04 第一章 第四节 一元二次不等式及其解法

x>32.
第四节 一元二次不等式及其解法
必备知识 落实“四基”来自核心考点 提升“四能”
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2 ． (2024·泰 安 模 拟 ) 已 知 集 合 A ＝ {x|x2 － 5x ＋ 4<0} ， B ＝ {x|x2 － 7x ＋ 10<0} ， 则
A∪B＝( )
A．(1，2) C．(2，4)
√B．(1，5)
第四节 一元二次不等式及其解法
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
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含参数的一元二次不等式的解法
【例1】解不等式x2－(a＋1)x＋a<0. 解：原不等式可化为(x－a)(x－1)<0. 当a>1时，原不等式的解集为(1，a)； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a<1时，原不等式的解集为(a，1)．
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一元二次不等式的恒成立问题
考向1 在R上的恒成立问题
【例2】(2024·盐城模拟)已知关于x的不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0对任意x∈R恒成
立，则k的取值范围是( )
√A．[0，4]
C．(－∞，0]∪[3，＋∞)
B．[0，3] D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
A 解析：当k＝0时，不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0可化为1≥0，其恒成立；当
3．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是
－
1 2
，
1 3
，则a＋b的值是________.
－14
解
析
：由题
意
知
－
1 2
，
1 3
是
ax2
＋
bx
＋
2
＝
0
的两
根
，
则
−
b a
＝－
1 2
+
1 3
，
2 a
＝－
1 2
×
13，所以a＝－12，b＝－2，所以a＋b＝－14.
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必备知识 落实“四基”
不等式类型 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c≥0 ax2＋bx＋c<0 ax2＋bx＋c≤0
恒成立条件 a>0，Δ<0 a>0，Δ≤0 a<0，Δ<0 a<0，Δ≤0
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考向2 在给定区间上的恒成立问题
【例3】(2024·滨州模拟)若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，
b a
，
即
－1×3＝
c a
，
a<0， ൞ b＝－2a， 所以a＋b＋c＝－4a>0，B正确；c＝－3a>0，C正确；cx2－bx＋
c＝－3a，
a<0，即－3ax2＋2ax＋a<0，则3x2－2x－1<0，解得－13<x<1，所以cx2－bx＋a<0
的解集为
x
－
1 3
<x<1
，D错误．故选ABC．
第四节 一元二次不等式及其解法
第四节 一元二次不等式及其解法
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
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2．已知全集U＝{x|x≥0}，集合A＝{x|x(x－2)≤0}，则∁UA＝( )
A．(2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
A 解析：集合A＝{x|x(x－2)≤0}＝[0，2]，而全集U＝[0，＋∞)，所以∁UA＝ (2，＋∞)．故选A．
k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0对任意x∈R恒成立，只需
൝ k>0， Δ＝9k2－4k
2k+1
≤0，解得0<k≤4.综上，k的取值范围是[0，4].故选A．
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核心考点 提升“四能”
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一元二次不等式在R上恒成立的条件
综上可得，当0<a<1时，此不等式的解集为
x
1<x<
1 a
；当a＝1时，此不等式的
解集为∅；当a>1时，此不等式的解集为
x
1 a
<x<1
.
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解含参数的一元二次不等式的分类讨论依据
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__∅__
__∅__
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自查自测 知识点二 分式不等式与整式不等式
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核心考点 提升“四能”
不等式12－+xx≥0的解集为(
)
A．[－2，1]
C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－2，1]
√D．(－∞，－2]∪(1，＋∞)
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B 解析：将原不等式化为൝21+－x≠x0，2+x ≥0，
的是( )
√A．a<0 √B．a＋b＋c>0 √C．c>0
D．cx2－bx＋a<0的解集为
x
x<－
1 3
或x>1
ABC 解析：根据二次函数图象与二次不等式解集之间的关系可知a<0，A正
确 ； 由 题 可 知 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 的 根 为 － 1 ， 3 ， 则
a<0，
－1+3＝－
一元二次方程ax2＋bx＋c 有两个不相等的实数
＝0(a＞0)的根
根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等的实数
根x1＝x2＝－2ba
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解 集
__{_x_|_x＞__x_2_，__或__x_＜__x_1}__
__{x_|_x_≠_－___2b_a_}__
_R_
ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集 __{_x_|x_1_＜__x_＜__x_2}_____
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解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
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三个“二次”关系的应用 1．(多选题)已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1或x>3}，则下列结论正确
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3．已知函数f (x)＝x125+x9，若f (x)>m的解集为
3 2
，6
，则m的值为________.
2
解析：因为f
(x)>m
，
所
以
15x x2+9
>m
，
所
以
mx2
－
15x
＋
9m<0.
因
为
其
解
集
为
3 2
，6
，所以mx2－15x＋9m＝0的两个根为32和6，所以32 +6＝ 1m5，解得m＝2.
即൝x(+x－2≠1)0，x+2 ≤0，解得－2<x≤1.
