22.1.3 二次函数图像与性质(3)
22.1.3二次函数y=ax2+k的图像和性质【2014版】
一、二次函数y=ax2图象和性质：
1.二次函数y=ax2的图像都是抛物线. 2.抛物线y=ax2的图像性质:
y x2
8 6 4 2
y 2 x2
y
2
(1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
－4 －2
1 2 x 2
4
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点; 在y轴的左侧y随x的增大而减小，在y轴的右侧y随x的 增大而增大； 2 4 －4 －2 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛 －2 物线的最高点;在y轴的左侧y随x的增大 －4 1 而增大，在y轴的右侧y随x的增大而减 y x －6 2 小， －8 y x （3）|a|越大,抛物线的开口越小; y 2 x
抛物线y ax 2向上（或向下）平移 k 个单位长度， 得到抛物线y ax 2 k (k 向上，k 0向下)
课堂练习：
1 2 1、抛物线y x 2的开口 向下 ，对称轴 y轴 ， 3 （0，-2） 顶点坐标 ，当x 0 时，y有最 大 值为 -2 . 3 2 2、抛物线y x +3的开口 向上 ，对称轴 y轴 ， 5 顶点坐标 （0，3） ，当x 0 时，y有最 小 值为 3 .
9
y = x 2+1 y=x2 y = x 2-1
6
3
－3
3
讨论 （1）抛物线y=x21
y=x2
方向、对称轴、顶点各是什么？ （2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与y=x2 有什么关系？ （3）它们的位置由什么决定的？ 答：(1)它们开口方向向上，对称轴是y
轴，顶点分别是（0，1）（0，-1）。
22.1.3二次函数图像和性质3
顶点是(1,2).
二次函数y=3(x-1)2+2的
y 3x 2
图象和抛物线 y=3x² ,y=3(x-1)2有什么关 系?它的开口方向,对称轴 和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=3(x-1)2+2的 图象可以看作是抛物线 y=3x2先沿着x轴向右平移 1个单位,再沿直线x=1向 上平移2个单位后得到的.
y 3x 2
y 3x 1
2
y 3x 1 2
2
顶点是(1,-2).
X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y=3x2类似. 开口向上, 当x=1时y有 最小值:且 最小值= -2.
探讨2、二次函数y=3(x1)2-2的图象与抛物线 y=3x2和y=3(x-1)2有何关 系?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
我思考，我进步
y=3(x-1)2 +2
把二次函数y=3(x-1)2 加上+2所得 函数y=3(x-1)2+2的图象是怎样的呢？
?
我思考，我进步
探讨1、 二次函数y=3x² ,y=3(x1)2和y=3(x-1)2+2的图象有什么关系? 它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分 别是什么?作图看一看．
?
在同一坐标系中作出二次函数y=3x² ,y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象.
y 3x 1 2
X=1
与y=-3x² 有 关哟
开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 对称轴仍是平行于y轴的直线 最大值= 2 (x=1);增减性与y= -3x2类似. (或最大值=-2).
