直线和圆的类型题总结高一期末复习)
高中数学直线和圆知识点复习总结
高中数学直线和圆知识点复习总结
1.直线方程⑴点斜式；⑵斜截式；⑶截距式；⑷两点式；⑸一般式(A，B不全为0)。
(直线的方向向量，法向量）
2.求解线性规划问题的步骤是：(1)列约束条件；(2)作可行域，写目标函数；(3)确定目标函数的最优解。
3.两条直线的位置关系：
4.直线系。
5.几个公式⑴设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，⊿ABC的重心G是：()；⑵点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离：；⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是；
6.圆的方程：⑴标准方程：①；②。
⑵一般方程：(注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C0且B=0且D2+E2-4AF
7.圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。
8.圆系：⑴；注：当时表示两圆交线。
⑵。
9.点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法)⑴点与圆的位置关系：(表示点到圆心的距离)①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：(表示圆心到直线的距离)①相切；②相交；③相离。
⑶圆与圆的位置关系：(表示圆心距，表示两圆半径，且)①相离；②外切；③相交；④内切；⑤内含。
2019-2020高一期末下学期直线与圆综合专题复习
直线与圆综合专题复习一．点圆，线圆，圆圆位置关系1.过点(2,0)有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切，m 的取值范围2.直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是3.已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足P A 2－PB 2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为________4.已知点A(2，3)，B(6，－3)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP →·BP →＋2λ＝0的点P 有两个，则λ的范围是5.若直线l ：x ＋y ＝m 与曲线C ：y ＝1－x 2有且只有两个公共点，则m 的取值范围是6.圆x 2－4x ＋y 2＝0与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0的公切线共有 条7.A 为(0，2)，圆C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1上存在点M 满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是8.已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则|PB ||P A |的最大值是9.直线120l mx y ++=：与直线220l x my --=：的交点在圆22:()[(21)]2C x t y t -+--=上，则实数t 的取值范围是10.设集合A ＝{(x ，y )|m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R}，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R}，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是___________．二．相切问题1.圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为2.过点P (1，0)作圆C ： (x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A 、B ，则切线方程为 ；直线AB 的方程为 切线长P A 为 ；APB S ∆= ，AB= ，APB ∠cos = ，AP →·BP →= 3. 过直线x 4＋y2＝1上一动点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则四边形PAOB 面积的最小值为 ，弦AB 中点M ),(y x 的轨迹方程为 ， 直线AB 经过定点 ，PAB ∆外接圆经过定点 4.已知半径为r 的圆C 的圆心坐标是(0，m )，直线2x －y ＋3＝0与圆相切于点A (－2，－1)，则m ＝ ，r ＝ .5.经过点A (4，－1)，且与圆：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0相切于点B (1，2)的圆的方程为6.圆()()221:29C x m y -++=与圆()()222:14C x y m ++-=相切，则m 的值为______三．相交问题1.过点P(2,3)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0交于A ，B 两点， （1）若弦长AB 为4，则直线l 的方程为（2）若53cos -=∠ACB ，则直线l 的方程为 （3）若3-=⋅，则直线l 的方程为（4）若ABC ∆面积达到最大值时，直线l 的方程为 （5）使得弦长AB 为整数的直线l 的条数为（6）若过点P 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （7）弦AB 中点M ),(y x 的轨迹方程为 （8）若3=，则直线l 的方程为2.（1）圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在直线方程为（2）若圆224x y +=与圆()222600x y ay a ++-=>的公共弦长为a =______（3）两圆交于两点（1,3）和（m ，-1），两圆圆心在直线x -y+c=0上，则m+c= （4）圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2,1)．若圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程为四．综合应用问题1.已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点． (1)若AB=34，求直线l 方程； (2)求D 的轨迹方程；(3)当OP ＝OD 时，求l 的方程及△POD 的面积;(4)在y 轴上是否存在不同的两点M 、N ，使得圆C 上任意一点Q （x ，y ），满足3222=+QN QM ,若存在，求出M,N 的坐标.2.已知直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为2，圆心在l 上．(1) 若圆心C 也在直线y ＝-x －4上,过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围；(3) 过点M (0,-3)的直线与圆C 交于A ，B 两点，问在y 轴上是否存在定点N ，使得y 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3.已知圆22:4O x y +=，点P 坐标为(1,0)．（1）如图1，斜率存在且过点P 的直线l 与圆交于,A B 两点．①若3OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，求直线l 的斜率；②若2AP PB =u u u r u u u r，求直线l 的斜率．（2）如图2，,M N 为圆O 上两个动点，且满足0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，Q为MN 中点，求OQ 的最小值．（3）过点C （-2,0）作两直线CE 、CF 分别交圆O 于E,F ，且两直线的斜率之积为-2，求证直线EF 过定点.四．巩固训练1.过点()3,1M 的圆22(1)(2)4C x y ：－＋－＝的切线方程为2.过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为3.已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= 4.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为5.已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的长的取值范围是________6.已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________7.已知直线l ：kx －y －k ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2－2y －7＝0相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为8.过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于__________9.已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________10.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则a 的取值范围为11.点(10)(40)A B ，，，．若直线0x y m -+=上存在点P 使得 12PA PB =，则实数m 的取值范围是12.过圆x 2＋y 2＝4内一点P (1,1)作两条相互垂直的弦AC ，BD ，当AC ＝BD 时，四边形ABCD 的面积为________13.已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝ .14.已知点P (3,0)在圆C ：x 2＋y 2－2mx －4y ＋m 2－28＝0内，过点P 的直线交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为________15.已知ABC ∆的顶点分别为(1,3),(2,0),(2,0)A B C -，圆1C 为ABC ∆的外接圆． *（1）求圆1C 的方程；**（2）设圆222:()[(5)]1C x m y m -+--=上存在点P ，满足过点P 向圆1C 作两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，四边形1PAC B 的面积为10，求实数m 的取值范围．16. 已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2，0)的动直线 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P ． *(1)求圆A 的方程；*(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；** (3)BQ →·BP →是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．17.已知圆2C 过点1(,3)2M ，且与圆2219:()102C x y -+=外切于点3(,1)2N*（1）求圆2C 的方程；*（2）直线l 过点P ），（1-23，且被圆1C 截得的弦长为2，求直线l 的方程 **（3）设斜率为2的直线l 分别交x 轴负半轴和y 轴正半轴于A ，B 两点，交圆2C 在第二象限的部分于E ，F 两点，且AE FB =． ①求直线l 的方程；②点P 是圆1C 上的动点，求PEF ∆的面积的最大值．18.过点(0,1)P 且互相垂直的两条直线分别与圆22:4O x y +=交于点,A B ，与圆22:(2)(1)1M x y -+-=交于点,C D ．（1）若AB ，求CD 的长；（2）若CD 中点为E ，求ABE ∆面积的取值范围．。
高中数学直线和圆知识点复习总结
高中数学直线和圆知识点复习总结
高中数学中的直线和圆的总结有很多知识点，本文就针对这些知识点进行一个总结，同学们可以查阅，以便加深对直线和圆的理解。
首先，在直线方面需要知道的是什么？
一、直线的定义
直线是平面上双等距平行的两条线，可以用一元二次方程来表示。
二、直线的性质
1、平等的距离及同一平面的
直线的夹角相等，距离也相等，两直线交于一点，其中一条直线经过这一点，另一条不经过，而在同一平面上的两直线是相互垂直的。
2、直线的交点
当两条直线在有限空间内相交时，这种相交是称之为直线的交点。
三、直线的位置关系
1、平行
当两条直线从同一个方向平行可以认为这两条直线平行。
接下来，要总结一下圆知识点了。
圆是位于平面中心点到圆上任一点的距离相等的一种曲线，而圆的半径则是指这种距离。
1、圆心在圆的任一点的距离是一致的
2、圆的封闭图形
圆是一种封闭的曲线，无论是确定它的定义还是它的性质，都建立在它是一种封闭图形的基础之上。
1、圆内和内接四边形外接圆
内接四边形外接圆是指圆心和任意两个顶点形成的距离都相等的圆，这圆就是内接四边形外接圆。
当一条直线与圆的关系有六种：即相切、相交、内切、外切、内含和外公切线，因此理解这一关系也是重要的。
以上就是高中数学直线和圆知识点复习总结，希望可以帮助读者们更加深入理解这些概念，提升高中数学学习的能力，顺利通过高考。
高考数学直线与圆归纳总结
高考数学直线与圆归纳总结直线与圆是高中数学中重要的几何概念。
在高考数学中，直线与圆的相关知识点常常出现，并且在解决几何问题时扮演着重要的角色。
下面将对高考数学中涉及直线与圆的知识进行归纳总结。
一、直线与圆的位置关系1. 直线和圆可能有三种位置关系：相离、相切和相交。
a. 如果直线和圆没有交点，则称直线和圆相离。
b. 如果直线与圆有且仅有一个交点，则称直线与圆相切。
c. 如果直线与圆有两个交点，则称直线与圆相交。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：a. 判断直线与圆相离：计算直线到圆心的距离是否大于圆的半径。
b. 判断直线与圆相切：计算直线到圆心的距离等于圆的半径。
c. 判断直线与圆相交：计算直线到圆心的距离小于圆的半径。
二、直线与圆的方程1. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0。
直线的一般方程表示直线上的所有点 (x, y)，满足方程左侧等式。
2. 圆的标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。
圆的标准方程表示平面上距离圆心 (a, b) 距离为半径 r 的点 (x, y)。
3. 直线与圆的方程应用：a. 直线与圆的相交问题可以通过联立直线和圆的方程求解。
b. 直线与圆的相切问题可以通过判断直线方程是否与圆方程有且仅有一个交点来确定。
三、直线与圆的性质1. 切线与半径的关系：切线与半径的夹角是直角，即切线垂直于半径。
