《2016届走向高考》高三数学一轮(人教A版)阶段性测试题5(平面向量)

阶段性测试题五(平 面 向 量)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2015·皖南八校联考)已知点A (2，－12)，B (12，32)，则与向量AB →
方向相同的单位向量是
( )
A ．(35，－4
5)
B ．(45，－3
5)
C ．(－35，45)
D ．(－45，35
)
[答案] C
[解析] AB →＝(－32，2)，|AB →
|＝
(－32)2＋22＝52
， ∴AB →|AB →
|
＝(－35，45)．
2．(2014·韶关市曲江一中月考)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，1
2)，则下列结论中正确的是( )
A ．|a |＝|b |
B ．a ·b ＝2
2
C ．a －b 与b 垂直
D ．a ∥b
[答案] C
[解析] ∵|a |＝1，|b |＝
22，a ·b ＝12，∴A 、B 错；∵1×12－0×12
≠0，∴a ∥b 不成立；∵(a －b )·b ＝(12，－12)·(12，12)＝14－14
＝0，选C ．
3．(2014·湖南省五市十校联考)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，向量m ＝(a ＋c ，a －b )，n ＝(b ，a －c )，若m ∥n ，则∠C ＝( )
A ．π6
B ．π
3
C ．π2
D ．2π3
[答案] B
[解析] ∵m ∥n ，∴(a ＋c )(a －c )－b (a －b )＝0，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1
2
，
∴C ＝π3
.
4．(2015·沈阳市一模)若向量a 、b 满足a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，则向量a 与b 的夹角等于( )
A ．45°
B ．60°
C ．120°
D ．135°
[答案] D
[解析] 由a ＋b ＝(2，－1)，a ＝(1,2)，得
b ＝(1，－3)，从而cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－55×10＝－22.
∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝135°.
5．(文)(2014·安徽程集中学期中)已知向量a 、b 满足|a |＝1，|a ＋b |＝7，〈a ，b 〉＝π
3，则
|b |等于( )
A ．2
B ．3
C ．3
D ．4 [答案] A
[解析] 设|b |＝m ，则a ·b ＝m cos π3＝m
2，|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝1＋m 2＋m ＝7，∴m 2＋m
－6＝0，
∵m >0，∴m ＝2.
(理)(2014·哈六中期中)已知向量a 、b 满足，|a |＝2，a ⊥(a －2b )，2|a
2－b |＝3|b |，则|b |的
值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2 3 [答案] B
[解析] 设|b |＝m ，∵a ⊥(a －2b )，∴a ·(a －2b )＝|a |2－2a ·b ＝4－2a ·b ＝0，∴a ·b ＝2，将2|a
2－
b |＝3|b |两边平方得，4(|a |2
4
＋|b |2－a ·b )＝3|b |2，
即4(1＋m 2－2)＝3m 2，∴m 2＝4，∴m ＝2.
6．(2014·北京朝阳区期中)已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(2,1)，c ＝(－4，－2)，则下列结论中错误．．
的是( )
A ．向量c 与向量b 共线
B ．若c ＝λ1a ＋λ2b (λ1、λ2∈R )，则λ1＝0，λ2＝－2
C ．对同一平面内任意向量d ，都存在实数k 1、k 2，使得d ＝k 1b ＋k 2c
D ．向量a 在向量b 方向上的投影为0 [答案] C
[解析] ∵c ＝－2b ，∴向量c 与向量b 共线，∴选项A 正确；由c ＝λ1a ＋λ2b 可知，
⎩⎪⎨⎪⎧ －4＝λ1＋2λ2－2＝－2λ1＋λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ1＝0，λ2＝－2，
∴选项B 正确；向量c 与向量b 共线，所以由平面向量的基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量，∴选项C 错误；a ·b ＝0，所以a ⊥b ，夹角是90°，向量a 在向量b 方向上的投影为|a |cos90°＝0，∴D 正确．
7．(2015·湖南师大附中月考)若等边△ABC 边长为23，平面内一点M 满足CM →＝12CB →＋
2
3OA →，则MA →·MB →
＝( )
A ．－1
B ． 2
C ．－2
D ．2 3
[答案] C
[解析] 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件可知：A (0,3)，B (－3，0)，C (3，0)，
设M (a ，b )，CM →＝12CB →＋23OA →＝1
2(－23，0)＋23(0,2)＝(－3，2)，
又CM →＝OM →－OC →
＝(a ，b )－(3，0)＝(a －3，b )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a －3＝－3，
b ＝2，
∴a ＝0，b ＝2， ∴M (0,2)，所以MA →＝(0,1)，MB →
＝(－3，－2)， 因此MA →·MB →＝－2.故选C ．
8．(2015·石光中学阶段测试)已知m >0，n >0，向量a ＝(m,1)，b ＝(1－n,1)，且a ∥b ，则
1
m ＋2
n
的最小值是( ) A ．2 B ．2＋1 C ．22－1 D ．3＋2 2
[答案] D
[解析] ∵a ∥b ，∴m －(1－n )＝0，∴m ＋n ＝1，
∵m >0，n >0，∴1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(m ＋n )＝3＋n m ＋2m
n ≥3＋2 2.
