2025届高考数学复习：历年高考真题专项(抛物线)阶梯练习(附答案)

2025届高考数学复习：历年高考真题专项（抛物线）阶梯练习
[基础强化]
一、选择题
1．抛物线y＝1
4x
2的焦点到其准线的距离为()
A．1 B．2
C．1
2D．
1
8
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为() A．(－1，0) B．(1，0)
C．(0，－1) D．(0，1)
3．动点M到点F(2，1)的距离和到直线l：3x＋4y－10＝0的距离相等，则动点M的轨迹为()
A．抛物线B．直线C．线段 D．射线
4．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x2
3－y
2＝1的右焦点重合，则p的值为()
A．－4B．4 C．－2D．2
5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则|AB|＝()
A.2 B．22
C．3 D．32
6．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆x2
3p＋
y2
p＝1的一个焦点，则p＝()
A．2B．3 C．4D．8
7.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则抛物线的方程为()
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
8．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA → ꞏOB →
等于( ) A ．34 B ．－3
4 C ．3 D ．－3
9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为(3，y 0)时，△AEF 为正三角形，则此时△OAB 的面积为( )
A ．433
B ．3
C ．233
D ．33 二、填空题
10．已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．
11．已知点A ()1，5 在抛物线C ：y 2＝2px 上，则A 到C 的准线的距离为________． 12．已知直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．
[能力提升]
13．(多选)[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]设O 为坐标原点，直线y ＝－3 (x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( )
A ．p ＝2
B ．|MN |＝8
3
C ．以MN 为直径的圆与l 相切
D ．△OMN 为等腰三角形
14．(多选)[2024ꞏ新课标Ⅱ卷]抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l ，P 为C 上动点，过P 作⊙A ：x 2＋(y －4)2＝1的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B .则( )
A ．l 与⊙A 相切
B ．当P ，A ，B 三点共线时，|PQ |＝15
C ．当|PB |＝2时，P A ⊥AB
D ．满足|P A |＝|PB |的点P 有且仅有2个
15．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，抛物线C 有一点P ，过点P 作PM ⊥l ，垂足为M ，若等边△PMF 的面积为43，则p ＝________．
16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A ，B
两点(点A在x轴上方)，则|AF|
|BF|＝________.
参考答案
[基础强化]
一、选择题
1．抛物线y ＝1
4 x 2的焦点到其准线的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．12 D ．18 答案：B
答案解析：y ＝1
4 x 2可化为x 2＝4y ，则焦点到准线的距离为12 ×4＝2.
2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为( ) A ．(－1，0) B ．(1，0) C ．(0，－1) D ．(0，1) 答案：B
答案解析：∵y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2 ，又准线过点(－1，1)，∴－p
2 ＝－1，∴p ＝2，故其焦点坐标为(1，0).
3．动点M 到点F (2，1)的距离和到直线l ：3x ＋4y －10＝0的距离相等，则动点M 的轨迹为( )
A ．抛物线
B ．直线
C ．线段
D ．射线 答案：B
答案解析：∵F (2，1)在直线l ：3x ＋4y －10＝0上，∴动点M 的轨迹为过点F 且与直线l 垂直的直线．
4．若抛物线y 2
＝2px 的焦点与双曲线x 2
3 －y 2＝1的右焦点重合，则p 的值为( )
A ．－4
B ．4
C ．－2
D ．2 答案：B
答案解析：∵x 2
3 －y 2＝1的右焦点为(2，0)，∴p 2 ＝2，p ＝4.
5．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点A 在C 上，点B (3，0)，若|AF |＝|BF |，则|AB |＝( )
A.2 B ．22
C ．3
D ．32 答案：B
答案解析：由已知条件，易知抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.又B (3，0)，则|AF |＝|BF |＝2.不妨设点A 在第一象限，则A (x 0，2x 0 ).根据抛物线的定义可知x 0－(－1)＝2，所以x 0＝1，所以A (1，2)，所以|AB |＝（1－3）2＋（2－0）2 ＝22 .故选B.
6．若抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2
p ＝1的一个焦点，则p ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8 答案：D
答案解析：由题意，知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0 ，椭圆的焦点坐标为(±2p ，0)，所以p
2 ＝2p ，解得p ＝8，故选D.
