，B1D1， ∵AB1∥DC1， ∴AB1与AD1所成的夹角即为DC1与AD1所成的夹角． 又AD1＝AB1＝B1D1， ∴△AB1D1为正三角形． ∴AD1与AB1所成的夹角为60°. ∴AD1与DC1所成的夹角为60°. 【名师点评】 利用“平移角”的方法作角时，往往过 其中一条直线的端点或中点，结合平行四边形或者三角 形中位线作平行线．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
【名师点评】 空间中，如果两个角的两边分别对应平 行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都 相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补，因 此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对 应平行是不够的．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
跟踪训练
1．(2013·淮北高一检测)如图，AA1是长方体的一条 棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是( ) A．6 B．4 C．5 D．8 解析：选B.与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1 共4条．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形， ∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1 都是锐角． ∴∠BMC＝∠B1M1C1. 法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， ∴B1M1＝BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM. 又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1. ∴∠BMC＝∠B1M1C1.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
∵F 是 AD 的中点，且 AD∥BC，AD＝BC， ∴ DF∥ BC， DF＝12BC， ∴ EG∥ DF， EG＝ DF， ∴四边形 EFDG 是平行四边形，∴EF∥DG， ∴∠DGD1(或其补角)是异面直线 CD1 与 EF 所成的角． 又∵A1A＝AB，∴四边形 ABB1A1，四边形 CDD1C1 都是正 方形，且 G 为 CD1 的中点， ∴ DG⊥ CD1，∴∠ D1GD＝ 90°， ∴异面直线 CD1，EF 所成的角为 90°.
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求异面直线所成的角
例4 已知三棱锥A-BCD中，AB＝CD，且直线AB与 CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线 AB和MN所成的角．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
【解】 取 AC 的中点 P，连接 MP、NP.M、N 分别是 BC，AD 的中点， 所以 PM∥AB，且 PM＝12AB； PN∥CD，且 PN＝1CD，
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
做一做 2.已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，
AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝( )
A．30°
B．150°
C．30°或150° D．大小无法确定
解析：选C.当∠B′A′C′与∠BAC开口方向相同时，
∠B′A′C′＝30°，方向相反时，∠B′A′C′＝150°.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
3.有以下方法可以判断两条直线是异面直线： ①定义法(直观判断法)：由定义判断两条直线不可能 在同一个平面内．或者用下面的结论：过平面外一点 与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是 异面直线． ②排除法：排除两直线共面(平行或相交)，则两直线 是异面直线．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
【解析】 ①正确，是公理4；②错，a与c平行、相交、 异面都有可能；③错；a与c相交，异面、平行都有可 能；④错，a与b三种位置关系都有可能． 【答案】 ① 【名师点评】 判定两条直线的位置关系时，若要判定 直线平行或相交可用平面几何中的定义处理．判定异面 直线的方法往往用定义和反证法．借助几何模型判定两 直线的位置关系，也是常用的一种方法，更直观．
题型二 公理4与等角定理的应用
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1 分别是棱AD和A1D1的中点． (1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形； (2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1. 【证明】 (1)在正方形ADD1A1中，M、M1分别为 AD、A1D1的中点， ∴MM1綊AA1.又∵AA1綊BB1， ∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1， ∴四边形BB1M1M为平行四边形．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
题型三 异面直线所成的角
例3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求： (1)异面直线AB与A1D1所成的夹角； (2)AD1与DC1所成的夹角． 【解】 (1)∵A1B1∥AB，而A1D1⊥A1B1， ∴A1D1⊥AB， ∴AB与A1D1所成的夹角为90°.
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重点难点 重点：判断空间两直线的位置关系，求异面直线所成的角． 难点：异面直线的判定及异面直线所成的角的求解．
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1．空间中两条直线的位置关系
位置关系 相交直线
共面情况
在同一平 面内
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平行直线
在同一平 面内
不同在任 异面直线 何一个平
面内
_无___ _无___
图示
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做一做 1.平面内一点与平面外一点连线和这个平面内 直线的关系是________． 答案：相交或异面
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．公理 4
(1)文字语言：平行于同一条直线的两条直线互相__平__行___，
2 所以∠MPN(或其补角)为 AB 与 CD 所成的角． 所以∠PMN(或其补角)为 AB 与 MN 所成的角．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
因为直线 AB 与 CD 成 60°角， 所以∠MPN＝60°或∠MPN＝120°. 又因为 AB＝CD，所以 PM＝PN， (1)若∠MPN＝60°，则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN＝60°，即 AB 与 MN 所成的角为 60°. (2)若∠MPN＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°，即 AB 与 MN 所成的角为 30°. 综上知：AB 与 MN 所成的角为 60°或 30°.