等号成立时，⎩⎪⎨⎪⎧
n m ＝2m n ，m ＋n ＝1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2－1，
n ＝2－ 2.
9．(文)(2014·河南淇县一中模拟)已知双曲线x 2
－y 2
3
＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P
为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→
的最小值为( )
A ．－2
B ．－8116
C ．1
D ．0
[答案] A
[解析] 由条件知，A 1(－1,0)，F 2(2,0)，∵P 在双曲线右支上，∴P 在上半支与下半支上结论相同，
设P (x 0，
3x 20－3)，x 0≥1，
∴P A 1→·PF 2→＝(－1－x 0，－3x 20－3)·
(2－x 0，－3x 20－3)＝(－1－x 0)(2－x 0)＋(3x 20－3)＝4x 2
0－
x 0－5＝4(x 0－18)2－8116
，
∴当x 0＝1时，(P A 1→·PF 2→
)min ＝－2，故选A ．
(理)(2015·成都市树德中学期中)已知a ＝(x 5，y 26)，b ＝(x 5，－y 26)，曲线a ·b ＝1上一点M
到F (7,0)的距离为11，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，则|ON |＝( )
A ．11
2
B ．212
C ．12
D ．212或12
[答案] B
[解析] 由a ·b ＝1得，x 225－y 2
24＝1，易知F (7,0)为其焦点，设另一焦点为F 1，由双曲线的
定义，||MF 1|－|MF ||＝10，∴|MF 1|＝1或21，显然|MF 1|＝1不合题意，
∴|MF 1|＝21，ON 为△MF 1F 2的中位线，∴|ON |＝
212
. 10．(2014·开滦二中期中)已知△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝43，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则AP →·(AB →＋AC →)满足( )
A ．最大值为16
B ．最小值为4
C ．为定值8
D ．与P 的位置有关
[答案] C
[解析] 设BC 边中点为D ，〈AP →，AD →〉＝α，则|AD →|＝|AP →
|·cos α，
∵AB ＝AC ＝4，BC ＝43，∴∠BAC ＝120°，∴0°≤α≤60°， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·2AD →＝2|AP →|·|AD →|·cos α ＝2|AD →
|2＝8.