y=3x2 y=3x2
二次函数图像和性质教学设计(3篇)
二次函数图像和性质教学设计（3篇）二次函数的图像和性质3教学设计篇一22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计知识与技能：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象；过程与方法：结合图象确定抛物线y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴与顶点坐标及性质；情感态度与价值观：通过比较抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系，培养学生的观察、分析、总结的能力。
学情分析学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生独立探究，个别指导，然后归纳总结。
之后把侧重点放在对实际问题的探究上，重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。
重点难点教学重点：画出形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点。
教学难点：理解函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2及其图象的相互关系。
4教学过程一、复习导入新课师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。
观察y＝－x2、y＝－x2－1、y＝－(x＋1)2这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条抛物线。
（指名学生回答）。
师：同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物线能否经过怎样的平移得到抛物线y＝－(x＋1)2－1 生：向左平移一个单位，再向下平移一个单位。
师：这个猜想是否正确呢？这节课我们一起来验证一下。
（板书课题）二、探究探究一（大屏幕出示）（自探问题部分）1.画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．x y＝－(x＋1)2－1 函数… …－4－3－2－10 1 2 ……开口方向顶点对称轴最值增减性y＝－(x＋1)2－1（学生口头展示以上问题）2．师：（结合课件）把抛物线y＝－x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1．所以抛物线y＝－x2 与抛物线y＝－(x＋1)2－1 形状___________，位置________________．通过刚才的演示，可以证明我们前面的猜想是正确的。
人教版九年级数学上册第22章第1节《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》优质课件第3课时
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
【学习目标】 1．会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的 图象． 2．掌握抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k之间的平移 规律． 3．依据具体问题情境建立二次函数y＝a(x－h)2＋k 模型来解决实际问题． 【学习重点】 二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象及其性质． 【学习难点】 1．二次函数y＝a(x－h)＋k与y＝ax2(a≠0)的图象之 间的平移关系． 2．通过对图象的观察，分析规律，归纳性质．
5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由 二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的 解析式.
该二次函数的解析式为：y=5(x+1)2+3
课堂小结
图象特点
二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质
当a>0,开口向上； 当a<0,开口向下. 对称轴是x=h, 顶点坐标是（h,k).
平移规律
左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
3
同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
y 1 (x 4)2 2 3
当堂练习
1.完成下列表格:
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6
向上 向下 向上 向下
直线x=－3 (－3, 5 ) 直线x=1 ( 1, －2 ) 直线x=3 ( 3 , 7) 直线x=2 ( 2 , －6 )
22.1.3 二次函数的y=a(x-h)2+k的图像和性质2024-2025学年人教版数学九年级上册
的解析式为 = −. − ，则=____
(3) 若抛物线 = + 的最小值为 4，且经过点(1，5)，
则该抛物线的解析式是_________，将此抛物线向下平移
3
= +
= +
个单位，得到的新的抛物线的解析式是__________.
课堂小结
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
第3课时 二次函数的
= ( − ) +的图像和性质
第1节 二次函数 = + 的图像和性质
第2节 二次函数 = ( − ) 的图象和性质
第3节 二次函数 = ( − ) +的图象和性质
九年级上册•人教版
学习目标
中的三条抛物线分别表示桥上的三条钢梁,轴表示桥面,轴经过中
间抛物线的最高点,左右两条抛物线关于轴对称.经过测算,中间抛
物线的函数解析式为 =
−
+ .
你能计算出中间抛物线的最高点离轴的高度吗?
O
猎豹图书
x
获取新知
例1
在同一直角坐标系中，通过画出二次函数 = + ，
1 x2
y
;把抛物线
2 向右 平移 1 个单位就
得到抛物线y - 12（x-1）
2
(
− )
平移
的图象还可以由抛物线
2
个单位得到.