2. 切线的性质：a. 切点：切线与圆的交点称为切点。
b. 切线长度：切点到圆心的距离等于半径的长度。
c. 外切线：若直线与圆内切于一点，则这条直线称为外切线。
d. 内切线：若直线切圆于两个相交点，则这条直线称为内切线。
3. 弦的性质：弦是圆上的两个点之间的线段。
弦的性质有：a. 弦长：弦长等于圆心到弦的距离的两倍。
b. 直径：直径是通过圆心的弦。
直径等于半径的两倍。
四、圆的位置关系1. 同心圆：具有共同圆心的多个圆称为同心圆。
2. 内切圆与外接圆：如果一个圆与另一个圆有且仅有一个切点，则这两个圆称为内切圆与外接圆。
高中直线与圆题型归纳总结
高中直线与圆题型归纳总结直线与圆是高中数学中的重要知识点，涉及到的题型较为广泛。
在这篇文章中，我将对高中直线与圆题型进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握和应用这些知识。
一、直线与圆的基本性质在解题过程中，掌握直线与圆的基本性质是非常重要的。
下面列举了一些常见的性质：1. 直线与圆的位置关系：a. 若直线与圆有两个交点，则该直线称为切线；b. 若直线与圆相交于两个不重合的交点，则该直线称为割线；c. 若直线与圆不相交，则该直线称为外切线或外割线；d. 若直线完全在圆内，则该直线称为内切线或内割线。
2. 判定直线与圆的位置关系的方法：可以通过直线的方程与圆的方程进行联立，进而判断位置关系。
二、直线与圆的相交性质1. 两条直线与圆的相交性质：a. 相交弧的性质：两条直线与圆相交，相交的弧度数相等；b. 垂直切线的性质：切线与半径垂直；c. 切线长度的性质：切线长的平方等于切点到圆心的距离与圆半径的乘积。
2. 直线与圆的切线性质：a. 切线定理：切线与半径垂直；b. 外切角性质：切线与半径的夹角等于其对应的弧所对圆心角的一半。
三、直线与圆的方程1. 圆的一般方程：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆半径。
2. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且不全为零。
3. 判定直线与圆的位置关系的方法：将直线方程代入圆的方程，求解该二次方程的判别式，进而判断位置关系。
四、直线与圆的应用题1. 判断两个圆的位置关系：比较两个圆的圆心距离与两个圆半径之和的大小来判断位置关系。
2. 直线与圆的垂直与切线问题：通过证明直线与半径的斜率乘积为-1，判定直线与圆的垂直关系；通过判定直线与圆的切点的情况，判定直线与圆的切线关系。
3. 直线与圆的联立方程求解问题：列出直线方程与圆方程，通过解联立方程，求解直线与圆的交点坐标。
4. 直线与圆的面积问题：求直线与圆所形成的图形的面积，可以通过计算扇形面积与三角形面积之和来完成。
高中数学直线和圆知识点复习总结(word文档物超所值)
（3）两点式： y y1 x x1 y2 y1 x 2 x1
（4）截距式： x y 1 ab
（5）一般式： Ax By C 0
3．距离公式
（1）点 P1(x1, y1) ， P2 (x2 , y2 ) 之间的距离： P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
（2）点
P(x0 ,
rd
d=r
rd
四、圆与圆的位置关系
外离（图 1） 无交点 d R r ；外切（图 2） 有一个交点 d R r ； 相交（图 3） 有两个交点 R r d R r ；内切（图 4） 有一个交点 d R r ； 内含（图 5） 无交点 d R r ；
d
R
r
周1
平行： k1 k2 b1 b2
垂直： k1 k2 1
（2）一般式： Ax By C 0 形式
重合： A1B2 A2B1 且 A1C2 A2C1 且 B1C2 C1B2 平行： A1B2 A2B1 且 A1C2 A2C1 且 B1C2 C1B2
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高中数学直线和圆知识点复习总结
即：∵ PA 、 PB 是的两条切线 B
∴ PA PB PO 平分 BPA
十一、圆幂定理
O P
A
D
B
O
P
C
A
C
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙ O 中，∵弦 AB 、 CD 相交于点 P ， ∴ PA PB PC PD
B
OE A
D
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙ O 中，∵直径 AB CD ，∴ CE2 AE BE
2024高考数学常考题型 第18讲 直线与圆常考6种题型总结(解析板)
第18讲直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标()C a b ，，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=考点三：圆的一般方程圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标：()22D E --，，半径：r =注意：①对于F E D 、、的取值要求：2240D E F +->当2240D E F +-=时，方程只有实数解22D E x y =-=-，．它表示一个点()22D E--，当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的充要条件是22040A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩考点四：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y -⋅-+--=考点五：阿波罗尼斯圆设A B ，为平面上相异两定点，且||2(0)AB a a =>，P 为平面上异于A B ，一动点且||||PA PB λ=（0λ>且1λ≠）则P 点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交r d <0>∆两个②直线与圆相切r d =0=∆一个③直线与圆相离r d >0<∆0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程2Ax Bx C ++=考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则弦长222d r AB -=法二：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O 所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=【例2】已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．92C ．4D ．8故选：B【例3】过点(1,1),(3,5)A B -，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程为_______．【例4】设甲：实数3a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：≈3.162）A ．6.48B ．5.48C ．4.48D ．3.48【答案】A【解析】以O 为原点,以AB 所在直线为x 轴,以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a ），则P (0,10),A (-50,0).可设圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=,由题意可得：()()222221050a r a r ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2120,16900a r =-=.所以所求圆的方程为()2212016900x y ++=.将x =-30代入圆方程,得:()290012016900y ++=,因为y >0,所以12040 3.162120 6.48y =≈⨯-=.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则PAB △面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【答案】C【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10B ,．设(),P x y，∵PA PB==两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2238x y -+=．要使PAB △的面积最大，只需点P到AB （x 轴）的距离最大时，此时面积为122⨯⨯故选：C.【题型专练】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．2.经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】22420x y x y +--=或22460x y x y +--=或22814033x y x y +--=或2216162055x y x y +---=（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，则0164020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得420D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22420x y x y +--=；若圆过(0,0)，(4,0)，(1,1)-三点，则0164020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解得460D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22460x y x y +--=；若圆过(0,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则02020420F D E F D E F =⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得831430D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故圆的方程为22814033x y x y +--=；若圆过(4,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则16402020420D F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得1652165D E F ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，故圆的方程为2216162055x y x y +---=.4.已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-5.若两定点()1,0A ，()4,0B ，动点M 满足2MA MB =，则动点M 的轨迹围成区域的面积为（）．A ．2πB ．5πC ．3πD ．4π6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PA PB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PD PE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.MA MO，则在O，A，M三点所能构成7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足2=的三角形中面积的最大值是（）A．1B．2C．3D．4易知90MBO ∠=︒时，MOA S △取得最大值3．故选：C ．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线:10l kx y k -+-=与圆223x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()43-=-x k y ，即043=-+-k y kx ，圆心为()3,2，半径为1，所以圆心到直线得距离1211433222+≤-⇒≤+-+-=k k k kk d ，解得3333≤≤-k【例3】直线:20l kx y --=与曲线1C x -只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬D ．(-由图知，当24k <≤或故选：C【例4】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【题型专练】1.直线():120l kx y k k R -++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【解析】将直线l 变形为()012=+-+y x k ，令⎩⎨⎧=+-=+0102y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ，所以直线过定点()1,2-P ，因为()51222=+-，所以点P 在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于x 的方程2(3)1k x ++有两个不同的实数根，则实数k 的范围______.当直线与半圆相切时，圆心O 到直线1l 的距离d 解得：13265k -=（舍），或13265k +=当直线过点(2,0)-时，可求得直线2l 的斜率2k =则利用图像得：实数k 的范围为3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭故答案为：3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭3.（2022全国新高考2卷）设点A (－2，3)，B (0(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围为_______．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C ：()()22210x y a a +-=>与直线l ：x -y -1=0相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为2，则圆C 的面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】如图，由圆C 方程可知圆心()0,1C ，半径为a ，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l 的距离d =又△ABC 的面积为11222S AB d =⋅==，解得AB =2222a ⎛+= ⎝⎭，则a =2，即圆C 的半径为2.则圆C 的面积为24S a ππ==.故选：C.