矩形直肋散热器的散热量的计算方法_secret

矩形直肋散热器的散热量的计算方法
关键词 散热量 解析方法 数值解法
摘要 本文介绍了矩形直肋散热器在导热、对流与辐射同时存在的换热中，计算散热量的方法：解析方法、数值解法，分别讨论了两种方法的物理意义和应用。

并通过试验验证了两种方法的可靠性。

0引言：
肋指的是在原有换热表面上增添的一些突出部分，它使原有换热表面得以扩展。

各种热设备中的散热器矩形直肋是这类问题最典型的例子，通过矩形直肋可达到减小表面换热热阻增强传热的目的。

因此，散热器矩形直肋散热量的计算也成为了一个人们关注的问题。

作者在前人研究的基础上，对解析法和数值解法做了详细的介绍和对比，并通过实验验证了两种计算方法的可靠性。

指出了解析法以单个肋为主要的研究对象，主要用于单个肋体中温度分布的分析及其散热量的计算；而数值解法以单个肋和肋间壁面为主体，即以整个散热器为主要的研究对象，主要用于整个散热器的散热量的计算。

1计算散热量的解析解法
1.1解析解法计算过程
肋片在空气中进行自然对流冷却时，即使在常温的状态下，辐射散热量和对流散热量也相当，所以，肋片散热量的计算中就必须考虑辐射换热。

矩形直肋温度分布的微分方程为： )()(k 4422f T T hU U T T dx
T d A -+-=∞εσ (1) 边界条件：0,;,0====dx
dT H x T T x W . 对方程（1）及边界条件进行无因次化，取W f f W W T T T T H x X T T /,/,/,/====∞∞θθθ,
带入（1）式后得到：)()(2442
222f W kA hUH kA H UT dX
d θθθθεσθ-+-=∞ (2)
边界条件：0101==X dX d θ
θ，）＝（
式中 A —矩形直肋横截面积，m 2； H —肋的高度,m ；
U —肋的周长,m ； ε—肋的表面辐射系数；
k —肋的导热系数,W/m ·℃； h —肋表面对流换热系数W/m 2
·℃；
f T —环境温度,K ； ∞T —环境辐射温度，K,∞T 不一定等于f T ； W T —肋基温度,K ； σ—玻耳兹曼常数，5.67×10-8W/m 2·K 4. 由于（2）式中含有4
θ项，该方程为非线性定解微分方程，要想得到该方程的解析解可将4θ近似线性化，简化处理为：4θ≈θθ⋅3,其中2/)W f θθθ+＝（（误差分析见参考文献[1]），则公式（2）可写成
)()(243222
2f b kA hUH kA H UT dX d θθθθθεσθ-+-⋅=∞ （3） 此时，公式（3）为常系数二阶线性微分方程，该方程与边界条件联立求解得到 肋中的温度分布121112)
(ch )]1([ch )1C C C X C C C +--＝（θ (4) 矩形直肋的散热量)th )/1(11210C C C C kA H T dx dT kA
q b x （⋅-=-== (5) 式中 kA hUH kA H UT C b 23
2
21+=θεσ,kA hUH kA H UT C b 2
42
22+=*θεσ. 1.2解析解法的物理意义及应用
由近似线性化得到解析解，肋中的温度分布表达式对于分析单个肋体各个部分的温度变化有重要的意义。

运用矩形直肋的散热量公式使得求解矩形直肋散热量值简单易行。

2计算散热量的数值解法
2.1数学模型的建立
肋片的数值解法是以单个肋片及肋间壁面为研究对象，因此在计算辐射换热时，要考虑肋片与肋间壁面之间的辐射换热。

为方便分析，做出如下假定：（1）传热处于稳态，为一维；
（2）肋片是漫灰体，其导热系数和辐射率不随温度变化；（3）肋片温度只随肋高变化，肋间壁面温度均匀，等于T W ;(4)周围流体温度恒定T f ，并为周围环境辐射温度；（5）肋片为等截面的矩形直肋，几何尺寸如图2所示。

对其中一对肋片进行分析，其数学描述为：
)()(2
2y q T T h q q dx T d k r f r c +-=+=δ （6） )]()([1)(4y B y T y q r --=σε
ε
（7） ])(')'()[1()()(0
)()(40)(40'⎰⎰---++-+=W dA dA A dAy f H dA dA w y y y dF x C dF T dF y B y T y B σεεσ （8） ])(2)[1()()(4
0)(40A dA f H dA dA W W y W dF T dF y B T x C --+-+=⎰σεεσ （9） W T T y ==,0 （10） 0,==dy
dT H y （11） 式中 δ—散热器肋片的半厚度，m;W —肋间距离，m;L —肋的长度，m,其他参数同前。