y
O
-4
-2
2
y - 1（x-1）
2
2
4 x
-2
2
y - 1（x+1）
2
-4
-6
-8
【精】 《二次函数的图象和性质(第3课时)》精品教案
《二次函数（第3课时）》精品教案
（1）抛物线顶点坐标___________；
（2）对称轴为________；
（3）当x=____时，y有最大值是_____；
（4）当________时，y随着x得增大而增大．（5）当____________时，y＞0．
4.将函数y=3x+1的图象向______平行移动_____个单位，可使它经过点（1，-1）．
5.若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到________________。
课堂小结通过本节课的内容，你有哪些收获？
（2）对称轴是x＝h．
（3）顶点是（h，k）．
（4）平移规律：h值正右移，负左移；k值正上移，负下移. 学会总结学
习收获，巩
固知识点，
理清知识间
的联系。
让学生
来谈本
节课的
收获，培
养学生
自我检
查、自我
小结的
良好习
惯，将知
识进行
整理并
系统化。
九年级数学上册 第二十二章 22.1 二次函数的图像及性质 22.1.3 二次函数y=ax2+k的图
第二十二章 22.1.3二次函数y=ax2+k的图象和性质知识点:二次函数y=ax2+k的图象及其性质二次函数y=ax2+k的性质与二次函数y=ax2的性质很多都相同,只是图象顶点坐标及最值有所区别,但也可以由二次函数y=ax2的图象的顶点平移得到二次函数y=a x2+k的图象的顶点的坐标,因而学习二次函数y=ax2+k的性质,可在熟记二次函数y=ax2的性质的基础上类比学习.二次函数图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最大(小)值y=ax2+ka>0k>0向上(0,k)y轴当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小当x=0时,y最小值=ka>0k<0向上(0,k)y轴当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小当x=0时,y最小值=k a<0k>0向下(0,k)y轴当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而增大当x=0时,y最大值=k a<0k<0向下(0,k)y轴当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而增大当x=0时,y最大值=k 二次函数的解析式中常数项的变化与其图象移动的关系:上加下减.考点1：二次函数y=ax2+k的图象【例1】小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线y=-x2+3.5的一部分(如图),若投中篮框中心,则他与篮底的距离l是( )A.3.5 mB.4 mC.4.5 mD.4.6 m答案:B点拨：由题意令y=3.05,可得3.05=-x2+3.5,解得x=±1.5(负值不符合题意,舍去),所以他与篮底的距离l=1.5+2.5=4(m).考点2：二次函数y=ax2+k的性质【例2】将抛物线y=-3x2向上平移1个单位后,得到的抛物线对应的函数解析式是.答案:y=-3x2+1点拨：由“上加下减”的规律知,该抛物线向上平移1个单位后得到的抛物线对应的函数解析式为y=-3x2+1.感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。
22.1.3 二次函数的图像与性质3
h>0,向右平移h个单位 h<0，向左平移|h|个单位
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
… -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
开口向下, 对称轴是直线x=－1, 顶点是(－1, －1).
x=－1 y
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
九年级 上册
22.1.3
二次函数y＝a(x-h)2+k 的图象和性质
二次函数 y = ax 2 + k 的图象和性质
函数
y = ax 2 + k（a＞0) y = ax 2 + k（a＜0)
k＞0
图象
k＜0
y
Ox y
O
x
y
O
x
y
O
x
开口方向 顶点坐标
向上 (0 ,k)
向下 (0 ,k)
二次函数 y = ax 2 + k 的图象和性质
h>0
h<0
开口向上
h>0 h<0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下
平移|k|个单位得到. 上加下减
k>0,向上平移k个单位 k<0，向下平移|k|个单位 抛物线y=a(x－h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右
平移方法1:
二次函数的图像与性质(第3课时)公开课-省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
想一想
比较函数 y 2x2与 y 2x 12 旳图象
⑴完毕下表,并比较2x2和2(x-1)2旳值,它们之间有 什么关系?
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 2x2 18 8 2 0 2 8 18 32
y 2x 12 32 18 8 2 0 2 8 18
做一做
在同一直角坐标系中作出函数y 2x2 与y 2x 12 旳图象，并观察图象,回答下列问题：
2个单位，再向右平移1个单位后，得到旳抛物线旳表 达式为____________．
【答案】 y 1 (x 1)2 2 或 y 1 x2 x 3
2
2
2
5．（宁夏·中考）把抛物线 y x2 向左平
移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物 线旳体现式为（ ）
A. y (x 1)2 3 B. y (x 1)2 3 C. y (x 1)2 3 D. y (x 1)2 3
22.1 二次函数旳图像与性质（3） y=a(x－h)2
温故知新
1.函数 y 1 x2 3 旳图象旳顶点坐标是 (0,3) ； 2
开口方向是 向上 ；最 小 值是 3 .
2.函数y=-2x2+3旳图象可由函数 y=-2x2
旳
图象向 上 平移 3 个单位得到.