【例2】已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为13的等差数列，则n 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值此时，直线DE 的解析式为：3y x =-+直线BC 的解析式为：=+1y x 圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,由勾股定理得，()22=322=1AB -x y+=交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于【例3】已知直线:10l mx y+--=与圆2216,C D两点，则当AB最小时，CD=（）A．4B．C．8D．故选：D【例4】（多选题）若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（）A ．3x =B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【题型专练】1.直线:l y x m =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，若AB ≥m 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线l 的距离为d ，而圆半径为2r =，弦AB 长满足AB ≥，则有1d =，又d =1≤，解得m ≤≤所以实数m 的取值范围为⎡⎣.故选：B2.在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=化简为22(2)(1)5x y -++=可得圆心为(2,1),r -=易知过点()1,0E 的最长弦为直径，即||AC =而最短弦为过()1,0E 与AC 垂直的弦，圆心(2,1)-到()1,0E 的距离：d ==所以弦||BD ==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：D.3.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于B A ,两点，且60AOB ∠= (其中O 为原点)，则k 的值为（）A ．3-或3B ．3C ．D 4.直线l ：()()2110m x m y -+-+=与圆C ：2260x x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值是（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】分别取1,2m m ==，则1010x y -+=⎧⎨-+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,1)P ，将圆C 化为标准方程：22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)，半径3r =.如图，因为AB =，所以当圆心到直线距离最大时AB 最小.当CP 不垂直直线l 时，总有d CP <，故当CP l ⊥时AB 最小，因为CP =所以AB的最小值为4=.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【例2】已知圆C ：228240x y y +--+=，且圆外有一点()0,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为A ，B ，则AB =______.【例3】点P 在圆C ：()()22334x y -+-=上，()2,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最大时，PB =___________.【答案】3【分析】根据题意PBA ∠最大时，直线【详解】点P 在圆C ：()23x -+如图将BA 绕点B 沿逆时针方向旋转，当刚好与圆当旋转到与圆相切于点2P 时，∠【例4】过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【题型专练】1.过点(0,2)作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（）A ．3480x y -+=B ．3480x y +-=C ．0x =D ．1x =2.直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【详解】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ =，故选：B.3.过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_______．【答案】2+-x y 0=【分析】由题知()0,2A 、()2,0B ，进而求解方程即可.【详解】解：方法1：由题知，圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r =，所以过点(2,2)P 作圆224x y +=的两条切线，切点分别为()0,2A 、()2,0B ，所以1AB k =-，所以直线AB 的方程为2y x =-+，即2+-x y ；方法2：设()11,A x y ，()22,B x y ，则由2211111142.12x y y y x x ⎧+=⎪-⎨=-⎪-⎩，可得112x y +=，同理可得222x y +=，所以直线AB 的方程为2+-x y 0=.故答案为：2+-x y 题型五：圆中最值问题【例1】已知l ：4y x =+，分别交x ，y 轴于A ，B 两点，P 在圆C ：224x y +=上运动，则PAB △面积的最大值为（）A ．82-B ．1682-C ．842+D ．162+【答案】C 【解析】如图所示，以AB 为底边，则PAB △面积最大等价于点P 到l 距离最大，而点P 到l 距离最大值等于O 到l 的距离加半径看，O 到l 的距离422d =O 的半径2r =，()4,0A -，()0,4B ，则42AB =PAB △面积的最大值为()14222822⨯=+故选：C【例2】已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．295【答案】B【分析】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，计算出圆心E 到直线125240x y -+=的距离d ，结合对称性可得出PQ QR +的最小值为25d -，即可得解.【详解】设圆心()1,6C ，记点()6,1E ，作圆()()224:1625C x y -+-=关于直线0x y -=的对称圆()()224:6125E x y -+-=，由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为()221265247125d ⨯-+==+-，【例3】已知直线:320l x y ++=与x 、轴的交点分别为A 、B ，且直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，则PAB 面积的最大值是（）A ．103+B ．103+C D【例4】已知圆()()22:254C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为（）A ．10B ．16C ．18D ．20()2TM TC TC CM TC TC CM ⋅=+⋅=+ CM TM ⊥ ，CM CT CM CT ∴⋅=⋅ 24TM TC TC ∴⋅=- ，【例5】已知复数z 满足1i 1z +-=（i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．1【答案】B【解析】令i z x y =+，x ，y ∈R ，则()1i 11i 1z x y +-=++-=，即()()22111x y ++-=，表示点(),x y 与点()1,1-距离为1的点集，此时，i z x y =-()()22111x y ++-=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，，且半径为1，1．故选：B ．【例6】若0x =，则2yx -的取值范围为【答案】11[,]22-【解析】因为0x +=x =-所以()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,2yx -的几何意义是点(),x y 与点()2,0连线的斜率如图，()()0,1,0,1A B -，()2,0P101022PA k -==--，101022PB k --==-所以2y x -的取值范围为11[,]22-故选：D【例】AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为Q ,利用数量积的运算性质可得2||9PA PB PQ ⋅=- ，再利用圆的性质可得||PQ 取值范围，即求.【详解】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+= ，PA PB BA -= 221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦ 2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦ ，又||6BA = ，4CQ =2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∵点P 为⊙C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72].故选：D.【题型专练】1．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y ++=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣2.（多选题）已知点P 在圆O :224x y +=上,直线l :43120x y +-=分别与x 轴,轴交于,A B 两点,则（）A ．过点B 作圆O 的切线,则切线长为B ．满足0PA PB ⋅=的点P 有3个C ．点P 到直线l 距离的最大值为225D ．PA PB +的最小值是1【答案】ACD【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,0PA PB ⋅=即PA PB ⊥,所以点P 在以AB 为直径的圆上,设AB 的中点为M ,写出圆M 的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大3．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【答案】3-##3-+如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故答案为：523-4．过直线3450x y +-=上的一点P 向圆()()22344x y -+-=作两条切线12l l ，．设1l 与2l 的夹角为θ，则θ的最大值为______．【答案】π3##60︒【分析】由题可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，根据圆的性质结合条件可得1sin sin22APC θ∠=≤，进而即得.【详解】由()()22344x y -+-=，可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，则2APB APC θ=∠=∠，在Rt APC △中，2AC =，2sin sin 2CA APC CP CPθ∠===又()3,4C 到直线3450x y +-=的距离为223344534⨯+⨯-+所以4CP ≥，1sin sin22APC θ∠=≤，所以APC ∠的最大值为π6，即θ的最大值为π3.故答案为：π3.5．已知圆22:410,+--=M x y x (),P x y 是圆M 上的动点，则3t x =+的最大值为_________；22x y +的最小值为____________．6.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】2z = ，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z -- 的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.题型六：圆与圆的位置关系问题【例1】已知圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)4C x y -+-=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离【例2】已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥ 可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.【例3】圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（）A ．B ．C ．D ．【例4】已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】由题意得P 点轨迹，转化为有交点问题【详解】90APB ∠=︒，记AB 中点为O ，则||OP m =，故P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则|1|||1m OC m -≤≤+，而||10OC =，得911m ≤≤．故选：B【题型专练】1．写出与圆221x y +=和圆()2264x y -+=都相切的一条直线的方程______.2.（2022全国新高考1卷）写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程_______．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.3.（多选题）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 14.已知点()()2,3,5,1A B -，则满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A 与圆B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数即为圆A 与圆B 的公切线条数，因为513AB ==>+，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D5.已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】分析可知()21max 4PN PM PC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max min max PN PM PN PM -=- ，又2max 3PN PC =+，1min 1PMPC =-，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤==，所以，()max 549PN PM -=+=，故选：B ．。
直线与圆知识点及经典例题(含答案)
圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 （一）圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 这个方程叫做圆的标准方程。
说 明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。
（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得02222222=-++--+r b a by ax y x 。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 :220x y Dx Ey F ++++= 问题：形如220x y Dx Ey F ++++=的方程的曲线是不是圆？ 将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：22224()()222D E D E Fx x +-+++=（1）当F E D 422-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E--为圆 心，以2242D E F+-为半径的圆。
,（3）当F E D 422-+＜0时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当224D E F +-＞0时，方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，不等于零； （2）没有xy 这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线； （3）相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径 （2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断: 当d>r 时，直线与圆相离；当d ＝r 时，直线与圆相切;当d<r 时，直线与圆相交。
高中数学直线和圆知识点总结+习题
直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈（1）[0,2πθ∈时，0k ≥；（2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k <（4）当倾斜角从0︒增加到90︒时，斜率从0增加到+∞；当倾斜角从90︒增加到180︒时，斜率从-∞增加到02．直线方程（1）点斜式：)(00x x k y y -=-（2）斜截式：y kx b =+（3）两点式：121121x x x x y y y y --=--（4）截距式：1x y a b +=（5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP =（2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d =（3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d =4．位置关系（1）截距式：y kx b =+形式重合：1212k k b b ==相交：12k k ≠平行：1212 k k b b =≠垂直：121k k ⋅=-（2）一般式：0Ax By C ++=形式重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B =平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠垂直：12120A AB B +=相交：1221A B A B ≠5．直线系1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ）二．圆1．圆的方程（1）标准形式：222()()x a y b R -+-=（0R >）（2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）（3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--=2．位置关系（1）点00(,)P x y 和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外（2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=的距离d =R 的大小关系当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）；当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；当d R <时，直线和圆相离（无交点）；判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系．(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．3．圆和圆的位置关系判断圆心距12d O O =与两圆半径之和12R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系当12d R R >+时，两圆相离，有4条公切线；当12d R R =+时，两圆外切，有3条公切线；当1212R R d R R -<<+时，两圆相交，有2条公切线；当12d R R =-时，两圆内切，有1条公切线；当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线；4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5．弦长公式：l =例题：例1若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．例2已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．例3设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．例4若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．例5已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．例6过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．例7圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．例8圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为____________________．例9已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．例10(1)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．例11已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．例12已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．例13平面直角坐标系xoy 中，直线10x y -+=截以原点O （1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；（3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交于x 轴于点（m ，０）和（n ，０），问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．例14圆x 2+y 2=8内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点.（1）当α=43π时,求AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.例15已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x －y +10=0上.(1)若动圆C 过点(－5,0),求圆C 的方程;(2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2+y 2=r 2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.。
高中数学必修2直线与圆的位置关系知识题型总结
直线与圆的位置关系一、点与圆的位置关系设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ；①P 在在圆C 外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔； ②P 在在圆C 内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔； ③P 在在圆C 上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔；二、直线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，位置关系的判定：判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交； (2)△=0相切； (3)△<0相离。
判定方法2：若圆心(a ，b)到直线L 的距离为d (1)d<r 相交； (2)d=r 相切；(3)d>r 相离。
利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。
三、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。
（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r①两圆外离2121||r r O O +>⇔；4条公切线②两圆外切2121||r r O O +=⇔；3条公切线③两圆相交212112||||r r O O r r +<<-⇔；2条公切线④两圆内切||||1221r r O O -=⇔；1条公切线⑤两圆内含||||1221r r O O -<⇔；没有公切线四、两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=，则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程. 补充说明：① 若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程； ② 若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程.五、圆系问题过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-） 补充：① 上述圆系不包括2C ；② 2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）③ 过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程为()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=六、 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即 ⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y 求解k ，得到切线方程【一定两解】例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)2+(y —2)2=4的切线，则切线方程为 。
直线和圆的类型题总结高一期末复习
直线和圆的类型题总结高一期末复习Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】平面解析几何初步平面直角坐标系中的基本公式设平面上两点),(),,(2211y x B y x A两点间的距离公式___________________________________________________ 中点坐标公式__________________________________________________________直线的方程一、直线的斜率二、直线的倾斜角三、直线方程的几种形式及适用条件 1．直线的点斜式方程_________________________________________________________________________ 2．直线的斜截式方程_________________________________________________________________________ 3．直线的两点式方程_________________________________________________________________________ 4．直线的截距式方程_________________________________________________________________________ 5．直线的一般式方程__________________________________________________________________________ 四、两直线的位置关系（一）判断两直线位置关系问题 1．相交________________________________________________________________________________2．平行______________________________________________________________________________ 3．重合________________________________________________________________________________ 4．垂直_________________________________________________________________________________ 例1．判断下列各组两直线的位置关系 （1）0543:1=-+y x l ，0124:2=-+y x l （2）543:1=+y x l ，0786:2=-+y x l （3）032:1=-y l ，053:2=+y l （4）032:1=-y l ，053:2=+x l（5）034:1=-+y x l ，04:2=-y x l例2．若直线012:1=-+y ax l 与直线04)1(:2=+++y a x l 平行，则________=a 例3．直线01)12(:1=+-+y m mx l 和023:2=++my x l 垂直，则______=m（二）直线系方程问题1．和直线0=++C By Ax 平行的直线系方程为______________________________________ 2．