分别求解肋片对不同方位的角系数
【2】： Ⅰ.肋片对肋片的角系数：'))'(1(2132
2'dy y y L L dF y y dA dA -+=-； Ⅱ.肋片对底面的角系数：2/322)
(21x y xdx y dF W y dA dA +⋅⋅=-； Ⅲ.底面对肋片的角系数：2/322)(21x y xdy y dF y W dA dA +⋅⋅=
-； Ⅳ.肋片对肋间上部空间的角系数：H L L dF A dA y +=
-20； Ⅴ.底面对肋间上部空间的角系数：H
L L dF A dA W 20+=
-； 2.2数值法求解 所谓数值解法，就是寻求解)(y T 在一系列离散节点⋅⋅〈⋅〈⋅〈⋅〈⋅〈+121n n y y y y 上的近似值
⋅⋅⋅⋅⋅⋅+,,,,,121n n T T T T 。

本文中所给非线性微分方程中的边界条件为初值和边值的混合问题，因此，不能直接用龙格－库塔方法求解。

而首先是设法将边值问题转化为初值问题来求解，即依据边界条件寻求与它等价的初始条件。

本文在此采用试射法【3】，即反复调整初始时刻的斜率值m T =)0('，使)('y T 能“命中”0)('=H T ，直到计算结果0)('≈H T 为止。

反复运用龙格－库塔方法和试射法相结合，由傅立叶定律可以求出每个肋片的散热量：
0)/(2=-=y dy dT L k Q δ （11） 肋片与肋间壁面的总散热量为：
)()2(]2)
(2[36.1)][14
104f W f W W
W T T T L W W L T T dx x C T L Q Q ---+-+--+=⎰δδσεε（ （12） 2.3数值解法的物理意义及应用
随着“热”成为一种商品进入人们生活中，如何提高以肋片为换热元件的散热器的热工性能已经备受关注。

矩形直肋散热量的数值解法对散热器结构（肋高、肋厚、肋间距、肋长）优化有重要的意义。

数值解法以单个肋体和肋间壁面为研究对象，因此可求得整个散热器的散热量，这就大大减少了繁冗的实验次数，也极大提高了试验的效率。

3应用举例
分析一个具有下列特性的矩形直肋散热器。

某铝合金矩形直肋散热器，肋厚＝δ20.001m ；肋高H=0.01m ；肋长L ＝0.365m ；肋间距W=0.00883m ；肋片的导热系数k=177W/m ·℃；肋片表面换热系数h=5.034 W/m 2·℃；环境温度T f =293K ；环境辐射温度T ∞= T f =293K ；T W =355.5K ；玻耳兹曼常数σ＝5.67×10
（－8）W/m 2·K 4；肋的表面辐射系数ε＝0.043[4]。

3.1应用解析解法
将相应的已知量带入公式（4）、（5）中得到： θ＝0.189ch[0.0762(1-X )]+0.81；q =2.286W
3.2应用数值解法
将相应的已知量带入公式（6）～（11）中，用MATLAB 对方程求解，得到：
Q =2.426W ；T Q ＝3.511W 。

经过计算可得W Q 1306)5.62(=
3.3两种方法数值的比较
4实验验证
4.1实验测定的散热器肋片的几何结构见图，上下联箱均为0.047×0.047m 2的方形管，散热器共有8柱，每柱散热器前后共有22个肋片，散热器表面经过打磨、抛光、喷涂等处理后，表面喷塑成白色，肋的表面辐射系数与未加工处理前的表面辐射系数有显著的增长，因此，取ε【4】＝0.8，其他参数同前。

实验测定了三组数据，用最小二乘法拟合为563.1908.1t Q ∆=，则W Q 1223)
5.62(=。

4.2误差分析
经分析，由国家计量部门鉴定整个实验台测量误差为3％，散热器表面温度不同简化成平均温度（由热相仪测得散热器表面温度）造成的误差范围为2.1％～9.8％，整个实验合成误差为8.5％，基本能满足工程上评价散热器对室内热环境的影响。

5结论
5.1通过解析解法可得到一系列连续的解，对定量的分析单个肋体中温度分布有重要的意义，也使单个肋体散热量的计算简单易行，有助于单个肋体的结构优化。

通过数值解法可得到一系列离散的解，对定性的分析肋体与肋间壁面中的温度分布与变化有重要的意义，运用数值方法计算整个散热器的散热量成为了试验前阶段不可或缺的重要步骤。

5.2笔者认为在运用以上两种方法进行肋体的分析和计算时，首先要了解两种方法各自的物理意义以及适用的范围。

尤其对于辐射系数的选取，要根据实际散热器的外表面处理情况做出合理的选择。

5.3文中介绍的两种计算方法都对矩形直肋的优化以及散热器的优化有重要的意义，同时不能忽视试验的作用。

对于矩形直肋的温度分布与散热量的计算方法最终要靠试验来验证数据的可靠性。

参考文献
1 李安桂，吴业正.在综合换热作用下矩形直肋散热器换热特性.西安冶金建筑学院学报，1994，26（1）.
2 杨贤荣，辐射换热角系数手册，国防工业出版社，1982.
3李庆扬，王能超，易大义，数值分析.武昌：华中科技大学出版社，2002
4章熙民,任泽霈,梅飞鸣,传热学.北京: 中国建筑工业出版社,1993。