3.把函数y=-3x2旳图象向下平移2个单位可得到函数 _y_=_-_3_x_2-_2___旳图象.
2 1/2个单位
长度y2Fra bibliotekx21 2
向下平移
向左平移3 个单位长度
1/2个单位 长度
y 2(x3)2 1
2
向右平移3
个单位长度
【规律措施】
y a(x h)2 k（当k,h都不小于0时）旳图象特点.
九年级数学上册22.1.3 二次函数的图像和性质
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1 (2).已知A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)三点都在二次函数y=-2(x+2)2的图象
上，则y1,y2,y3的大小关系是y2>y1>y.3
5. 抛物线y=a(x+1)2经过点(1,-12). 求:(1)a的值； (2)当x在什么范围内取值时，y随x的增大而增大？ 解: (1)∵抛物线y=a(x+1)2经过点(1,-12)
A．向上平移1个单位； C．向左平移1个单位；
B．向下平移1个单位； D．向右平移1个单位．
2.抛物线y= 2x2 向上平移5个单位,会得到哪条抛物线. 向下平移3.4个单位呢?
3、把抛物线y= 2x2-4x+2化成y= a(x-h)2的形式,并指出抛物线的开口 方向,对称轴,顶点坐标;函数有最大值还是最小值?是多少?
O
开开口口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
对称性 关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点
顶点是最低点
顶点是最高点
在在对对增称称减轴轴性左右侧侧递递减增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
二次函数y=ax2+c的性质
y＝ax2+c
a>0
a<0
图象
开口 对称性 顶点 增减性
c>0
c<0
c>0
c<0
y 1 x2 2
y 1 (x 2)2 2
观察三条抛物线的 相互关系,并分别指 出它们的开口方向, 对称轴及顶点.
22.1.3二次函数y=a(x-h)^2+k的图象和性质(3)导学案
课题 22.1.3二次函数k h x a y +-=2)(的图像和性质（3）课型:新 授 主备:张新年 时间:2020年09月 审核:张 峰 班级:九 班 姓名:【素养目标】（一）知识技能：1.能作出函数k h x a y +-=2)(的图象，能根据图象认识和理解二次函数k h x a y +-=2)(的性质并会初步应用．2. 掌握抛物线k h x a y +-=2)(的平移规律.3. 理解a 、h 、k 对二次函数图象的影响.（二）过程方法：1.经历从特殊到一般的研究过程，掌握数形结合思想方法.2.感受数学直观性、抽象性、严谨性，在方法迁移的过程中获得成功的体验.（三）情感态度：1．通过探索活动，认识理解二次函数的性质．2．在利用图象讨论二次函数k h x a y +-=2)(的性质时，深度合作交流，学会多角度解决问题，准确理解二次函数的性质．【学习重点】作函数2()y a x h k =-+的图象，根据图象认识和理解二次函数2()y a x h k =-+的性质，二次函数的初步应用.【学习难点】能利用二次函数的图象特征推测函数的性质，并利用二次函数的解析式对其图象特征进行解释和判断.【知识链接】九年级数学（上册.人教版）P 35—P 37 【学前准备】1.前几节课，我们都学习了形如什么样的二次函数的图像？你能说说它们的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？（1）二次函数y=ax 2,当a 0时,开口向 ，当a 0时,开口向 ，其对称轴为 ，顶点（ ， ）.（2）二次函数y=ax 2+k,当a 0时,开口向 ，当a 0时,开口向 ，其对称轴为 ，顶点（ ， ）.（3）二次函数y=a(x-h)2,当a 0时,开口向 ，当a 0时,开口向 ，其对称轴为 ，顶点（ ， ）.2.根据二次函数图像填空.（1）函数221y x -=，开口向 ，其对称轴为 ，顶点（ ， ），并且图像以 为界，呈左 右 增减变化趋势.（2）函数1-y 221x -=，开口向 ，其对称轴为 ，当x= ，y 有 值（填“最大”或“最小”） .