和直线0=++C By Ax 垂直的直线系方程为______________________________________ 3．经过两相交直线0111=++C y B x A 和0222=++C y B x A 交点的直线系方程为___________________例1．过点)4,1(-且与0532=++y x 平行的直线方程为____________________________．例2．过点)2,1(且与0102=-+y x 垂直的直线方程为____________________________．例3．求经过0332=--y x 和02=++y x 交点且与直线013=-+y x 平行的直线方程___________．例4．求经过01032=+-y x 和0243=-+y x 交点且与直线0423=+-y x 垂直的直线方程_______________． 五、距离公式1．点到直线的距离公式 2．两平行线间的距离公式例1．求点)2,1(-P 到直线52=+y x 的距离．例2．求两平行线024512:,08512:21=--=+-y x l y x l 的距离． 例3．求两平行线0346:,0523:21=+-=--y x l y x l 的距离． 六、对称问题 1．中心对称（1）点),(),,(2211y x N y x M 关于点),(b a P 对称，则有__________________________________________________________________________________(2)直线关于点对称___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 例：与直线0632=-+y x 关于点)1,1(-P 对称的直线为___________________________． 2．轴对称（1）点关于直线对称（__________________________________） 若点),(),,(2211y x N y x M 关于直线0=++C By Ax 对称，则有例：光线由点)4,1(-A 射出，在直线0632:=-+y x l 上反射，已知反射光线过点)1362,3(B ，求反射光线所在的直线方程．（2）直线关于直线对称（注意讨论两直线的位置关系）_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例1．直线012:=+-y x l 关于直线1=x 对称的直线为________________．例2．直线032:=+-y x l 关于直线02=+-y x 对称的直线为____________________．例3．如图，已知点)4,0(),0,4(B A ，从点)0,2(P 射出的光线经过AB 反射后再射到直线OB 上，最后经过直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程为________．七、最值问题例1．在直线013:=--y x l 上求一点P ，使得 （1）点P 到点)4,0(),1,4(B A 的距离之差最大； （2）点P 到点)4,3(),1,4(B A 的距离之和最小．例2．已知点)15,2(),5,3(B A -，在直线0443:=+-y x l 上求一点P ，使得PB PA +的值最小，并求最小值．圆的方程一、圆的标准方程及一般方程1．圆的标准方程_________________________________________________________ 2．圆的一般方程__________________________________________________________ 注意：_____________________________________________________________________ 3．求圆的方程的方法 （1）待定系数法（2）利用圆的几何性质例1：求下列各圆的标准方程（1） 经过点（6，3），圆心为)2,2(-； （2） 经过点)1,6(),5,4(---B A ，以AB 为直径；（3） 圆心在直线032:=--y x l 上，经过点)5,2(),3,2(---B A ； （4） （11辽宁）圆心在x 轴上，经过点)3,1(),1,5(B A ； （5） 经过三点)2,6(),5,5(),5,1(--C B A ；（6） 圆心在直线02:=+y x l 上，且与直线01:=-+y x m 切于点)1,2(-M ； （7） (10全国)过点)1,4(且与直线01=--y x 切于点)1,2(；（8） （09辽宁）与两直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在0=+y x 上 例2．若方程022=-+-+m y x y x 表示一个圆，则m 的取值范围_________例3．（12辽宁文）将圆014222=+--+y x y x 平分的直线_________________ （A ）x+y-1=0 （B ） x+y+3=0 （C ）x-y+1=0 （D ）x-y+3=0例4．（08重庆）已知圆03222=-+++ay x y x 上任意一点关于直线02:=+-y x l 对称的点都在圆C 上，则______=a例5．圆0222=+-+y x y x 关于直线01:=+-y x l 对称圆的方程___________________ 例6．一束光线从点)1,1(-A 出发经x 轴反射到圆1)3()2(:22=-+-y x C 上最短路程是______二、点与圆的位置关系点),(00y x A 与圆222)()(:r b y a x C =-+-的位置关系为____________________________________________________________________________________ 例1．点)1,1(在4)()(:22=++-a y a x C 的内部，则a 的取值范围__________．例2．已知点)2,(a 在圆032222=++--+a a y ax y x 的外部，则a 的取值范围__________． 三、直线与圆的位置关系 （一）位置关系判定 1．代数法2．几何法例1．λ为何值时，直线01=---λλy x 与圆012422=+--+y x y x 相交相切相离例2．（08福建）若直线043=++m y x 与圆044222=++-+y x y x 没有公共点，则实数m 的取值范围_______例3．直线1-=kx y 与曲线2)2(1---=x y 有公共点，则k 的取值范围_______例4．直线k x y +=与曲线)0(12≥-=x y x 恰有一个交点，则k 的取值范围_______ 例5．直线4)2(+-=x k y 与曲线[])2,2(412-∈-+=x x y 有两个公共点，求k 的取值范围_______与圆有关的最值问题形如___________________________________________________________ 形如____________________________________________________________ 形如__________________________________________________________ 例：已知实数y x ,满足方程01422=+-+x y x （1）求xy的取值范围；（2）求x y -的取值范围；（3）求22y x +的取值范围（二）弦长问题方法1：________________________________________________________ 方法2：________________________________________________________ 例1．直线x y =被圆4)2(22=-+y x 截得弦长为________． 例2．直线6+=kx y 被圆2522=+y x 截得弦长为8，则______=k ．例3．已知圆4:22=+y x C ，直线过点)2,1(P 与圆交于点B A ,，若弦长32=AB ，则直线的方程为_______．例4．（08山东）已知圆的方程为08622=--+y x y x ，设该圆过点)5,3(的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．A ．610B ．620C ．630D ．640例5．（11山东）已知圆C 过点)0,1(，且圆心在x 轴正半轴上，直线1:-=x y l 被圆C 截得的弦长为22，则过圆心与直线l 垂直的直线方程为____________．例6．（08天津）已知圆C 的圆心与点)1,2(-关于直线1+=x y 对称，直线01143=-+y x 与圆C 交于B A ,两点，6=AB ，则圆C 的方程为________________．(三)圆的切线问题求圆的切线方程，容易漏解。
高一直线与圆的知识点总结
高一直线与圆的知识点总结直线和圆是几何学中的基本概念和重要对象，它们在高一数学课程中占据了重要的位置。
本文将对高一直线与圆的相关知识点进行总结，包括直线的性质、直线与圆的关系以及解题技巧等内容。
一、直线的性质直线是最简单的几何对象之一，具有以下性质：1. 直线没有端点，可以无限延伸。
2. 直线上的两点可以确定一条直线。
3. 直线上任意三点不共线。
4. 直线可以垂直于另一条直线。
垂直直线之间的夹角为90度。
5. 直线可以平行于另一条直线。
平行直线之间的夹角为零度。
二、圆的性质圆是由平面上所有与圆心的距离相等的点组成的集合，具有以下性质：1. 圆心到圆上任意一点的距离相等。
2. 圆上任意两点可确定圆心的连线，称为弦。
3. 圆心到圆弧的距离称为半径，全等圆的半径相等。
4. 圆上的弦垂直于弦所对应的弧。
5. 圆的弧度表示圆弧的长度与半径的比值。
一个圆的弧度为2π。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆相切：直线与圆仅有一个公共点。
2. 直线与圆相交：直线与圆有两个不重合的交点。
3. 直线与圆相离：直线与圆没有公共点。
4. 切线的性质：与圆相切的直线称为切线，切线与以切点为圆心的圆相切于切点。
四、解题技巧在解决与直线和圆相关的问题时，以下是一些常用的解题技巧：1. 利用直线和圆的性质进行推导和证明。
2. 利用圆的切线性质求解问题。
3. 利用角的概念和相关定理进行证明和计算。
4. 利用勾股定理和相似三角形的性质进行计算和推理。
5. 运用代数的工具，如坐标系和方程，进行解题。
五、实例分析为了更好地理解直线与圆的知识点，以下是一个示例问题的分析：问题：已知直线AB与圆O相交于点C，连接CO并延长至点D，若∠CAB=60度，求证∠COD=120度。
解析：根据题目信息，我们可以得知∠CAB为60度，即直线AB与圆O相交于点C的切线。
我们希望证明∠COD为120度。
首先，连接OA和OD，因为OC是圆O的半径，所以OC=OD。
高三高考数学总复习《直线与圆》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《直线与圆》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一倾斜角与斜率 (3)题型二直线方程 (3)题型三直线位置关系的判断 (4)题型四对称与直线恒过定点问题 (4)题型五圆的方程 (5)题型六直线、圆的综合问题 (6)【巩固训练】题型一倾斜角与斜率 (7)题型二直线方程 (8)题型三直线位置关系的判断 (9)题型四对称与直线恒过定点问题 (10)题型五圆的方程 (11)题型六直线、圆的综合问题 (12)高考数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值.【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二 直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。
直线与圆知识点总结及例题
直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：1定义：在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角.当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0；2倾斜角的范围[)π,0.如1直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____答：5[0][)66，，πππ； 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.2过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______答：42≥-≤m m 或2、直线的斜率：1定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k ＝tan αα≠90°；倾斜角为90°的直线没有斜率；2斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；3直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系4应用：证明三点共线： AB BC k k =.如1 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件答：既不充分也不必要；2实数,x y满足3250x y --= 31≤≤x ,则x y 的最大值、最小值分别为______答：2,13-3、直线的方程：1点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ,则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线.直线的斜率0=k 时,直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时,不能用点斜式求它的方程,这时的直线方程为1x x =.2斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线.3两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点,则直线方程为121121x x x x y y y y --=--,它不包括垂直于坐标轴的直线.若要包含倾斜角为00或090的直线,两点式应变为))(())((121121y y x x x x y y --=--的形式.4截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+by a x,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.5一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=A,B 不同时为0的形式.如1经过点2,1且方向向量为v=－1,3的直线的点斜式方程是___________答：12)y x -=-；2直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=,不管m 怎样变化恒过点______答：(1,2)--；3若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点,则a 的取值范围是_______答：1a > 提醒：1直线方程的各种形式都有局限性.