2020-2021学年银川一中高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年银川一中高一上学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若直线x=2019的倾斜角为a，则a()
A. 等于0°
B. 等于180°
C. 等于90°
D. 等于2019°
2.已知两条不同的直线l1，l2，l1⊥l2，在l1上任取不同的三点，在l2上任取不同的两点，由这5个
点所确定的平面的个数为()
A. 5
B. 4
C. 3
D. 1
3.如果幂函数f(x)=xα的图象经过点( 3 , 1
9
)，则α=()
A. −2
B. 2
C. −1
2D. 1
2
4.设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx−y−m+3=0交于点P(x,y)，
则|PA|⋅|PB|的最大值是()
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
5.已知命题p：对任意实数m，有m+1≥0；命题q：存在实数x使x2+mx+1≤0，若“￢p∨￢q”
为假命题，则实数m的取值范围是()
A. (−∞,−2]
B. [−2,2]
C. [2,+∞)
D. (−∞,−2]∪(−1，+∞)
6.已知某几何体的三视图如右图所示，其中，主(正)视图，左(侧)视图
均是由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接直角三角形构成，
根据图中的数据可得此几何体的体积为()
A.
B.
C.
D.
7.若函数f(x)={x+3x,x≤0
1
3
x3−4x+a
3
,x>0在其定义域上只有一个零点，则实数a的取值范围是()
A. a>16
B. a≥16
C. a<16
D. a≤16
8.已知直线kx−y+k+1=0过定点A，则点A关于x+y−3=0对称点的坐标为()
A. (2,4)
B. (4,2)
C. (2,2)
D. (4,4)
9.若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点(m,n)的直线与椭圆x2
9+y2
4
=1的公共
点个数为()
A. 至多一个
B. 0个
C. 1个
D. 2个
10.设命题函数的最小正周期为；命题函数的图像关于直线对
称.下列判断正确的是()
A. 为真
B. 为假
C. 为假
D. 为真
11.直线x−y+5=0与圆C：x2+y2−2x−4y−4=0相交所截得的弦长等于()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
12.若直线ax+by+c=0经过一、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx+c的零点(即与x轴的交
点)个数为()
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.圆C1：x2+y2+2x−3=0与圆C2：x2+y2−4x−8y+m=0恰有四条公切线，则实数m的
取值范围为．
14.在正三棱锥P−ABC中，点P，A，B，C都在球O的球面上，PA，PB，PC两两互相垂直，且球
心O到底面ABC的距离为√3
3
，则球O的表面积为______ ．
15.如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留
量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y=a t(a>0,a≠1,t≥0)，
有以下叙述：
①第4个月时，剩留量就会低于1
5
；
②每月减少的有害物质量都相等；
③若剩留量为1
2,1
4
,1
8
所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3
其中所有正确的叙述是______．
16.如果一个八面体各个面都是全等的正三角形，如图所示，则这个几何体叫
正八面体，则棱长为4的正八面体的内切球半径是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知两条平行直线l1：√3x−y+1=0与l2：√3−y+3=0．
(1)若直线m经过点(√3,4)，且被l1、l2所截得的线段长为2，求直线m的方程；
(2)若直线n与l1、l2都垂直，且与坐标轴构成的三角形的面积是2√3，求直线n的方程．
18.如图，在三棱锥S−ABC中，SA⊥底面ABC，AC=AB=SA=2，
AC⊥AB，D，E分别是AC，BC的中点，F在SE上，且SF=2FE．
(1)求证：AF⊥平面SBC；
(2)在线段上DE上是否存在点G，使二面角G−AF−E的大小为30°？
若存在，求出DG的长；若不存在，请说明理由．
19.(本小题满分13分)
专家通过研究学生的学习行为，发现学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间(分钟)的变化规律(越大，表明学生注意力越大)，
经过试验分析得知：
(Ⅰ)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多少分钟？
(Ⅱ)讲课开始后5分钟时与讲课开始后25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？
(Ⅲ)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲完这道题目？
20.如图所示，四棱锥V−ABCD的底面为边长等于2cm的正方形，顶点V与
底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC=4cm，求这个正四棱锥
的体积．
21.已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且AD=
AB=1，M是PB的中点．
CD=1
2
(1)求证：直线CM//平面PAD；
(2)若PA=2，求二面角A−MC−B的正弦值．
22.已知过点P(4,1)的直线l被圆(x−3)2+y2=4所截得的弦长为2√3，求直线l的方程．
参考答案及解析
1.答案：C
解析：解：∵直线x=2019垂直于x轴，
∴直线的倾斜角为：90°，
故选：C．
由直线x=2019垂直于x轴，即可得到直线的倾斜角．
本题主要考查了与x轴垂直的直线的倾斜角，是基础题．
2.答案：D
解析：解：已知两条不同的直线l1，l2，l1⊥l2，在l1上任取不同的三点，在l2上任取不同的两点，则两条相交的直线可以确定一个平面，即两直线上的这5个点所确定的平面的个数为一个．
故选：D．
由确定平面的充要条件可得答案．
本题考查能确定一个平面的充要条件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．
3.答案：A
)，
解析：解：幂函数f(x)=xα的图象经过点( 3 , 1
9
则3α=1
，解得α=−2．
9
故选：A．
把点的坐标代入幂函数f(x)的解析式，解方程求出α的值．
本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
4.答案：B
解析：
本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．
先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB，再利用基本不等式即可得出|PA|⋅|PB|的最大值．
解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A(0,0)，
动直线mx−y−m+3=0即m(x−1)−y+3=0，经过定点B(1,3)，
注意到动直线x +my =0和动直线mx −y −m +3=0始终垂直，P 又是两条直线的交点， 则有PA ⊥PB ，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．
故|PA|⋅|PB|≤|PA|2+|PB|22=5(当且仅当|PA|=|PB|=√5时取“=”)
故选：B ．
5.答案：C
解析：解：根据题意，命题p ：对任意实数m ，有m +1≥0，必有m ≥−1，
命题q ：存在实数x 使x 2+mx +1≤0，即x 2+mx +1≤0有解，
△=m 2−4≥0，解得m ≥2或m ≤−2，
若“￢p ∨￢q ”为假命题，即p 、q 都是真命题，则有{m ≥−1m ≥2或m ≤−2
， 解可得：m ≥2，即实数m 的取值范围是[2,+∞)；
故选：C ．
根据题意，求出p 、q 为真时m 的取值范围，分析可得p 、q 都是真命题，据此分析可得答案． 本题考查复合命题真假的判断，涉及全称、特称命题真假的判断方法，属于基础题．
6.答案：C
解析：试题分析：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得.选C ．
考点：三视图，几何体的体积．
7.答案：A
解析：解：①当x ≤0时，f(x)=x +3x ．
∵函数y =x 与y =3x 在x ≤0时都单调递增，
∴函数f(x)=x +3x 在区间(−∞,0]上也单调递增．
又f(−1)<0，f(0)=1>0，
∴函数f(x)在(−1,0)内有一个零点，如图所示．。