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核心回扣 分式不等式与整式不等式
(1)fg
x x
＞0(＜0)⇔___f_(_x_)_·g_(_x_)＞__0_(_＜__0_)____；
(2)fg
x x
≥0(≤0)⇔___f_(_x_)_·g_(_x_)_≥_0_(≤_0_)_且__g_(_x)_≠__0_______．
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核心回扣 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是_2__的不等式，称为一元二次不等 式．
第四节 一元二次不等式及其解法
2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac
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Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a ＞0)的图象
核心考点 提升“四能”
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4．(教材改编题)若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立，则实数a的取值范围为 ________. －3 2，3 2 解析：由题意有Δ＝4a2－4×18<0，可得－3 2<a<3 2.
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必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
x+
3 m
而－m3 >m1 ，此时不等式的解集为
x
1 m
<x<－
3 m
.
综上可得，
当m<0时，不等式的解集为
x
1 m
<x<－
3 m
；
当m＝0时，不等式的解集为R；
当m>0时，不等式的解集为
x
－
3 m
<x<
1 m
.
x－
1 m
<0，
x－
1 m
<0，
第四节 一元二次不等式及其解法
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
第四节 一元二次不等式及其解法
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三个“二次”间的关系及应用 1．一元二次方程的根就是相应二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集 的端点值． 2．给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及 与x轴的交点，可以借助根与系数的关系求待定系数．
核心考点 提升“四能”
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设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.
解：①当m＝0时，－3<0恒成立；
②当m>0时，不等式可化为(mx＋3)(mx－1)<0，即
x+
3 m
而－m3 <m1 ，此时不等式的解集为
x
－
3 m
<x<
1 m
；
③当m<0时，不等式可化为(mx＋3)(mx－1)<0，即
第四节 一元二次不等式及其解法
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
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[变式] 将本例中的不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求此不等式的解集． 解：原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以a
x－
1 a
(x－1)<0.
当a>1时，解得1a<x<1；当a＝1时，解集为∅；当0<a<1时，解得1<x<1a.
第四节 一元二次不等式及其解法
核心考点
提升“四能”
不含参数的一元二次不等式的解法 1．不等式－2x2＋x＋3<0的解集为( )
A．
－1，
3 2
B．
－
3 2
，1
√C．(－∞，－1)∪(32，＋∞)
D．
－∞，－
3 2
∪(1，＋∞)
C 解析：－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，即(x＋1)(2x－3)>0，所以x<－1或
第四节 一元二次不等式及其解法
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核心考点 提升“四能”
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给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f (x)>0在给定区间上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等 式(组)求范围． (2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x)的值域为[m，n]，则f (x)≥a恒成立⇒f (x)min≥a，即m≥a；f (x)≤a恒成立⇒f (x)max≤a，即n≤a.
则a的取值范围是( )
√A．(－∞，－3]
C．[1，＋∞)
B．(－∞，0] D．(－∞，1]
A 解 析 ： ( 方 法 一 ) 令 f (x) ＝ x2 － 2x ＋ a ， 则 由 题 意 得
f －1 ＝ －1 2－2× －1 +a≤0， ൝ f 2 ＝22－2×2+a≤0， 解得a≤－3.故选A． (方法二)当x∈[－1，2]时，不等式x2－2x＋a≤0恒成立等价于a≤－x2＋2x恒成 立．令f (x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈[－1，2]，当x＝－1时，f (x)min＝－ 3，所以a≤－3.故选A．
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2．不等式x－ax1 <1的解集为 x x<1或x>2}，则a的值为________.
1 2
解析：因为原不等式可化为 a－x－1 1x+1<0，即(x－1)·[(a－1)x＋1]<0，所以由
题意得ቐ－a－a－11<10＝，2，解得a＝12.
第四节 一元二次不等式及其解法
≤0
，则M∩N＝
()
A．[－3，2]
B．(0，3]
C．[－3，2)
√D．(0，2]
D 解析：由x(3－x)>0，可得x(x－3)<0，解得0<x<3，所以M＝{x|0<x<3}．又由
xx－+32≤0，可得൝x(+x－3≠2)0，x+3 ≤0， 解得－3<x≤2，所以N＝{x|－3<x≤2}，所以 M∩N＝(0，2].故选D．
必备知识
落实“四基”
自查自测 知识点一 一元二次不等式 1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ ) (2) 若 方 程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 没 有 实 数 根 ， 则 不 等 式 ax2 ＋ bx ＋ c>0 的 解 集 为 R.( × ) (3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一 定不是空集．( √ )
第一章 预备知识 第四节 一元二次不等式及其解法
·考试要求· 1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现 实意义． 2．结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函 数的零点与方程根的关系． 3．掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式的方法．
第四节 一元二次不等式及其解法
D．(4，5)
B 解析：A＝{x|1<x<4}，B＝{x|2<x<5}，故A∪B＝(1，5)．故选B．
第四节 一元二次不等式及其解法
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
3 ． (2024·日 照 模 拟 ) 若 集 合 M ＝ {x|x(3 － x)>0} ， N ＝
x
x－2 x+3