如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢；2直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.如过点(1,4)A ,且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条答：34.设直线方程的一些常用技巧：1知直线纵截距b ,常设其方程为y kx b =+；2知直线横截距0x ,常设其方程为0x my x =+它不适用于斜率为0的直线；3知直线过点00(,)x y ,当斜率k 存在时,常设其方程为00()y k x x y =-+,当斜率k 不存在时,则其方程为0x x =；4与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；5与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式,利用待定系数法求解.5、点到直线的距离及两平行直线间的距离：1点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =；2两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =6、直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=的位置关系：1平行⇔12210A B A B -=斜率且12210B C B C -≠在y 轴上截距；2相交⇔12210A B A B -≠；3重合⇔12210A B A B -=且12210B C B C -=.提醒：1 111222A B C A B C =≠、1122A B A B ≠、111222A B C A B C ==仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件 为什么2在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；3直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=垂直⇔12120A A B B +=.如1设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=,当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l 重合答：－1；12；31且m m ≠≠-；3；2已知直线l 的方程为34120x y +-=,则与l 平行,且过点—1,3的直线方程是______答：3490x y +-=；3两条直线40ax y +-=与20x y --=相交于第一象限,则实数a 的取值范围是____答：12a -<<；4设,,a b c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长,则直线sin 0A x ay c ++=与sin sin 0bx B y C -+=的位置关系是____答：垂直；5已知点111(,)P x y 是直线:(,)0l f x y =上一点,222(,)P x y 是直线l 外一点,则方程1122(,)(,)(,)f x y f x y f x y ++＝0所表示的直线与l 的关系是____答：平行；6直线l 过点１,０,且被两平行直线360x y +-=和330x y ++=所截得的线段长为9,则直线l 的方程是________答：43401x y x +-==和7、特殊情况下的两直线平行与垂直:当两条直线中有一条直线没有斜率时：1当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为90°,互相平行；2当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°,另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直．8、对称中心对称和轴对称问题——代入法：如1已知点(,)M a b 与点N x轴对称,点P 与点N y 轴对称,点Q 与点P 直线0x y +=对称,则点Q 的坐标为_______答：(,)b a ；3点Ａ４,５直线l 的对称点为Ｂ－2,7,则l 的方程是_________答：3y=3x ＋；4已知一束光线通过点Ａ－３,５,经直线l :3x －4y+4=0反射.如果反射光线通过点Ｂ２,15,则反射光线所在直线的方程是_________答：18x 510y -=＋；5已知ΔABC 顶点A3,－１,ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y －59=0,∠B 的平分线所在的方程为x －4y+10=0,求ＢＣ边所在的直线方程答：29650x y +-=；6直线2x ―y ―4=0上有一点Ｐ,它与两定点Ａ4,－1、Ｂ3,4的距离之差最大,则Ｐ的坐标是______答：5,6；7已知A x ∈轴,:B l y x ∈=,C2,1,ABC 周长的最小值为______答：提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解.9.1直线过定点.如直线3m+4x+5-2my+7m-6=0,不论m 取 何值恒过定点-1,22直线系方程1与已知直线Ax+By+C=0平行的直线的设法: Ax+By+m=0 m ≠C2 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线的设法:Bx-Ay+m=03经过直线1l ∶1A x+1B y+1C =0,2l ∶2A x+2B y+2C =0交点的直线设法：1A x+1B y+1C +λ2A x+2B y+2C =0λ为参数,不包括2l3对称 1点点对称中点坐标公式2线点对称转化为点点对称,或代入法,两条直线平行3点线对称点和对称点的连线被线垂直平分,中点在对称轴上、kk’=-1二个方程4线线对称求交点,转化为点线对称10、圆的方程：⑴圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=.⑵圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>,特别提醒：只有当22D E 4F 0＋－>时,方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22D E --,半径为的圆二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么 0,A C =≠且0B =且2240D E AF +->；⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+θ为参数,其中圆心为(,)a b ,半径为r .圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0x r y r r θθ→==≤≤.⑷()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如1圆C 与圆22(1)1x y -+=直线y x =-对称,则圆C 的方程为____________答：22(1)1x y ++=；2圆心在直线32=-y x 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ；3已知(P -是圆{cos sin x r y r θθ==θ为参数,02)θπ≤<上的点,则圆的普通方程为________,P 点对应的θ值为_______,过P 点的圆的切线方程是___________答：224x y +＝；23π；40x -+=；4如果直线l 将圆：x 2+y 2-2x-4y=0平分,且不过第四象限,那么l 的斜率的取值范围是____答：0,2；5方程x 2+y ２－x+y+k=0表示一个圆,则实数k 的取值范围为____答：21<k ；6若{3cos {(,)|3sin x M x y y θθ===θ为参数,0)}θπ<<,{}b x y y x N +==|),(,若φ≠N M ,则b 的取值范围是_________答：(－11、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>,1点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->；2点M 在圆C 内⇔ ()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<；3点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=.如点P5a+1,12a 在圆x －１２＋y 2=1的内部,则a 的取值范围是______答：131||<a12、直线与圆的位置关系：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-= ()0r >有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断：1代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；2几何方法比较圆心到直线的距离与半径的大小：设圆心到直线的距离为d ,则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切.提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷.如1圆12222=+y x 与直线sin 10(,2x y R πθθθ+-=∈≠k π+,)k z ∈的位置关系为____答：相离；2若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(1,2)P -,则ab 的值____答：2；3直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=所截得的弦长等于 答：4一束光线从点A －1,1出发经x 轴反射到圆C:x-22+y-32=1上的最短路程是 答：4；5已知(,)(0)M a b ab ≠是圆222:O x y r +=内一点,现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线2:l ax by r +=,则A ．//m l ,且l 与圆相交 B ．l m ⊥,且l 与圆相交C ．//m l ,且l 与圆相离D ．l m ⊥,且l 与圆相离答：C ；6已知圆C ：22(1)5x y +-=,直线L ：10mx y m -+-=.①求证：对m R ∈,直线L 与圆C总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点,若AB =求L 的倾斜角；③求直线L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. 答：②60或120 ③最长：1y =,最短：1x =13、圆与圆的位置关系用两圆的圆心距与半径之间的关系判断：已知两圆的圆心分别为12O O ，,半径分别为12,r r ,则1当1212|O O r r |>+时,两圆外离；2当1212|O O r r |=+时,两圆外切；3当121212<|O O r r r r -|<+时,两圆相交；4当1212|O O |r r |=|-时,两圆内切；5当12120|O O |r r ≤|<|-时,两圆内含.如双曲线22221x y a b-=的左焦点为F 1,顶点为A 1、A 2,P 是双曲线右支上任意一点,则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆位置关系为 答：内切14、圆的切线与弦长：1切线：①过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=,过圆222()()x a y b R -+-=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200()()()()x a x a y a y a R --+--=,一般地,如何求圆的切线方程抓住圆心到直线的距离等于半径；②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运用几何方法抓住圆心到直线的距离等于半径来求；③过两切点的直线即“切点弦”方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆220x y Dx Ey F ++++=222()()x a y b R -+-=外一点00(,)P x y 所引圆的切线的长为如设A 为圆1)1(22=+-y x 上动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则P 点的轨迹方程为__________答：22(1)2x y -+=；2弦长问题：①圆的弦长的计算：垂径定理常用弦心距d ,半弦长12a及圆的半径r 所构成的直角三角形来解：2221()2r d a =+；②过两圆1:(,)0C f x y =、2:(,)0C g x y =交点的圆公共弦系为(,)(,)0f x y g x y λ+=,当1λ=-时,方程(,)(,)0f x y g x y λ+=为两圆公共弦所在直线方程..15.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等16. 圆的切线和圆系方程1．过圆上一点的切线方程：圆222r y x =+,圆上一点为00,y x ,则过此点的切线方程为0x x+ 0y y= 2r 课本命题．圆222r y x =+,圆外一点为00,y x ,则过此点的两条切线与圆相切,切点弦方程为200r y y x x =+.2．圆系方程：①设圆C1∶011122=++++F y E x D y x 和圆C2∶022222=++++F y E x D y x ．若两圆相交,则过交点的圆系方程为11122F y E x D y x +++++λ22222F y E x D y x ++++=0λ为参数,圆系中不包括圆C2,λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程．②设圆C ∶022=++++F Ey Dx y x 与直线l ：Ax+By+C=0,若直线与圆相交,则过交点的圆系方程为F Ey Dx y x ++++22+λAx+By+C=0λ为参数．例题 1经过点P 2,m 和Q 2m ,5的直线的斜率等于12,则m 的值是 BA ．4B ．3C ．1或3D ．1或4变：的取值范围的斜率的直线求经过点 )1,cos (),sin ,2( k l B A θθ--2. 已知直线l 过P －1,2,且与以A －2,－3、B3,0为端点的线段相交,求直线l 的斜率的取值范围．点评：要用运动的观点,研究斜率与倾斜角之间的关系 答案： ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪5,＋∞ 3.已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，3＋1)，若D 为△ABC 的边AB 上一动CD 斜率k 的变化范围．