（3）函数2211y ）（+-=x ，开口向 ，其对称轴为 ，顶点（ ， ）. 3.（2019年.惠州）二次函数图像如图所示，则a 1， a 2，a 3，a 4的大小关系是( )A ．a 1＞a 2＞a 3＞a 4B ．a 1＜a 2＜a 3＜a 4C ．a 4＞a 1＞a 2＞a 3D ．a 2＞a 3＞a 1＞a 4 【新知探究】画出1-1y 221）（+-=x 的图像，并指出它的开口方向、对称轴和顶点.怎样移动抛物线221y x -=就可以得到抛物线1-1y 221）（+-=x ？ x ...... y描点、连线： 观察：1-1y 221）（+-=x 的图像，它的开口向 、 对称轴 和顶点 .抛物线221y x -=向 移动 个单位长度，在向 移动 个单位长度就得到1-1y 221）（+-=x . 『共同归纳』一般地,抛物线k h x a y +-=2)(与 形状相同, 不同.把抛物线y=ax ²向 (或 )向 (或 )平移,可以得到抛物线k h x a y +-=2)(.平移的方向、距离要根据 、 的值来决定.抛物线y=a(x －h)2+k 的特点：（1）当a 0时，开口向上；当a<0时，开口向 ；（2）对称轴是直线 ；（3）顶点坐标是（ , ）.（4）增减性：如果a>0,当x<h 时，y 随x 的增大而 ，当x>h 时，y 随x 的增大而 ；如果a<0,当x<h 时，y 随x 的增大而 ，当x>h 时，y 随x 的增大而 . 【新知应用】问题情景：要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?解：『共同归纳』二次函数实际应用题解体基本步骤：审题→ 模(建立二次函数模型) → 模(求解) →作答. 【随堂练习】1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点.（1）5)3(22++=x y （2）2)1(32---=x y （3）7)3(42+-=x y 解：开口向 ；对称轴 ； 顶 点 .（4）6)2(52-+-=x y （5）b a x y ++=2)(2 （6）b a x y --=2)(2 解：开口向 ；对称轴 ； 顶 点 .2.抛物线5)3(22++=x y 与5)32(2++=x y 形状是否相同？为什么？3.填空：y ＝2(x －1)2＋1的图象可以看成是将函数 的图象向上 平移1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x 2的图象向 平移 个单位再向 平移 个单位得到的.当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而 ，当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而 ；当x= 时，函数取得最 值，最小值y= .4.已知y ＝a(x －h)2＋k 是由抛物线y ＝－12x 2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线则a= ，h= ，k= . 【拓展提高】1.(2019.桂林)将抛物线y ＝3(x －1)2＋1向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度得到抛物线y ＝3(x+1)2-1.2.（2018.西宁）如果抛物线k h x a y +-=2)(与y ＝-(x+1)2-1关于x 轴对称，那么抛物线k h x a y +-=2)(的解析式是： .3.(2019.呼和浩特)设A(-2,y 1),B(1,y 2),C(2,y 3)是抛物线y ＝a(x+1)2＋a(a>0)上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ）A.y 1>y 2>y 3B.y 1>y 3>y 2C.y 3>y 2>y 1D.y 3>y 1>y 2 4.(2020.上海)若二次函数y ＝(x －1)2-1的图像的顶点在直线y=kx-3上，则k= . 5.(2019.北京海淀)抛物线y 1＝-x 2+2向右平移1个单位长度得到抛物线y 2，解答下列问题：（1）抛物线y 2的顶点坐标是（ ， ）. （2）阴影部分的面积S= 。
22.1.3二次函数的图像与性质
1 2 抛物线 y x 2
1
y
有什么关系?