11．(2014·哈六中期中)已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAC ＝45°，AD ＝2，AB ＝2，BC ＝1，P 是边AB 所在直线上的动点，则|PC →＋2PD →
|的最小值为( )
A ．2
B ．4
C ．522
D ．25
2
[答案] C
[解析] ∵AB ＝2，BC ＝1，∠BAC ＝45°， ∴AB ·sin ∠BAC ＝BC ，∴AC ⊥BC ，
以C 为原点直线BC 与AC 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系如图，则C (0,0)，B (－1,0)，A (0,1)，D (2,1)，
∵P 在直线AB ：y －x ＝1上，
∴设P (x 0,1＋x 0)，则PC →＋2PD →
＝(－x 0，－1－x 0)＋2(2－x 0，－x 0)＝(4－3x 0，－1－3x 0)， ∴|PC →＋2PD →
|2＝(4－3x 0)2＋(－1－3x 0)2＝18x 20－18x 0＋17＝18(x 0
－12)2＋252， ∴当x 0＝12时，|PC →＋2PD →
|min ＝522
，故选C ．
12．(文)(2015·遵义航天中学二模)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →
＝13
CA →＋λCB →
，则λ的值为( ) A ．23
B ．13
C ．－13
D ．－23
[答案] A
[解析] 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点∵AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，∴CD →＝CA →＋AD
→
＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →
，∴λ＝23
，故选A ．
(理)(2014·海南省文昌市检测)如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，OD ＝3，点P 为△BCD 内(含边界)的动点，设OP →＝αOC →＋βOD →
(α，β∈R )，则α＋β的最大值等于( )
A ．14
B ．43
C ．13
D ．1
[答案] B
[解析] 以O 为原点，OA 、OC 分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则由条件知，C (0,1)，A (1,0)，B (1,1)，D (3,0)，OP →＝αOC →＋βOD →
＝(3β，α)，
设P (x ，y )，则⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3β，
y ＝α，
∵P 在△BCD 内，∴⎩⎨⎧
x ＋3y －3≥0，
x ＋2y －3≤0，
y ≤1.
∴⎩⎨⎧
β＋α－1≥0，3β＋2α－3≤0，α≤1.
作出可行域如图，
作直线l 0：α＋β＝0，平移l 0可知当移到经过点A (1，13)时，α＋β取最大值4
3，故选B ．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．) 13．(文)(2015·鹰潭一中、宜春中学、新余四中联考)向量a ，b ，c 在单位正方形网格中的位置如图所示，则a ·(b ＋c )＝
________.
[答案] 3
[解析] 如图建立平面直角坐标系，
则a ＝(1,3)，b ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，c ＝(3,2)－(5，－1)＝(－2,3)，∴b ＋c ＝(0,1)， ∴a ·(b ＋c )＝(1,3)·(0,1)＝3.
(理)(2015·山西忻州四校联考)已知m ，n 是夹角为120°的单位向量，向量a ＝t m ＋(1－t )n ，
若n ⊥a ，则实数t ＝________.
[答案] 2
3
[解析] ∵m ，n 是夹角为120°的单位向量，向量a ＝t m ＋(1－t )n ，n ⊥a ，∴n ·a ＝n ·[t m ＋(1－t )n ]＝t m ·n ＋(1－t )n 2＝t cos120°＋1－t ＝1－32t ＝0，∴t ＝23
.
14．(2014·三亚市一中月考)已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若向量c ＝a ＋b ，且a ⊥c ，则|a |
|b |
的值为________．
[答案] 1
2
[解析] ∵〈a ，b 〉＝120°，a ⊥c ，c ＝a ＋b ，∴a ·c ＝a ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b ＝|a |2－1
2|a |·|b |＝0，
∴|a ||b |＝12
. 15．(文)(2015·湖北教学合作十月联考)已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若(a ＋b )⊥(a －2b )且|a |＝2，则b 在a 上的投影为________．
[答案] －
33＋1
8
[解析] a ·b ＝|a |·|b |cos120°＝－|b |， ∵(a ＋b )⊥(a －2b )，∴(a ＋b )·(a －2b )＝0， ∴2|b |2
－|b |－4＝0，∴|b |＝33＋14
，
所以b 在a 上的投影为a ·b |a |＝－|b |
|a |＝－33＋18
.
(理)(2015·合肥市两校联考)若α，β是一组基底，向量γ＝x ·α＋y ·β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1,2)下的坐标为________．
[答案] (0,2)
[解析] a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)， 设a ＝x m ＋y n ＝(y －x ，x ＋2y )，则
⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝2，x ＋2y ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，
y ＝2.
16．(文)(2015·开封市二十二校大联考)已知向量OA →＝(3，－1)，OB →＝(0,2)，若OC →·AB →＝0，
AC →＝λOB →
，则实数λ的值为________．
[答案] 2
[解析] 设OC →＝(x ，y )，∵OA →＝(3，－1)，OB →
＝(0,2)， ∴AB →
＝(－3,3)．
由向量的运算可知OC →·AB →
＝－3x ＋3y ＝0，∴x ＝y ， AC →＝(x －3，y ＋1)＝λOB →
＝(0,2λ)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －3＝0，y ＋1＝2λ，
∴λ＝2. (理)(2015·娄底市名校联考)如图，Ox 、Oy 是平面内相交成120°的两条数轴，e 1，e 2分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →
＝x e 1＋y e 2，则将有序实数对(x ，y )叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标．若OP →＝(3,2)，则|OP →
|＝________.