答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪5,＋∞ 1.求a 为何值时,直线l 1：a ＋2x ＋1－ay －1＝0与直线l 2：a －1x ＋2a ＋3y ＋2＝0互相垂直答案：a=-12.求过点P 1,－1,且与直线l 2：2x ＋3y ＋1＝0垂直的直线方程．答案：3x －2y －5＝0.例2.求过定点P 2,3且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．例3.已知△ABC 的顶点A 1,－1,线段BC 的中点为D 3,23．1求BC 边上的中线所在直线的方程；2若边BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是9,求BC 所在直线的方程． 例4.方程m 2－2m －3x ＋2m 2＋m －1y ＝2m －6满足下列条件,请根据条件分别确定实数m 的值．1方程能够表示一条直线；答案：m 1-≠2方程表示一条斜率为－1的直线．答案：m 2-=例5.直线l 的方程为a －2y ＝3a －1x －1a ∈R ．1求证：直线l 必过定点；答案：15,352若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求l 的方程；答案：5x ＋5y －4＝0 3若直线l 不过第二象限,求实数a 的取值范围．答案：分斜率存在与不存在例1：求点A-2,3到直线 l :3x+4y+3=0的距离 d= . 例2：已知点a,2到直线l: x-y+1=0的距离为2,则a= . a ＜0例3:求直线 y=2x+3直线l : y=x+1对称的直线方程.类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．变式1：求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且被直线0=y 平分的圆的标准方程. 变式2：求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆上所有的点均直线0=y 对称的圆的标准方程.类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例4 已知圆422=+y x O ：,求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上,∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y根据r d =∴21422=++-k k .解得43=k ,所以()4243+-=x y ,即01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条,可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．类型三：弦长、弧问题例7、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长. 例8、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得,弦心距3=d ,故弦长2222=-=d r AB ,从而△OAB 是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为3π=∠AOB . 例9、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例10、已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ,判断此直线与已知圆的位置关系.类型五：圆与圆的位置关系 例13、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系,例14：圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有 条. 类型六：圆中的最值问题例15：圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是例16 1已知圆1)4()3(221=-+-y x O ：,),(y x P 为圆O 上的动点,求22y x d +=的最大、最小值．2已知圆1)2(222=++y x O ：,),(y x P 为圆上任一点．求12--x y 的最大、最小值,求y x 2-的最大、最小值．例17：已知)0,2(-A ,)0,2(B ,点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动,则22PB PA +的最小值是 . 解：设),(y x P ,则828)(2)2()2(222222222+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .设圆心为)4,3(C ,则325min =-=-=r OC OP ,∴22PB PA +的最小值为268322=+⨯.。
高一直线与圆复习资料
高一直线与圆复习资料高一直线与圆是数学中比较重要的一个概念，涉及到几何和代数的知识点。
在学习这个知识点时，需要掌握平面直角坐标系、圆的一般方程等基础知识。
下面，我们来逐一介绍这些知识及其相关应用。
一、平面直角坐标系平面直角坐标系是描述平面上点的位置的一种方式。
在平面直角坐标系中，点的位置由它在x轴和y轴上的坐标确定。
其中，x 轴和y轴互相垂直，并且原点是它们的交点。
对于平面上一点P(x,y)，它的坐标用一个有序数对(x,y)表示。
坐标系中每个点都有唯一对应的坐标，同一个坐标也只对应唯一的一个点。
在直角坐标系中，我们可以用距离公式来计算两个坐标之间的距离。
设A(x1,y1)和B(x2,y2)是两个点，它们之间的距离是：d = √ [(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]二、圆的一般方程在平面直角坐标系中，固定一个点O(x0,y0)作为圆心，规定一个正数r作为半径，则平面上所有距离圆心O的距离等于r的点P(x,y)构成的轨迹叫做圆。
圆的方程有多种表示形式，其中最常见的就是一般方程：(x - x0)² + (y - y0)² = r²。
圆的一般方程表示在平面上距离圆心(x0,y0)为r的所有点的集合。
当圆的半径为1时，它的一般方程为：x² + y² = 1。
如果圆的半径不为1，则可以通过坐标轴上的缩放来调整半径大小。
三、直线和圆的位置关系在平面直角坐标系中，一条直线可以用斜截式方程y = kx + b 表示，其中k是斜率，b是截距。
如果一条直线与圆相交，它们的位置关系有以下几种情况：1. 直线与圆无交点。
当直线的距离大于圆的半径时，它们不会相交。
2. 直线与圆相切。
当直线的距离等于圆的半径时，它们在某个点处相切。
3. 直线与圆有两个交点。
当直线的距离小于圆的半径时，它们会在两个点处相交。
4. 直线在圆内。
当直线与圆的距离小于半径时，直线在圆内部。
直线和圆的类型题总结高一期末复习
平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式设平面上两点),(),,(2211y x B y x A两点间的距离公式___________________________________________________中点坐标公式__________________________________________________________2.2直线的方程一、直线的斜率二、直线的倾斜角三、直线方程的几种形式及适用条件1．直线的点斜式方程_________________________________________________________________________2．直线的斜截式方程_________________________________________________________________________3．直线的两点式方程_________________________________________________________________________4．直线的截距式方程_________________________________________________________________________5．直线的一般式方程__________________________________________________________________________四、两直线的位置关系（一）判断两直线位置关系问题1．相交________________________________________________________________________________2．平行______________________________________________________________________________3．重合________________________________________________________________________________4．垂直_________________________________________________________________________________ 例1．判断下列各组两直线的位置关系（1）0543:1=-+y x l ，0124:2=-+y x l（2）543:1=+y x l ，0786:2=-+y x l（3）032:1=-y l ，053:2=+y l（4）032:1=-y l ，053:2=+x l（5）034:1=-+y x l ，04:2=-y x l例2．若直线012:1=-+y ax l 与直线04)1(:2=+++y a x l 平行，则________=a例3．直线01)12(:1=+-+y m mx l 和023:2=++my x l 垂直，则______=m（二）直线系方程问题1．和直线0=++C By Ax 平行的直线系方程为______________________________________2．和直线0=++C By Ax 垂直的直线系方程为______________________________________3．经过两相交直线0111=++C y B x A 和0222=++C y B x A 交点的直线系方程为___________________例1．过点)4,1(-且与0532=++y x 平行的直线方程为____________________________．例2．过点)2,1(且与0102=-+y x 垂直的直线方程为____________________________．例3．求经过0332=--y x 和02=++y x 交点且与直线013=-+y x 平行的直线方程___________． 例4．求经过01032=+-y x 和0243=-+y x 交点且与直线0423=+-y x 垂直的直线方程_______________．五、距离公式1．点到直线的距离公式2．两平行线间的距离公式例1．求点)2,1(-P 到直线52=+y x 的距离．例2．求两平行线024512:,08512:21=--=+-y x l y x l 的距离．例3．求两平行线0346:,0523:21=+-=--y x l y x l 的距离．六、对称问题1．中心对称（1）点),(),,(2211y x N y x M 关于点),(b a P 对称，则有__________________________________________________________________________________(2)直线关于点对称______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________例：与直线0632=-+y x 关于点)1,1(-P 对称的直线为___________________________．2．轴对称（1）点关于直线对称（__________________________________）若点),(),,(2211y x N y x M 关于直线0=++C By Ax 对称，则有例：光线由点)4,1(-A 射出，在直线0632:=-+y x l 上反射，已知反射光线过点)1362,3(B ，求反射光线所在的直线方程．（2）直线关于直线对称（注意讨论两直线的位置关系）________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ 例1．直线012:=+-y x l 关于直线1=x 对称的直线为________________．例2．直线032:=+-y x l 关于直线02=+-y x 对称的直线为____________________．例3．如图，已知点)4,0(),0,4(B A ，从点)0,2(P 射出的光线经过AB 反射后再射到直线OB 上，最后经过直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程为________．七、最值问题例1．在直线013:=--y x l 上求一点P ，使得（1）点P 到点)4,0(),1,4(B A 的距离之差最大；（2）点P 到点)4,3(),1,4(B A 的距离之和最小．例2．已知点)15,2(),5,3(B A -，在直线0443:=+-y x l 上求一点P ，使得PB PA +的值最小，并求最小值． 2.3圆的方程一、圆的标准方程及一般方程1．圆的标准方程_________________________________________________________2．圆的一般方程__________________________________________________________注意：_____________________________________________________________________3．求圆的方程的方法（1）待定系数法（2）利用圆的几何性质例1：求下列各圆的标准方程（1） 经过点（6，3），圆心为)2,2(-；（2） 经过点)1,6(),5,4(---B A ，以AB 为直径；（3） 圆心在直线032:=--y x l 上，经过点)5,2(),3,2(---B A ；（4） （11辽宁）圆心在x 轴上，经过点)3,1(),1,5(B A ；（5） 经过三点)2,6(),5,5(),5,1(--C B A ；（6） 圆心在直线02:=+y x l 上，且与直线01:=-+y x m 切于点)1,2(-M ；（7） (10全国)过点)1,4(且与直线01=--y x 切于点)1,2(；（8） （09辽宁）与两直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在0=+y x 上例2．若方程022=-+-+m y x y x 表示一个圆，则m 的取值范围_________例3．（12辽宁文）将圆014222=+--+y x y x 平分的直线_________________（A ）x+y-1=0 （B ） x+y+3=0 （C ）x-y+1=0 （D ）x-y+3=0例4．（08重庆）已知圆03222=-+++ay x y x 上任意一点关于直线02:=+-y x l 对称的点都在圆C 上，则______=a例5．