1 y ( x 1) 2 2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 1 -2 y ( x 1) 2 2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10
1 2 y x 2
1 2 y x 2 1 2 y x 2
试说出函数y＝ax2＋k（a、k是常数，a≠0）的图 象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下 表．
向上
y轴
y轴
(0，k) (0，k)
向下
|a|越大开口越小，反之开口越大。
练习
1 2 1.把抛物线 y x 向下平移2个单位，可以得 2 1 2 到抛物线 y x 2 ，再向上平移5个单位， 2 1 2 可以得到抛物线 y x 3 ； 2 2.对于函数y= –x2+1，当x ＜0 时，函数值y随
2
在同一坐标系中,作出二次函数y=3x², y=3(x-1)2和 y=3(x-1)2+2的图象. y 3x 2 2 根据图象回答问题：
向左平移 1个单位 向右平移 1个单位
1 2 y ( x 1) 2 1 2 y ( x 1) 2
1 y
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 1 2 y ( x 1 ) -3 2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 2 1 y x -10 y ( x 1) 2
当x=
3
时，y有最
小 值，其值为 0 。
抛物线与x轴交点坐标 ，与y轴交点 （ 3， 0 ） 坐标 。 （0，36）
抛物线 y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
22.1.3(3)二次函数图像和性质(3)
y=a(x-h)2 +k(a≠0) 开口方向 对称轴 顶点坐标 增 减 性 极值
a>0
向上
a<0
向下
x=h
(h ,k)
当x<h时， y随着x的增大而减小。 当x>h时， y随着x的增大而增大。 当x<h时, y随着x的增大而增大。 当x>h时， y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
?
开口：向上 对称轴：x=1 顶点：（1,2）
猜想：将二次函数y=-2x² 的图像,先向左平移4 个单位长度，再向下平移1.5个单位长度，会 得到哪个函数图像呢？
y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系
一般地, y=a(x-h)² +k(a≠0) 的图象可以看成 y=ax² 的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位 (当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体 上(下)平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移) 得到的.
2 2
2.填写下表:
y=a(x-h)² &点坐标
a>0 a<0
2．对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y 的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的 值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4 呢?
课堂检测
1.抛物线y=0.5(x+2)2–3可以由抛物线 y=0.5x2 先 向 左 平移2个单位，在向下平移 3 个单位得到。 2.已知s= –(x+1)2–3，当x为 –1 时，s取最 大 值 为 –3 。 3.顶点坐标为(1,1)，且经过原点的抛物线的函数 解析式是( D ) A.y=(x+1)2+1 C.y=(x–1)2+1 B. y= –(x+1)2+1 D. y= –(x–1)2+1
22.1.3_二次函数y=x2+k的图象和性质-3
y2
y1 y3 y4 x2 x4 x3 x1
D.y4>y2>y3>y1
拓展延伸
2. 已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1,x2(x1≠x2, x1,x2分别是A,B两点的横坐标)时，函数值相等， 则当x取x1+x2时，函数值为 （ D） A. a+c B. a-c C. 0 D. c
a 3. 函数y=ax2-a与y= (a 0) x
随堂练习二：
6. 抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是 y轴 ，顶 点坐标是 (0,5) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 增大 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 减小 ， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。 7. 抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是 y轴，顶点 坐标是 (0,-3)，在对称轴的左侧，y随x的增大 而 减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。 8.二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B （2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3。若 点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐 标为 (-2,5) 点D的坐标为 ( 5 ,7)或 ( 5 . ,7)
-4
O
-2
x
10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+c的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 c ； 当a<0时,抛物线y=ax2+c的开口 向下 ，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,c)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 c 。
22.1.3二次函数y=ax2+k的图象和性质(教案)
此外，在总结回顾环节，我发现有些学生对二次函数的知识点掌握得不够牢固，这让我意识到在课堂教学中，要更加关注学生对知识点的掌握程度，及时进行巩固和复习。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次函数的图象特征和性质这两个重点。对于难点部分，如开口方向、顶点坐标等，我会通过图象展示和公式推导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数y=ax^2+k相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如抛球实验，观察抛物线运动并记录数据。
-对于不同难度的题目，能够灵活运用二次函数的知识进行解答。
举例说明：
(1)难点突破：通过动态图象展示，让学生直观感受参数a变化时图象的动态变化，理解开口方向与a的关系；
(2)案例分析：选择具有代表性的实际问题，如最大高度问题，引导学生建立二次函数模型，并运用顶点式解析式求解；
(3)分层次练习：设计不同难度的练习题，让学生在解答过程中逐步掌握二次函数的运用，提高解题能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数y=ax^2+k的基本概念。二次函数是数学中的一种重要函数形式，它描述了许多自然现象和工程技术问题。y=ax^2+k是二次函数的一种特殊形式，其中a、k为常数。这个函数的图象是抛物线，具有独特的性质。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。以物体抛起又落下的运动为例，探讨二次函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
22.1.3 二次函数y=ax +k 的图像和性质
x=0时,y最小= k
x=0时,y最大=k
抛物线y=ax2 +k (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上 下平移|k|个单位得到.
抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？ k决定什么？它的对称轴是什么？ 顶点坐标怎样表示？
y=ax2+k(a≠0) 开口方向
顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上 (0 ,k) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (0 ,k) y轴
22.1.3 二次函数
y=ax +k 的图像和性质
学习目标：
1、会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图像， 并通过图像了解其性质。 2、经历二次函数y＝ax2＋k性质探究的过程， 理解二次函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的关 系,体会数形结合在函数学习中的重要作用。
重点：
会用描点法画出二次函数y＝ax2＋k的图 象，理解二次函数y＝ax2＋k的性质。
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0
y
O
a<0 y
x
x
开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 当x<0时， 增 y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。 减 当x>0时， 当x>0时， y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。 性 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
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联系: 将函数 y=2x² 的图象向右平移1个 单位, 就得到 y=2(x-1)² 的图象; 在向上平移2个单位, 得到函数 y=2(x-1)² +1的图象. 相同点: (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同. (2)都是轴对称图形. (3)顶点都是最低点. (4) 在对称轴左侧,都随 x 的增大而减小,在对称 轴右侧,都随 x 的增大而增大. (5)它们的增长速度相同.
(2,0)
(1,-1)
练习1:指出下面函数的开口方向，对称 轴，顶点坐标，最值。
1) y=2(x+3)2+5 3) y=-3(x-1)2-2 2) y=4(x-3)2+7 4) y=-5(x+2)2-6
练习2:对称轴是直线x=-2的抛物线是(C)
A y=-2x2-2 B y=2x2-2
C y=-1/2(x+2)2-2
小结
y=a(x-h)² +k • 对称轴 • 顶点 直线 x=h （ h， k）
• 最值 当a>0时 x=h时，y有最小值k 当a<0时 x=h时，y有最大值k
平移的规律总结：
y=ax2
当h>0时,向右平移h个单位
当h<0时,向左平移 h 个单位 当k>0时,向上平移k个单位
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
当k<0时,向下平移 k 个单位
考考你学的怎么样：
1．抛物线的上下平移 （1）把二次函数y=(x+1)2的图像， 沿y轴向上平移３个单位， y=(x+1)2+3 得到_____________ 的图像； 2+3 y=x （2）把二次函数_____________的图像， 沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
最值 当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
例.已知二次函数y=ax2+bx+c的图 象如图所示（1）求解析式
解：∵二次函数图象的顶点是(1,-1)， ∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1， ∵其图象过点(0,0)， ∴0= a(0-1)2-1， ∴a=1 ∴y= (x-1)2-1
（2）根据图象回答： (0,0) x<0 或 x>2 当x 时，y>0; 当x x=0或2 时，y=0; 当x 0< x<2 时，y﹤0。
1．把二次函数y=4(x－1) 2的图像, 沿x轴向 2 个单位，得到图像的对称轴是直 右 _ 平移__ 线x=3. 2．把二次函数y=－2x 2的图像，先沿x轴 向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2 (-3,-2) ． 个单位，得到图像的顶点坐标是______
3. 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经过 (3,5),求平移后的抛物线的解析式_______
5.二次函数y=a(x-m)2+2m,无论m 为何实数,图象的顶点必在( )上 A)直线y=-2x上 C)y轴上 B)x轴上 D)直线y=2x上
你答对了 吗?