[答案]
7
[解析] 由题意可得e 1·e 2＝cos120°＝－1
2.
|OP →|＝(3e 1＋2e 2)2＝
9|e 1|2＋4|e 2|2＋12e 1·e 2
＝
9＋4－6＝7.
三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分12分)(2015·皖南八校联考)如图，∠AOB ＝π
3，动点A 1，A 2与B 1，B 2分
别在射线OA ，OB 上，且线段A 1A 2的长为1，线段B 1B 2的长为2，点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点．
(1)用向量A 1A 2→与B 1B 2→表示向量MN →
； (2)求向量MN →
的模．
[解析] (1)MN →＝MA 1→＋A 1A 2→＋A 2N →，MN →＝MB 1→＋B 1B 2→＋B 2N →
，两式相加，并注意到点M 、N 分别是线段A 1B 1、A 2B 2的中点，得MN →＝12
(A 1A 2→＋B 1B 2→
)．
(2)由已知可得向量A 1A 2→与B 1B 2→
的模分别为1与2，夹角为π3，
所以A 1A 2→·B 1B 2→＝1，由MN →＝12(A 1A 2→＋B 1B 2→)得，
|MN →|＝14
(A 1A 2→＋B 1B 2→)2 ＝12
A 1A 2→2＋
B 1B 2→2＋2A 1A 2→·B 1B 2→
＝72
.
18．(本小题满分12分)(文)(2014·宝鸡市质检)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p .
(1)求sin A 的值；
(2)求三角函数式－2cos2C 1＋tan C
＋1的取值范围．
[解析] (1)∵q ＝(2a,1)，p ＝(2b －c ，cos C )且q ∥p ，∴2b －c ＝2a cos C 由正弦定理得2sin A cos C ＝2sin B －sin C ， 又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴1
2
sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝1
2，
又∵0<A <π，∴A ＝π3，∴sin A ＝3
2
.
(2)原式＝－2cos2C
1＋tan C ＋1＝1－2(cos 2C －sin 2C )1＋sin C cos C ＝1－2cos 2C ＋2sin C cos C ＝sin2C －cos2C ＝2sin(2C －π4
)． ∵0<C <2π3，∴－π4<2C －π4<13π12
， ∴－22<sin(2C －π4
)≤1， ∴－1<2sin(2C －π4)≤2， 即三角函数式－2cos2C 1＋tan C
＋1的取值范围为(－1，2]． (理)(2014·山东省德州市期中)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，
A (6,0)，C (1，3)，点M 满足OM →＝12
OA →，点P 在线段BC 上运动(包括端点)，如图．
(1)求∠OCM 的余弦值；
(2)是否存在实数λ，使(OA →－λOP →)⊥CM →，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，
若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由题意可得OA →＝(6,0)，OC →＝(1，3)，OM →＝12
OA →＝(3,0)，CM →＝(2，－3)，CO →＝(－1，－3)，
∴cos ∠OCM ＝cos 〈CO →，CM →〉＝CO →·CM →|CO →||CM →|＝714. (2)设P (t ，3)，其中1≤t ≤5，λOP →＝(λt ，3λ)，
OA →－λOP →＝(6－λt ，－3λ)，CM →＝(2，－3)，
若(OA →－λOP →)⊥CM →，则(OA →－λOP →)·CM →＝0，
即12－2λt ＋3λ＝0⇒(2t －3)λ＝12，若t ＝32
，则λ不存在，
若t ≠32，则λ＝122t －3
， ∵t ∈[1，32)∪(32，5]，故λ∈(－∞，－12]∪[127
，＋∞)． 19．(本小题满分12分)(2014·河北冀州中学期中)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别
为a 、b 、c ，已知m ＝(cos 3A 2，sin 3A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2
)，且满足|m ＋n |＝ 3. (1)求角A 的大小；
(2)若|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，试判断△ABC 的形状．
[解析] (1)由|m ＋n |＝3，得m 2＋n 2＋2m ·n ＝3，
即1＋1＋2(cos 3A 2cos A 2＋sin 3A 2sin A 2
)＝3， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3
. (2)∵|AC →|＋|AB →|＝3|BC →|，∴sin B ＋sin C ＝3sin A ，
∴sin B ＋sin(2π3－B )＝3×32
， 即32sin B ＋12cos B ＝32
， ∴sin(B ＋π6)＝32
. ∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6
， ∴B ＋π6＝π3或2π3，故B ＝π6或π2
. 当B ＝π6时，C ＝π2；当B ＝π2时，C ＝π6
. 故△ABC 是直角三角形．
20．(本小题满分12分)(2014·西工大附中四模)已知向量a ＝(cos x ，cos x )，b ＝(sin x ，－cos x )，设函数f (x )＝2a ·b ＋1.