圆0222=+-+y x y x 关于直线01:=+-y x l 对称圆的方程___________________例6．一束光线从点)1,1(-A 出发经x 轴反射到圆1)3()2(:22=-+-y x C 上最短路程是______二、点与圆的位置关系点),(00y x A 与圆222)()(:r b y a x C =-+-的位置关系为____________________________________________________________________________________例1．点)1,1(在4)()(:22=++-a y a x C 的内部，则a 的取值范围__________．例2．已知点)2,(a 在圆032222=++--+a a y ax y x 的外部，则a 的取值范围__________．三、直线与圆的位置关系（一）位置关系判定1．代数法2．几何法例1．λ为何值时，直线01=---λλy x 与圆012422=+--+y x y x 相交？相切？相离？例2．（08福建）若直线043=++m y x 与圆044222=++-+y x y x 没有公共点，则实数m 的取值范围_______例3．直线1-=kx y 与曲线2)2(1---=x y 有公共点，则k 的取值范围_______ 例4．直线k x y +=与曲线)0(12≥-=x y x 恰有一个交点，则k 的取值范围_______例5．直线4)2(+-=x k y 与曲线[])2,2(412-∈-+=x x y 有两个公共点，求k 的取值范围_______与圆有关的最值问题 形如___________________________________________________________形如____________________________________________________________形如__________________________________________________________例：已知实数y x ,满足方程01422=+-+x y x（1）求xy 的取值范围；（2）求x y -的取值范围；（3）求22y x +的取值范围 （二）弦长问题方法1：________________________________________________________方法2：________________________________________________________例1．直线x y =被圆4)2(22=-+y x 截得弦长为________．例2．直线6+=kx y 被圆2522=+y x 截得弦长为8，则______=k ．例3．已知圆4:22=+y x C ，直线过点)2,1(P 与圆交于点B A ,，若弦长32=AB ，则直线的方程为_______．例4．（08山东）已知圆的方程为08622=--+y x y x ，设该圆过点)5,3(的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．A ．610B ．620C ．630D ．640例5．（11山东）已知圆C 过点)0,1(，且圆心在x 轴正半轴上，直线1:-=x y l 被圆C 截得的弦长为22，则过圆心与直线l 垂直的直线方程为____________．例6．（08天津）已知圆C 的圆心与点)1,2(-关于直线1+=x y 对称，直线01143=-+y x 与圆C 交于B A ,两点，6=AB ，则圆C 的方程为________________．(三)圆的切线问题求圆的切线方程，容易漏解。
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平面解析几何初步2.1平面直角坐标系中的基本公式设平面上两点),(),,(2211y x B y x A两点间的距离公式___________________________________________________ 中点坐标公式__________________________________________________________2.2直线的方程一、直线的斜率二、直线的倾斜角三、直线方程的几种形式及适用条件1．直线的点斜式方程_________________________________________________________________________ 2．直线的斜截式方程_________________________________________________________________________ 3．直线的两点式方程_________________________________________________________________________ 4．直线的截距式方程_________________________________________________________________________ 5．直线的一般式方程__________________________________________________________________________ 四、两直线的位置关系（一）判断两直线位置关系问题1．相交________________________________________________________________________________ 2．平行______________________________________________________________________________ 3．重合________________________________________________________________________________ 4．垂直_________________________________________________________________________________ 例1．判断下列各组两直线的位置关系 （1）0543:1=-+y x l ，0124:2=-+y x l （2）543:1=+y x l ，0786:2=-+y x l （3）032:1=-y l ，053:2=+y l （4）032:1=-y l ，053:2=+x l （5）034:1=-+y x l ，04:2=-y x l例2．若直线012:1=-+y ax l 与直线04)1(:2=+++y a x l 平行，则________=a 例3．直线01)12(:1=+-+y m mx l 和023:2=++my x l 垂直，则______=m（二）直线系方程问题1．和直线0=++C By Ax 平行的直线系方程为______________________________________ 2．和直线0=++C By Ax 垂直的直线系方程为______________________________________3．经过两相交直线0111=++C y B x A 和0222=++C y B x A 交点的直线系方程为___________________ 例1．过点)4,1(-且与0532=++y x 平行的直线方程为____________________________．例2．过点)2,1(且与0102=-+y x 垂直的直线方程为____________________________．例3．求经过0332=--y x 和02=++y x 交点且与直线013=-+y x 平行的直线方程___________．例4．求经过01032=+-y x 和0243=-+y x 交点且与直线0423=+-y x 垂直的直线方程_______________． 五、距离公式1．点到直线的距离公式 2．两平行线间的距离公式例1．求点)2,1(-P 到直线52=+y x 的距离．例2．求两平行线024512:,08512:21=--=+-y x l y x l 的距离． 例3．求两平行线0346:,0523:21=+-=--y x l y x l 的距离． 六、对称问题 1．中心对称（1）点),(),,(2211y x N y x M 关于点),(b a P 对称，则有__________________________________________________________________________________ (2)直线关于点对称___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ 例：与直线0632=-+y x 关于点)1,1(-P 对称的直线为___________________________． 2．轴对称（1）点关于直线对称（__________________________________） 若点),(),,(2211y x N y x M 关于直线0=++C By Ax 对称，则有例：光线由点)4,1(-A 射出，在直线0632:=-+y x l 上反射，已知反射光线过点)1362,3(B ，求反射光线所在的直线方程．（2）直线关于直线对称（注意讨论两直线的位置关系）________________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________________ 例1．直线012:=+-y x l 关于直线1=x 对称的直线为________________．例2．直线032:=+-y x l 关于直线02=+-y x 对称的直线为____________________．例3．如图，已知点)4,0(),0,4(B A ，从点)0,2(P 射出的光线经过AB 反射后再射到直线OB 上，最后经过直线OB 反射后又回到点P ，则光线所经过的路程为________．七、最值问题例1．在直线013:=--y x l 上求一点P ，使得 （1）点P 到点)4,0(),1,4(B A 的距离之差最大； （2）点P 到点)4,3(),1,4(B A 的距离之和最小．例2．已知点)15,2(),5,3(B A -，在直线0443:=+-y x l 上求一点P ，使得PB PA +的值最小，并求最小值．2.3圆的方程一、圆的标准方程及一般方程1．圆的标准方程_________________________________________________________ 2．圆的一般方程__________________________________________________________ 注意：_____________________________________________________________________ 3．求圆的方程的方法 （1）待定系数法（2）利用圆的几何性质例1：求下列各圆的标准方程（1） 经过点（6，3），圆心为)2,2(-；（2） 经过点)1,6(),5,4(---B A ，以AB 为直径；（3） 圆心在直线032:=--y x l 上，经过点)5,2(),3,2(---B A ； （4） （11辽宁）圆心在x 轴上，经过点)3,1(),1,5(B A ； （5） 经过三点)2,6(),5,5(),5,1(--C B A ；（6） 圆心在直线02:=+y x l 上，且与直线01:=-+y x m 切于点)1,2(-M ；（7） (10全国)过点)1,4(且与直线01=--y x 切于点)1,2(；（8） （09辽宁）与两直线0=-y x 及04=--y x 都相切，圆心在0=+y x 上 例2．若方程022=-+-+m y x y x 表示一个圆，则m 的取值范围_________例3．（12辽宁文）将圆014222=+--+y x y x 平分的直线_________________（A ）x+y-1=0 （B ） x+y+3=0 （C ）x-y+1=0 （D ）x-y+3=0例4．（08重庆）已知圆03222=-+++ay x y x 上任意一点关于直线02:=+-y x l 对称的点都在圆C 上，则______=a例5．圆0222=+-+y x y x 关于直线01:=+-y x l 对称圆的方程___________________例6．一束光线从点)1,1(-A 出发经x 轴反射到圆1)3()2(:22=-+-y x C 上最短路程是______二、点与圆的位置关系点),(00y x A 与圆222)()(:r b y a x C =-+-的位置关系为____________________________________________________________________________________ 例1．点)1,1(在4)()(:22=++-a y a x C 的内部，则a 的取值范围__________．例2．已知点)2,(a 在圆032222=++--+a a y ax y x 的外部，则a 的取值范围__________．三、直线与圆的位置关系 （一）位置关系判定 1．代数法2．几何法例1．λ为何值时，直线01=---λλy x 与圆012422=+--+y x y x 相交？相切？相离？例2．（08福建）若直线043=++m y x 与圆044222=++-+y x y x 没有公共点，则实数m 的取值范围_______例3．直线1-=kx y 与曲线2)2(1---=x y 有公共点，则k 的取值范围_______ 例4．直线k x y +=与曲线)0(12≥-=x y x 恰有一个交点，则k 的取值范围_______例5．直线4)2(+-=x k y 与曲线[])2,2(412-∈-+=x x y 有两个公共点，求k 的取值范围_______ 与圆有关的最值问题形如___________________________________________________________ 形如____________________________________________________________ 形如__________________________________________________________ 例：已知实数y x ,满足方程01422=+-+x y x（1）求xy 的取值范围；（2）求x y -的取值范围；（3）求22y x +的取值范围（二）弦长问题方法1：________________________________________________________ 方法2：________________________________________________________ 例1．直线x y =被圆4)2(22=-+y x 截得弦长为________．例2．直线6+=kx y 被圆2522=+y x 截得弦长为8，则______=k ．例3．已知圆4:22=+y x C ，直线过点)2,1(P 与圆交于点B A ,，若弦长32=AB ，则直线的方程为_______．例4．（08山东）已知圆的方程为08622=--+y x y x ，设该圆过点)5,3(的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．A ．610B ．620C ．630D ．640例5．（11山东）已知圆C 过点)0,1(，且圆心在x 轴正半轴上，直线1:-=x y l 被圆C 截得的弦长为22，则过圆心与直线l 垂直的直线方程为____________．例6．（08天津）已知圆C 的圆心与点)1,2(-关于直线1+=x y 对称，直线01143=-+y x 与圆C 交于B A ,两点，6=AB ，则圆C 的方程为________________．(三)圆的切线问题求圆的切线方程，容易漏解。