7.
如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则抛物线的方程为( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝4x
C ．y 2＝2x
D ．y 2＝x 答案：B 答案解析：
如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，交准线于点E ，D ，设准线与x 轴交于点G ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中，
∵|AF |＝4，|AC |＝4＋3a ，
∴2|AE |＝|AC |，∴4＋3a ＝8，从而得a ＝43 ，∵AE ∥FG ，∴FG AE ＝CF AC ，即p 4 ＝4
8 ，得p ＝2.∴抛物线方程为y 2＝4x .故选B.
8．设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x 与过焦点的直线交于A ，B 两点，则OA → ꞏOB →
等于( ) A ．34 B ．－3
4 C ．3 D ．－3 答案：B
答案解析：当AB 与x 轴垂直时，A ⎝⎛⎭⎫1
2，1 ， B ⎝⎛⎭⎫12，－1 ，OA → ꞏOB → ＝12 ×12 ＋1×(－1)＝－34 ； 当AB 与x 轴不垂直时， 设l ：y ＝k ⎝⎛⎭
⎫x －1
2 ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －12，y 2＝2x ，
得k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k 24 ＝0 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)
由韦达定理得x 1＋x 2＝k 2＋2k 2 ，x 1x 2＝14 ， ∴OA → ꞏOB →
＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2⎝⎛⎭⎫x 1－12 ⎝⎛⎭⎫x 2－12 ＝(1＋k 2
)x 1x 2－12 k 2(x 1＋x 2)＋k 24 ＝－3
4 .
9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点坐标为(3，y 0)时，△AEF 为正三角形，则此时△OAB 的面积为( )
A ．433
B ．3
C ．233
D ．33 答案：A
答案解析：不妨设点A 在第一象限，
如图所示，过点F 作AE 的垂线，垂足为H ，由题知当A 的坐标为(3，y 0)时△AEF 为正
三角形，此时H 为AE 的中点，|AE |＝3＋p 2 ，|EH |＝p ，∴2p ＝3＋p
2 ，解得p ＝2，∴y 2＝4x ，A (3，2
3 )，F (1，0)，∴k AF ＝3 ，直线AF 的方程为y ＝3 (x －1)，代入抛物线方程得3(x －1)2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，解得x 1＝3，x 2＝13 ，此时y 1＝23 ，y 2＝－233 ，∴S △AOB ＝S △OFB ＋S △OF A ＝12 ×1×(233 ＋23 )＝43
3 ，故选A.
二、填空题
10．已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________．
答案：x ＝－3
2
答案解析：抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 ， ∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，
所以P 的横坐标为p
2 ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为±p ， 不妨设P (p
2 ，p )，
因为Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，所以Q 在F 的右侧， 又∵|FQ |＝6，
∴Q (6＋p 2 ，0)，∴PQ →
＝(6，－p )
因为PQ ⊥OP ，所以PQ → ꞏOP →
＝p 2 ×6－p 2＝0， ∵p >0，∴p ＝3，
所以C 的准线方程为x ＝－3
2 .
11．已知点A ()1，5 在抛物线C ：y 2＝2px 上，则A 到C 的准线的距离为________． 答案：94
答案解析：将点A 的坐标代入抛物线方程，得5＝2p ，于是y 2＝5x ，则抛物线的准线方程为x ＝－5
4 ，所以A 到准线的距离为1－⎝⎛⎭⎫－54 ＝94
. 12．已知直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________． 答案：0或1
答案解析：由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，
y 2
＝8x ， 得k 2x 2＋(4k －8)x ＋4＝0， 若k ＝0，满足题意；若k ≠0，则Δ＝(4k －8)2－4×4k 2＝0，得k ＝1.综上得k ＝0或k ＝1.
[能力提升]
13．(多选)[2023ꞏ新课标Ⅱ卷]设O 为坐标原点，直线y ＝－3 (x －1)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则( )
A ．p ＝2
B ．|MN |＝8
3
C ．以MN 为直径的圆与l 相切
D ．△OMN 为等腰三角形 答案：AC
答案解析：由题意，易知直线y ＝－3 (x －1)过点(1，0).