3.D 4. y3> y1 > y2
4.对于抛物线y=a(x-3)2+b其中 a>0,b 为常数,点( 5.6 ,y1) 点 ( 3.2 ,y2)点(8,y3)在该抛物线上, 试比较y1,y2,y3的大小
y
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y=2x2
5 4 3 2 1
y=2(x–1)2+1
y=2(x–1)2
–5 –4 –3 –2 –1O 1 2 3 4 5 –1 –2
x
y
y=2(x-1)2+1
y=2x2
5 4. 3. 2. 1.
y=2(x-1)2
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
y
y=2x2 +1
5 4. 3. 2. 1.
2 22.1.3二次函数y=a(x-h) +k
的图象及其性质
1 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点, 最值和增减变化情况:
1)y=ax2
2)y=ax2+c
3)y=a(x-h)2
2 请说出二次函数y=ax² +c与y=ax² 的平移关系。 y=a(x-h)2与y=ax² 的平移关系 将抛物线y=ax² 沿y轴方向平移c个单位,得抛物线 y =ax² +c 将抛物线y=ax² 沿x轴方向平移h个单位,得抛物线 y=a(x-h)2 3 请说出二次函数y=2(x-3)2与抛物线y=2(x+3)2如何 由y=2x2 平移而来
返回
探讨
二次函数y=2x² , y=2(x-1)² , y=2(x-1)² +1的 图象的关系？
返回
在同一坐标系内画出y=2x2、y=2(x-1)2、 y=2(x-1)2+1 的图象
x
y=2x2
-3
… 8
-2 2
-1 0
0 2
1 8
2 …
3
y=2(x-1)2
…
…
…
8
9
2
3
0
2
3
8
9
y=2(x-1)2+1 …
4、试分别说明将抛物线的图象通 2 过怎样的平移得到y=x 的图象： (1) y=(x-3)2+2 ；
先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
(2)y=(x+4)2－5
先向右平移4个单位，再向上平移5个单位
5.与抛物线y=－4x 2形状相同，顶点为 （2，-3）的抛物线解析式 2-3或y= 4(x-2)2-3 y= 4(x-2) 为 ．
D y=-5(x-2)2-6
3. 抛物线的顶点为(3,5) 此抛物线 的解析式可设为( ) Ay=a(x+3)2+5
Cy=a(x-3)2-5
By=a(x-3)2+5
Dy=a(x+3)2-5
你答对了 吗?
1.B 2.y=-2(x-1)2-3
4.抛物线c1的解析式为y=2(x-1)2+3 抛物线c2与抛物线c1关于x轴对称, 请直接写出抛物线c2的解析式 _____
2．抛物线的左右平移 （1）把二次函数y=(x+1) 2的图像， 沿x轴向左平移３个单位， 2 y=(x+4) 得到_____________的图像； y=(x+2)2+1 的图像， （2）把二次函数_____________ 沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图像.
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 2-2 y=3(x+3) 得到_____________的图像； 2 y=-3(x+6) （2）把二次函数_____________的图像， 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像.
不同点: (1)对称轴不同. (2)顶点不同. (3)最小值不相同.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
抛物线
开口方向
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
对称轴
顶点坐标
向上 直线x=h （ h ，k ）
向下 直线x=h （h，k）
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.
y=2x2
y=2(x-1)2+1
-3.
-2
-1
0. -1
1.
2.
3.
x
返回
y 2x
2
y 2x 1
2
2
y 2( x 1)
2
y 2( x 1) 1
y 2( x 1)2 1 的图像可以由 y 2 x 2 先向上平移一个单位,
再向右平移一个单位,或者先向右平移一个单位再向上 平移一个单位而得到.