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求函数f (x )在区间[π8，3π4
]上的最小值和最大值． [解析] (1)f (x )＝2(cos x sin x －cos 2x )＋1＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4
)． 因此，函数f (x )的最小正周期为π.
(2)因为f (x )＝2sin(2x －π4)在区间[π8，3π8]上为增函数，在区间[3π8，3π4]上为减函数，又f (π8
)＝0，f (3π8)＝2，f (3π4)＝2sin(3π2－π4)＝－2cos π4
＝－1， 故函数f (x )在区间[π8，3π4
]上的最大值为2，最小值为－1. 21．(本小题满分12分)(2015·东北育才学校一模)已知向量a ＝(cos x ，－12
)，b ＝(3sin x ，cos2x )，设函数f (x )＝a ·b .
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)求f (x )在[0，π2
]上的最大值和最小值． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝cos x ·3sin x －12cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6
)． 当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2时，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3
， ∴f (x )＝sin(2x －π6)的单调递增区间为[k π－π6，k π＋π3
](k ∈Z )． (2)当x ∈[0，π2]时，(2x －π6)∈[－π6，5π6
]， ∴sin(2x －π6)∈[－12
，1]， 所以，f (x )在[0，π2]上的最大值和最小值分别为1，－12
. 22．(本小题满分14分)(文)(2014·成都七中模拟)已知O 为坐标原点，OA →＝(2sin 2x,1)，OB
→＝(1，－23sin x cos x ＋1)，f (x )＝OA →·OB →＋m .
(1)若f (x )的定义域为[－π2
，π]，求y ＝f (x )的单调递增区间； (2)若f (x )的定义域为[π2
，π]，值域为[2,5]，求m 的值． [解析] (1)f (x )＝2sin 2x －23sin x cos x ＋1＋m
＝1－cos2x －3sin2x ＋1＋m ＝－2sin(2x ＋π6
)＋2＋m ， 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2
＋2k π(k ∈Z )得， k π＋π6≤x ≤k π＋2π3
， ∴y ＝f (x )在R 上的单调递增区间为[k π＋π6，k π＋2π3
](k ∈Z )，
又f (x )的定义域为[－π2
，π]， ∴y ＝f (x )的增区间为[－π2，－π3]，[π6，2π3
]． (2)当π2≤x ≤π时，7π6≤2x ＋π6≤13π6
， ∴－1≤sin(2x ＋π6)≤12
， ∴1＋m ≤f (x )≤4＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＋m ＝2，
4＋m ＝5，
∴m ＝1. (理)(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12
，其中ω>0，f (x )的最小正周期为4π.
(1)求函数f (x )的单调递增区间；
(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．
[解析] f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12
＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin(2ωx ＋π6)． ∵2π2ω＝4π，∴ω＝14，f (x )＝sin(x 2＋π6
)． (1)由2k π－π2≤x 2＋π6≤2k π＋π2
(k ∈Z )得： 4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3
(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间是[4k π－4π3，4k π＋2π3
](k ∈Z )． (2)由正弦定理得，(2sin A －sin C )cos B ＝sin B ·cos C ，
∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，
∵sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A >0，
∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3
， ∴0<A <2π3，π6<A 2＋π6<π2，∴f (A )∈(12
，1)．。