对于A ，因为直线经过抛物线C 的焦点，所以易知焦点坐标为(1，0)，所以p
2 ＝1，即p ＝2，所以A 选项正确．
对于B ，不妨设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1<x 2，联立方程得⎩⎨
⎧y ＝－3（x －1）
y 2
＝4x
，消去y 并整理得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝13 ，x 2＝3.所以M (13 ，23
3 )，N (3，－23 )，
所以由两点间距离公式可得|MN |＝（3－13）2－（－23－233）2 ＝16
3 ，故B 选项
错误．
对于C ，由以上分析易知，l 的方程为x ＝－1，以MN 为直径的圆的圆心坐标为(5
3 ，－23
3
)，半径r ＝12 |MN |＝83 ＝53 ＋1，所以以MN 为直径的圆与l 相切，故C 选项正确． 对于D ，由两点间距离公式可得|MN |＝163 ，|OM |＝133 ，|ON |＝21 ，故D 选项错误．综上，选AC.
14．(多选)[2024ꞏ新课标Ⅱ卷]抛物线C ：y 2＝4x 的准线为l ，P 为C 上动点，过P 作⊙A ：x 2＋(y －4)2＝1的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B .则( )
A ．l 与⊙A 相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝15
C．当|PB|＝2时，P A⊥AB
D．满足|P A|＝|PB|的点P有且仅有2个
答案：ABD
答案解析：
∵y2＝4x，∴准线l为直线x＝－1，∵⊙A圆心为A(0，4)，半径为1，作出抛物线C与⊙A如图所示．∴l与⊙A相切，故A正确．当P，A，B三点共线时，∵A(0，4)，∴P点坐标为(4，4), ∵|P A|＝4，|AQ|＝1，∴|PQ|＝42－1＝15，故B正确．当|PB|＝2时，P点坐标为(1，2)或(1，－2).当P点坐标为(1，2)时，点B坐标为(－1，2)，|P A|＝12＋（4－2）2＝5＝|AB|，而|PB|＝2，|P A|2＋|AB|2≠|PB|2，此时P A与AB不垂直；当P点坐标为(1，－2)时，B点坐标为(－1，－2)，|P A|＝12＋（4＋2）2＝37＝|AB|，而|PB|＝2，则|P A|2＋|AB|2≠|PB|2，此时P A与AB不垂直，故C错误．对于D，设点P的横坐标为m(m>0)，则点P坐标为(m，2m )或(m，－2m )，|PB|＝m＋1.当P点坐标为(m，2m )时，|P A|＝m2＋（2m＋4）2，∵|P A|＝|PB|，∴|P A|2＝|PB|2，即m2＋4m＋16－16m ＝m2＋1＋2m，
化简得2m＋15－16m ＝0，解得m1＝49
2＋434，m2＝
49
2－434，当P点坐标为(m，
－2m )时，|P A|＝m2＋（2m＋4）2，同理，由|P A|＝|PB|，得2m＋16m ＋15＝0，解
得m ＝－8＋34
2<0或m ＝
－8－34
2<0，不符合题意，因此满足|P A|＝|PB|的点P有且
仅有2个，故D正确．故选ABD.
15．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，抛物线C有一点P，过点P作PM⊥l，垂足为M，若等边△PMF的面积为43，则p＝________．
答案：2
答案解析：设准线l和x轴交于N点，PM平行于x轴，∠PMF＝∠MFN＝60°，由抛
物线的定义得到|NF|＝p，故|MF|＝2p，故3
(2p)2＝43，∴p＝2.
16．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点(点A 在x 轴上方)，则|AF |
|BF | ＝________.
答案：3 答案解析：
如图所示，由题意得准线l ：x ＝－p
2 .作AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，BH ⊥AC 于点H ，则|AF |＝|AC |，|BF |＝|BD |，|AH |＝|AC |－|BD |＝|AF |－|BF |，因为在Rt △AHB 中，∠HAB ＝60°，所以cos 60°＝|AH |
|AB | ＝|AF |－|BF ||AF |＋|BF |
，
即12 (|AF |＋|BF |)＝|AF |－|BF |，得|AF |
|BF | ＝3.。